精编2019年高中数学单元测试试题-数列专题模拟考试(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题 数列专题（含答案）
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为4,n S a 是37a a 与的等比中项，
832S =，则S 10等于
（ ）
A ．18
B ．24
C ．60
D ．90
2．在等比数列{}n a 中，公比1q ≠，设前n 项和为n S ，则22
24x S S =+，246()
y S S S =+的大小关系是
（ ）
A ．x y >
B ．x y =
C ．x y <
D ．不确定
3．若x y ≠，数列12x a a y ，，，和123x b b b y ，，，，各自都成等差数列，则21
21
a a
b b --等于
（ ） Ａ．23
Ｂ．
43
Ｃ．
32
Ｄ．
34
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
4．在数列}{n a 中，若11=a ，21
2=a ，
)(112*2
1N n a a a n n n ∈+=++，则该数列的通项为 ．
5．如果a n ＝n
n n 21
2111+
++++ (n ∈N *)，那么a 4－a 3＝ ( ) A ．
7
1 B ．81 C ．5615 D ．56
1
6． 已知数列{}n a 满足11
2
a =，()1111n n a n a +=-≥，则6a = .
7．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42
S a =______________； 8．设{}n a 是正项数列，前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则{}n a 的通项公式
n a =____________
9． 已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5331
164
S a =
=，，则5
43211
1111a a a a a ++++=__________________．
10．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．
11．已知数列}{n a 为等差数列，,24,6987321=++=++a a a a a a 则=++654a a a
12． 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且cosB ＝34．
(1)求C
A tan 1
tan 1+
的值； (2)设2
3
=⋅，求a ＋c 的值．
13．已知{n a }是公差不为0的等差数列,{n b } 是等比数列,其中
112242,1,,2a b a b a b ====,且存在常数α、β ,使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都
成立,则β
α= ▲ ．
已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =______ 15． 数列 ，，，，2-32-1的一个通项公式为=n a ____________.
16． 在△ABC 中，a b c , , 分别是角A B C , , 的对边，若222a b c ,
, 成等差数列，则cos B 的最小值为 ▲ ． 17
．
数
列
}
{n a 满足
⎩⎨
⎧=-==k
n a k n n a k n 2,1
2,，其中
*
∈N k ，设
n n a a a a n f 21221)(++++=- ，则)2012()2013(f f -等于 ▲ ．
18．已知数列}{n a 满足221-+=+q qa a n n q (为常数，)1<q ，若
∈6543,,,a a a a {26-，79,34,,2,56--}，则1a = 。

19．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a += ___▲___.
三、解答题
20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且A ，B ，C 成等差数列。

（1）若32=b ，2=c ，求△ABC 的面积；
（2）若C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，试判断△ABC 的形状。

（本小题满分10
分）
21．设n S 是各项均为非零实数的数列{}n a 的前n 项和，给出如下两个命题上：
命题p ：{}n a 是等差数列；命题q ：等式
1
113221111+++=
+++n n n a a b
kn a a a a a a 对任意n (*N n ∈)恒成立，其中b k ,是常数。

⑴若p 是q 的充分条件，求b k ,的值；
⑵对于⑴中的k 与b ，问p 是否为q 的必要条件，请说明理由； ⑷
p 为真命题，对于给定的正整数n (1>n )和正数M ，数列{}n a 满足条件
M a a n ≤++2
121，试求n S 的最大值。

(本小题满分16分)
22．已知数列{a n }满足：),0(2 (21)
2
3
2
1*-∈>+=+
++
+
N n n n a a a a n n
λλλλ
其中常数
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）当λ=4时，是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得t s r a a a ,,成等比数列？若存在，给出r,s,t 满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意*
∈N n ，都有n n n a S λλλ2)1(≥+-恒成
立，求实数λ的取值范围。

23．设等比数列{}n a 的首项为a 1，公比为q ，且q >0，q ≠1.
（1）若a 1=q m ，m ∈Z ，且m ≥－1，求证：数列{}n a 中任意不同的两项之积仍为数列{}n a 中的项；
（2）若数列{}n a 中任意不同的两项之积仍为数列{}n a 中的项，求证：存在整数m ，且 m ≥－1，使得a 1=q m .
证明：（1）设,r t a a 为等比数列{}n a 中不同的两项，由1m a q =，
得11(1)1111r t r t m r t a a a q a q a q --++--⋅=⋅=⋅．………………………………………2分 又3r t +≥，且1m -≥，所以11r m t ++-≥．
所以,r t a a 是数列{}n a 的第1r m t ++-项． …………………………………6分 （2）等比数列{}n a 中任意不同两项之积仍为数列{}n a 中的项，
令s t l a a a ⋅=*(,,,)l t s t s ∈≠N ，由11s s a a q -=⋅，11t t a a q -=⋅，11l l a a q -=⋅， 得11s a q -⋅⋅1
1t a q
-⋅⋅11l a q -=⋅，11l s t a q --+=．
令整数1m l s t =--+，则1m a q =．…………………………………………9分 下证整数1m -≥． 若设整数1m <-，则2m -≥．令k m =-， 由题设，取1,k a a ，使*1()k r a a a r ⋅=∈N ，
即11111k r a a q a q --⋅⋅=⋅，所以11m m r q q q ---⋅=，即11r q q --=．……………12分 所以q >0，q ≠1，11r -=-，0r =与*r ∈N 矛盾!
所以1m -≥．…………………………………………………………………15分
24．已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足)1(21
--=n n a S (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)试证明2
1
<n S ；
(3)设函数x x f 3
1log )(=，12()()()n n b f a f a f a =++
+，求
99
21111b b b +++ 的值。

25．某人于1997年7月1日在银行按一年定期储蓄的方式存入a 元，1998年7月1日，他将到期存款的本息取出后添上a 元再按一年定期储蓄存入银行，此后他每年7月1日按照同样同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利率r 不变，问到2002年7月1日他的本息共有多少？
26．已知数列}{,}{n n b a 满足22,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a .(12分) （1）求证：数列{b n +2}是公比为2的等比数列；
（2）求n a .
27．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，求证6S ，126S S -，1812S S -，也成等差数列．
28．一个多边形的周长等于158cm ，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44cm ，公差等于3cm ，求多边形的边数．
29．数列{}
2n 的前n 项和2222
123n S n =++++…，研究一下，能否找到求n S 的一个公
式．你能把你的思想方法作一些推广吗？
30．已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足：2)2(8
1
+=n n a S . (1)求证{}n a 是等差数列； (2)若302
1
-=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和的最小值.。