概率论复习重点难点解析
考研数学概率复习难点归纳
考研数学概率复习难点归纳概率是考研数学中难度较大的一个章节，很多考生都会感到头痛，特别是在记忆和理解方面。
为了帮助考生更好地复习，本文将归纳概率复习中的难点。
1. 基本概率公式和加法公式概率的基本公式和加法公式是概率计算的基础，也是考研数学概率考试中的必考点。
但是，很多考生往往容易混淆这两个公式，造成计算错误。
•基本概率公式：$P(A) = \\frac{N(A)}{N}$其中，P(A)代表事件A发生的概率，N(A)代表事件A发生的样本点个数，N代表总的样本点个数。
•加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)其中，P(A+B)代表事件A或事件B发生的概率，P(AB)代表事件A和事件B同时发生的概率。
需要注意的是，加法公式只适用于“或”的情况，而不是“和”的情况。
因为“和”的情况存在重复计数的问题。
2. 条件概率和乘法公式条件概率和乘法公式是概率计算中的另一个基础。
但是，很多考生容易对条件概率和条件概率公式之间的区别存在混淆，难以理解概率问题。
•条件概率：$P(A|B) = \\frac{P(AB)}{P(B)}$其中，P(A|B)代表在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，而P(B)代表事件B发生的概率。
•乘法公式：$P(AB) = P(B) \\times P(A|B)$可以理解为：A和B同时发生的概率等于B发生的概率与在B发生的条件下A发生的概率的乘积。
对于条件概率和乘法公式，考生需要逐步理解它们的含义，尤其是在复杂的题目中，需要注意条件的限制和约束。
3. 独立事件和全概率公式独立事件和全概率公式是概率计算中比较复杂的内容，对于大多数考生来说，需要花费一定的复习时间才能理解。
•独立事件：如果事件A和事件B满足$P(AB) = P(A) \\times P(B)$，则事件A和事件B称为独立事件。
当事件A和事件B是独立事件时，知道事件B发生与否对事件A的概率没有影响，反之，知道事件A发生与否对事件B的概率也没有影响。
考研数学概率论部分重难点总结
考研数学概率论部分重难点总结1.1概率这门课的特点与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。
但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。
一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。
概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。
在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。
记得当初看到陈文灯复习指南概率部分第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》中在每章开始列出的那些大表格时，感觉其中必然会有很多内容是超纲的、不用细看；但后来复习时才发现，可以省略不看的内容少之又少，由大量的内容需要记忆。
所以对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。
记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分20%的分值基本上就不难拿到了。
1.2概率第一章《随机事件和概率》本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。
虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。
填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如)()(BAPABP=、)|()|(ABPABP=、)(CBAP++这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公式和贝叶斯公式在小题中和大题中都有可能考到。
概率论笔记1
概率复习重点归纳 一、随机事件与概率 重点难点： 重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式 难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes 公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算 常考题型： （1）事件关系与概率的性质 （2）古典概型与几何概型 （3）乘法公式和条件概率公式 （4）全概率公式和Bayes 公式 （5）事件的独立性 （6）贝努利概型 概念辨析1，互不相容（互斥）事件同逆（对立）事件互不相容事件：AB =Φ 逆事件：,A B AB ⋃=Ω=Φ事件互逆指的是非此即彼，即事件之一必定发生；而不相容仅指不能同时发生，但是是可以同时不发生的。
2，独立与互不相容（互斥）对事件A 及B ，若P(A)P(B)>0，且P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 及B 互相独立；事件独立同事件互斥是两套不同的概念，不能进行比较；须知独立性针对的是事件概率存在上面的等式关系；而互斥是指事件的不可同时发生，两者之间不存在必然关系。
3、条件概率同乘积概率P(AB)是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，而P(A | B)是在试验中增加了新条件B 发生 后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率。
虽然A 、B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当A 、B 同时发生时，常用P(AB)，而在有包含关系或明确的主从关系时，用P(A | B) .例：袋中有9 个白球1 个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2 次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（ 2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个乘积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.4、全概率公式同贝叶斯公式 全概率公式：要求事件A 的概率（通常直接不太好求），将其分成几个比较容易计算的概率之和。
在分析问题的过程中，A 可视为B1∪B2∪B3∪…∪Bn 的子事件，或者把Bi 看成A 发生的原因，A 是结果，而及较易求出，从而可由“因”求出“果”。
高考数学重点难点30解概率题的方法总结
重点难点30 概率概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容.要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法.●重点难点磁场(★★★★★)如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2.●案例探究［例1］(★★★★★)有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下：［10，15］4 ［30，35 9 ［15，20 5 ［35，40 8 ［20，25 10 ［40，45 3 ［25，3011(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.命题意图：本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法.知识依托：频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法.错解分析：解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别.技巧与方法：本题关键在于掌握三种表格的区别与联系.解：(1)由所给数据，计算得如下频率分布表数据段［10,15［15,20［20,25［25,30［30,35［35,40［40,45总计频数 4 5 10 11 9 8 3 50频率0.08 0.10 0.20 0.22 0.18 0.16 0.06 1累积频率0.08 0.18 0.38 0.60 0.78 0.94 1(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下：［例2］(★★★★★)某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ζ是一个随机变量，它的分布列如下：ζ 1 2 3 (12)P……设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费用100元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？命题意图：本题考查利用概率中的某些知识如期望来解决实际问题.知识依托：期望的概念及函数的有关知识.错解分析：在本题中，求Ey是一个重点难点，稍有不慎，就将产生失误.技巧与方法：可借助概率分布、期望、方差等知识来解决日常生产生活中的实际问题.解：设x为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑1≤x≤12的情况，设电器商每月的收益为y元，则y是随机变量ζ的函数且y= ,电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为：Ey=300x(Px+Px+1+…+P12)+［300－100(x－1)］P1+［2×300－100(x－2)］P2+…+［300(x －1)－100］Px－1=300x(12－x+1) + ［300×］= (－2x2+38x)由于x∈N,故可求出当x=9或x=10时，也即电器商月初购进9台或10台电冰箱时，收益最大.●锦囊妙记本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.涉及的思维方法：观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化.主要思维形式有：逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维.●歼灭重点难点训练一、选择题1.(★★★★★)甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )2.(★★★★)已知随机变量ζ的分布列为：P(ζ=k)= ,k=1,2,3,则P(3ζ+5)等于( )A.6B.9C.3D.4二、填空题3.(★★★★)1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望Eζ=_________.4.(★★★★)某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________.三、解答题5.(★★★★★)甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率.6.(★★★★)已知连续型随机变量ζ的概率密度函数f(x)=(1)求常数a的值，并画出ζ的概率密度曲线；(2)求P(1＜ζ＜).7.(★★★★★)设P在［0,5］上随机地取值，求方程x2+px+ =0有实根的概率.8.(★★★★★)设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。
数学概率论重难点解析
数学概率论重难点解析概率论是数学中的一个重要分支，研究的是不确定性事件的规律性。
在学习概率论的过程中，很容易遇到一些重难点，下面将对其中几个重要的难点进行解析。
一、概率定义与性质概率的定义是指在具有一定条件的情况下，某事件发生的可能性大小。
概率的性质包括非负性、规范性、可列可加性等。
概率的非负性表示概率值不会是负数；概率的规范性意味着所有可能事件的概率之和等于1；概率的可列可加性是指对于可列个两两互斥的事件，它们的概率之和等于各事件概率的极限。
二、古典概型与几何概型在概率论中经常遇到的是古典概型和几何概型。
古典概型是指在试验前能够确定每个基本事件发生的可能性相等的情况，例如掷一枚均匀的骰子，每个面出现的概率都是1/6。
而几何概型则是指事件发生与事件的几何性质有关的情况，例如在二维平面上随机取一点，点落在某一区域内的概率与区域的面积有关。
三、条件概率与独立性条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算可以通过贝叶斯定理进行，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
独立性是指两个事件发生与否互不影响的情况。
如果事件A和事件B是独立的，那么P(A|B) = P(A)，即在已知事件B发生的情况下，事件A的概率与事件B无关。
四、常见概率分布概率论中还有一类重要的难点是各种概率分布的理解和运用。
几个常见的概率分布包括离散型分布（如二项分布、泊松分布）和连续型分布（如正态分布、指数分布）。
对于这些概率分布，需要了解其分布函数、概率密度函数、期望值、方差等基本性质。
五、大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中的两个重要定理，它们揭示了随机事件的规律性。
大数定律表明，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于该事件的概率。
中心极限定理则指出，独立的随机变量之和在一定条件下服从正态分布，不管这些随机变量是什么分布。
总结：概率论作为数学的一个分支，涉及了很多重要的难点。
概率论重点难点
第一章随机事件及其概率的重点内容是：1、了解随机试验，随机事件的概念。
2、理解随机事件的关系及其运算。
3、深刻理解概率的定义。
4、掌握古典概型，几何概型的事件的概率计算。
5、重点掌握条件概率公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式，并应用其计算事件的概率。
6、深刻理解事件的独立性，伯努利概型。
第二章随机变量及其概率分布的重点内容是：1、理解随机变量及其分布函数的概念。
2、熟练掌握离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度的计算。
3、深刻理解几种常见的概率分布，尤其正态分布。
4、重点掌握随机变量的函数的概率分布的计算（本章的难点）。
第三章多维随机变量及其概率分布的重点内容是：1、理解二维随机变量及其分布函数的概念。
2、掌握边缘分布及随机变量的独立性，熟练掌握二维离散型和连续型随机变量的边缘分布和边缘概率密度计算。
3、深刻理解条件分布的概念，掌握条件分布的概率密度的计算。
4、了解n维随机变量及其独立性的概念。
6、重点掌握两个随机变量的函数的概率分布的计算（本章的难点）。
第四章随机变量的数字特征的重点内容是：1、熟练掌握随机变量的数学期望与方差的概念。
2、理解协方差、相关系数和矩的概念。
3、熟练的计算随机变量的数学期望和方差。
第五章大数定律及中心极限定理的重点内容是：1、了解大数定律的概念，熟练掌握Chebyshev不等式。
2、深刻理解依概率收敛的概念（本章的难点）。
3、熟练掌握同分布的中心极限定理及其计算。
4、重点掌握中心极限定理在实际问题中的应用（本章的难点）。
第六章样本及样本函数的分布的重点内容是：1、理解总体和样本的概念。
2、了解直方图与样本分布函数。
3、正确理解样本函数及其概率分布。
4、重点掌握统计量的概念（本章的难点）。
5、深刻理解分布，t分布，F分布及上分位点的概念并熟练掌握它们的性质。
第七章参数估计的重点内容是：1、理解参数的点估计方法及区间估计法。
2、熟练掌握矩估计和极大似然估计法。
概率论第八章 重点难点分析
第八章重点难点分析重点(1)假设检验的基本思想，假设检验的基本步骤，假设检验可能产生的两类错误。
(2)单个和两个正态总体下均值与方差的显著性检验。
难点假设检验的基本思想疑难分析（1）如何确定原假设和备择假设原假设和备择假设是一对相互对立的命题，在实际问题中，对原假设的提出，或许是从以往的经验得出，或许是从机器的设计依据得出，因此是受保护的假设，只有取得了不利于的显著证据时，才能拒绝。
备择假设又称对立假设。
在参数检验中有三种不同形式。
( 8.1 )> ( 8.2 )< ( 8.3 )其中（8.1）称为双边检验，(8.2) (8.3)称为单边检验，究竟采用何种备择假设，应根据实际问题而定。
如讨论新老工艺对产品均值有无显著性影响，，而应为单边检验>。
通常想用假设检验说明某结论成立，则原假设为“该结论不成立”。
（2）接受原假设，不一定说明为真。
用显著性检验的方法，得出“接受”的结论只是说明抽样结果没有提供对不利的显著证据，故不能拒绝。
但是由于显著性检验是从控制犯第I类错误的概率P{拒绝|为真}不超过显著性水平而作出判断的，是一个较小的数，但是犯第Ⅱ类错误的概率也可能很大，也就是说，在保证了“弃真”的概率小于时，“存伪”的概率仍可能很大。
“接受”是在抽样的证据不足以拒绝而又必须作出一个明确的选择下作出的判断。
换言之，只是说试验的结果和没有矛盾。
（3）怎样选择统计量统计量的选择与原假设有关。
统计量是样本的函数，它不能包含未知参数，但要包含原假设中的已知参数，只有不包含未知参数，才能计算它的观察值，只有包含中的已知参数，才能对原假设是否成立作出判断。
另外，统计量在成立条件下其分布应为已知，才能据此确定拒绝域。
检验单个正态总体下的均值问题。
由于是的无偏估计，D()=,根据契比雪夫大数定律P{|-|>ε}<，因此|-|不应该很大，如果-偏大，就提供了对不利的证据。
因此，我们可选统计量为-。
考研数学备考：概率论重难点及常考题型汇总
考研数学备考：概率论重难点及常考题型汇总考研数学备考：概率论重难点及常考题型汇总一、随机事件与概率重点难点：重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes 公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算常考题型：(1)事件关系与概率的性质(2)古典概型与几何概型(3)乘法公式和条件概率公式(4)全概率公式和Bayes公式(5)事件的独立性(6)贝努利概型二、随机变量及其分布重点难点重点：离散型随机变量概率分布及其性质，连续型随机变量概率密度及其性质，随机变量分布函数及其性质，常见分布，随机变量函数的分布难点：不同类型的随机变量用适当的概率方式的描绘，随机变量函数的分布常考题型(1)分布函数的概念及其性质(2)求随机变量的分布律、分布函数(3)利用常见分布计算概率(4)常见分布的逆问题(5)随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布重点难点重点：二维随机变量结合分布及其性质，二维随机变量结合分布函数及其性质，二维随机变量的边缘分布和条件分布，随机变量的独立性，个随机变量的简单函数的分布难点：多维随机变量的描绘方法、两个随机变量函数的分布的求解常考题型(1)二维离散型随机变量的结合分布、边缘分布和条件分布(2)二维离散型随机变量的结合分布、边缘分布和条件分布(3)二维随机变量函数的分布(4)二维随机变量取值的概率计算(5)随机变量的独立性四、随机变量的数字特征重点难点重点：随机变量的数学期望、方差的概念与性质，随机变量矩、协方差和相关系数难点：各种数字特征的概念及算法常考题型(1)数学期望与方差的计算(2)一维随机变量函数的期望与方差(3)二维随机变量函数的期望与方差(4)协方差与相关系数的计算(5)随机变量的独立性与不相关性。
考研数学一大纲重难点解析概率论与数理统计部分典型题型剖析
考研数学一大纲重难点解析概率论与数理统计部分典型题型剖析概率论与数理统计是考研数学一大纲中的重要部分，也是考生们在备考过程中常常遇到的难点之一。
本文将重点解析概率论与数理统计的典型题型，帮助考生更好地掌握这一部分知识。
一、概率论1. 概率与事件概率论的基础是概率与事件的概念。
在此部分，考生需要掌握事件的基本概念、事件的运算、概率的定义、概率的性质等内容。
典型题型包括事件的互斥与独立性、事件的运算法则等。
考生在解答此类题目时应注意运用概率的基本性质，并进行合理的计算。
2. 随机变量及其分布律随机变量是概率论与数理统计的重要概念之一。
考生需要掌握随机变量的定义、离散随机变量与连续随机变量的概念、分布律的性质等知识点。
典型题型包括计算随机变量的期望、方差等。
考生在解答此类题目时应注意根据定义和性质进行计算，并合理运用公式。
3. 数理期望与方差数理期望与方差是随机变量的重要特征之一。
考生需要掌握数理期望与方差的概念、性质、计算方法等知识点。
典型题型包括利用数理期望与方差计算随机变量的相关性和条件概率等。
考生在解答此类题目时应注意计算过程的合理性，并运用数理期望与方差的性质进行推理。
4. 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理是概率论的重要理论。
考生需要掌握大数定律与中心极限定理的概念、条件以及应用方法。
典型题型包括利用大数定律和中心极限定理求解随机变量的极限分布等。
考生在解答此类题目时应注意运用大数定律和中心极限定理的条件，并进行合理的推导。
二、数理统计1. 参数估计参数估计是数理统计的重要内容之一。
考生需要掌握点估计和区间估计的概念、性质、计算方法等知识点。
典型题型包括利用最大似然估计和矩估计求解参数的估计量等。
考生在解答此类题目时应注意理解估计的概念和方法，并进行合理的计算与推导。
2. 假设检验假设检验是数理统计中的重要内容之一。
考生需要掌握假设检验的基本原理、步骤、常见假设检验方法等知识点。
概率论难点剖析
概率论难点剖析概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和不确定性。
无论是在学术界还是在应用领域，概率论都具有广泛的应用价值。
然而，由于其概念抽象、计算繁琐等特点，概率论的学习和应用过程中常常遇到一些难点。
本文将从几个典型的难点入手，进行剖析和探讨，以期帮助读者更好地理解和掌握概率论的核心概念和方法。
一. 概率的本质和基础概念概率是描述随机事件可能发生性的数值度量。
然而，对于概率的本质和基础概念的理解，往往是初学者最容易产生困惑的地方。
在解决这个问题时，我们可以从以下几个方面进行分析和讨论。
1.1 频率解释和古典概型概率的频率解释指的是通过实验和统计的方法，观察某个随机事件在无穷多次独立试验中发生的比例，来估计该事件发生的概率。
而古典概型则是指某个随机事件的样本空间中的元素有限且等可能出现的情况。
这两种解释都是概率的基础，但在具体问题中的应用和理解上可能会引发一些混淆和误解。
1.2 条件概率和独立性条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
独立性则是指两个事件的发生与否互相独立，即一个事件的发生不会影响另一个事件的概率。
理解和应用条件概率和独立性是概率论中的难点之一，需要注意归因于条件概率和独立性的误用和混淆。
二. 概率分布和随机变量概率分布和随机变量是概率论的核心概念之一。
概率分布指的是随机变量在各个取值上的概率分布情况，而随机变量则是指对于某个随机现象的可量化的随机数值。
在理解和掌握概率分布和随机变量时，存在以下难点。
2.1 离散型和连续型随机变量离散型随机变量是指随机变量的取值是可数的，例如骰子的点数；而连续型随机变量则是指随机变量的取值是连续的，例如身高、体重等。
理解和区分离散型和连续型随机变量以及它们的概率分布是学习概率论的难点之一。
2.2 期望和方差期望和方差是描述随机变量分布特征的重要统计量。
期望可以理解为随机变量取值的平均值，而方差则是用来度量随机变量取值的分散程度。
突破重庆市考研数学难点概率论与数理统计重点知识点解析
突破重庆市考研数学难点概率论与数理统计重点知识点解析概率论与数理统计是重庆市考研数学科目中的难点内容之一。
对于考生来说，掌握概率论与数理统计的重点知识点是备考的关键。
本文将针对这些重点知识点进行解析，帮助考生突破概率论与数理统计的难点，为考试取得更好的成绩做准备。
一、概率论1. 随机事件与概率随机事件是指在一定条件下会出现多种可能结果的事件，概率则是衡量事件发生可能性的大小。
在概率论中，我们需要掌握基本概念、概率的性质、概率的计算方法等知识点。
2. 随机变量与概率分布随机变量是指在随机试验中可能取得的结果，概率分布则是随机变量各取值的概率分布情况。
在概率论中，需要了解离散随机变量与连续随机变量的概念及其性质，以及常见的概率分布，如二项分布、正态分布等。
3. 大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论的重要定理。
大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件出现的频率会趋近于它的概率；中心极限定理则说明，在一定条件下，随机变量的和在试验次数趋于无穷时将近似服从正态分布。
二、数理统计1. 参数估计与假设检验参数估计是指利用样本数据来估计总体参数的方法，而假设检验则是根据样本数据对总体参数的假设进行验证。
在数理统计中，需要了解最大似然估计、点估计和区间估计等知识点，以及假设检验的基本原理和步骤。
2. 方差分析方差分析是用来分析不同因素对总体均值影响的方法。
在数理统计中，需要了解单因素方差分析和多因素方差分析的基本概念、计算方法和推断过程。
3. 回归分析与相关分析回归分析是利用自变量和因变量之间的关系进行预测和分析的方法，相关分析则是度量两个变量之间相关性的方法。
在数理统计中，需要了解线性回归分析和相关分析的基本原理、计算方法和应用场景。
三、解析与应用1. 多题解析通过对历年考研数学真题的分析，我们可以发现概率论与数理统计的难点题型往往集中在某些特定知识点上。
对于这些难点题型，需进行详细解析，帮助考生理解解题思路和方法。
概率论主要内容和复习重点
第一章 随机事件与概率 主要内容： 一．事件的运算：交、并、补等 二．概率的性质：加法公式等 三．三种概型：古典概型、几何概型、伯努利概型 四．条件概率及其三个公式：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式 五．事件独立性
重点： 条件概率及其三个公式；事件独立性。
第二章 随机变量及其分布 主要内容： 一．三类变量：离散、连续、混合 二．三个函数：概率函数、密度函数、分布函数 三．十种重要分布：二项、泊松、超几何、均匀、指数、正态
重点： 特征函数：计算、性质（4）、唯一性 中心极限定理：化为正态分布计算
几何、负二项、伽玛、贝塔（了解） 四．数字特征：期望、方差与标准差、切比雪夫不等式
矩、分位数、变异系数、偏度、峰度（了解） 五．随机变量函数的分布：离散、连续
重点： 求概率：离散用求和、连续用积分、混合用斯蒂阶积分 重要分布：记住六种分布的概率或密度函数、实际背景、期望与方差、特征函数 求期望方差：离散用求和、连续用积分、混合用斯蒂阶积分 随机变量函数：连续情形下，一般函数的分布函数法与严格单调函数的公式法
第三章 多维随机变量及其分布 主要内容： 一．两类变量：离散、连续 二．三个函数：概率函数、密度函数、分布函数，各自的联合、边际、条件分布 三．四种重要分布：二维均匀、二维正态、多项、多维超几何 四．数字特征：期望、方差与标准差、协方差与相关系数，条件期望与条件方差 五．二维随机变量函数的分布：离散、连续
重点： 求概率：离散用求和、连 重要分布：记住两种分布的联合密度函数 求期望方差协方差：离散用求和、连续用二重积分 求复合随机变量的期望方差：重期望公式与条件方差公式 随机变量函数：连续情形下，一般函数的分布函数法与单调函数的增补变量法
第四章 大数定律与中心极限定理 主要内容： 一．两种收敛性：依概率收敛、按分布收敛 二．特征函数：定义、性质、重要分布的特征函数 三．大数定律：伯努利、切比雪夫、马尔可夫、辛钦 四．中心极限定理：棣莫弗-拉普拉斯、林德贝格-列维
《概率论与数理统计》课程重点与难点要记
《概率论与数理统计》课程重点与难点要记第一章：随机事件及其概率题型一：古典概型1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。
2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。
3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。
4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率1。
3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。
2。
设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。
3。
设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。
课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12，13题型三：全概率与贝叶斯公式1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。
知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率；（2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。
2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。
考研数学概率论与数理统计重难点分析
考研数学概率论与数理统计重难点分析概率论与数理统计是考研数学中的重要组成部分，也是相对较难的部分，考研生需要认真复习和理解。
本文将通过分析考研概率论与数理统计的重难点，帮助考生更好地复习这一部分内容。
一、概率的基础知识考研概率论的基础知识主要包括样本空间、事件、概率、条件概率、随机变量及其分布、数理期望、方差、协方差和相关系数等概念。
在这些基础知识中，样本空间和事件的概念是考研数学中最基础和最重要的概念。
1.1 样本空间样本空间是一个随机试验所有可能结果组成的集合。
例如，掷一枚骰子，样本空间为 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
考研中常见的样本空间还有组合问题中的选数问题，如从五个数中选三个数的样本空间为 {1, 2, 3}、{1, 2, 4}、{1, 2, 5}、{1, 2, 6}、{1, 3, 4}、{1, 3, 5}等15种情况。
1.2 事件事件是指样本空间的子集，即指随机事件发生的某些结果。
例如在掷一枚骰子的样本空间中，假设事件A表示掷得奇数，则事件A为 {1, 3, 5}。
在考研中，事件的概念常常和条件概率一起出现。
1.3 概率概率是指一个事件在样本空间中占据的比重。
在样本空间中，每个事件的概率都应该在0到1之间，即0≤P(A)≤1。
1.4 条件概率条件概率是指事件A在事件B已经发生的情况下发生的概率。
其中，条件概率的计算方法为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
在考研中，条件概率经常用于证明一些定理和公式。
二、随机变量和概率分布随机变量是指取值具有不确定性的变量。
在考研中，常见的随机变量有离散随机变量和连续随机变量。
2.1 离散随机变量离散随机变量是指取值不连续的随机变量，如扔掷一个骰子出现的点数、抛一次硬币出现正面的次数等。
离散随机变量最重要的是概率质量函数，即这些随机变量取值的概率分布。
2.2 连续随机变量连续随机变量是指取值连续的随机变量，如测量一个人身高、身体重量等。
概率论难点解析与突破
概率论难点解析与突破一、引言概率论是数学中的一门重要学科，主要研究随机事件的概率、统计规律以及随机变量的分布。
然而，对于许多学生来说，概率论常常是一门难以理解的学科，存在着许多难点。
本文将围绕概率论的难点进行分析，并提供突破的方法和技巧。
二、概率的基本概念及难点解析1. 概率的定义与性质概率是描述随机事件发生可能性的数值，常用来表示事件发生的程度。
然而，概率的定义及其性质是许多学生学习概率论时的难点。
一方面，概率的定义抽象且不易理解；另一方面，概率的性质涉及到数学推导，需要熟练的数学运算能力。
2. 条件概率与独立性条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算涉及到概率的乘法规则，对于一些复杂的条件概率问题，学生容易迷失在计算过程中。
此外，独立事件的概念和独立性的判断也是学生容易混淆的地方。
三、概率计算方法及难点解析1. 排列与组合的应用在概率论中，排列与组合是常用的计算方法。
学生在排列与组合的应用时，常常容易出错或者不知道如何下手。
例如，计算不同顺序下的排列数以及从一组数中选择若干个数的组合数。
2. 事件的相加与相乘规则概率中的相加与相乘规则是计算复合事件概率的重要方法。
然而，许多学生在应用这两个规则时经常混淆，尤其是在计算不相容事件概率时更容易出错。
四、贝叶斯定理及难点解析贝叶斯定理是概率论中的重要定理，用于计算条件概率。
然而，学生在运用贝叶斯定理时存在一定的困难。
贝叶斯定理的推导过程需要熟悉条件概率的计算方法，而且对于复杂的条件概率问题，需要灵活运用贝叶斯定理解决。
五、概率论难点的突破方法与技巧1. 加强基本概念的理解为了克服概率论的难点，学生首先要加强对基本概念的理解。
要通过大量的例题和习题，动手计算和推导，加深对概率的认识，并且能够熟练应用概率的定义和性质。
2. 紧密联系实际问题概率论是一个应用广泛的学科，在学习过程中，学生可以尝试将概率理论与实际问题相联系，通过解决实际问题来提高对概率的理解。
上海市考研数学复习资料概率论与数理统计重难点分析
上海市考研数学复习资料概率论与数理统计重难点分析概率论与数理统计作为考研数学中的核心内容，对于考生来说是一个相当重要的科目。
为了帮助考生更好地备考，下面将对概率论与数理统计中的一些重难点进行分析。
一、概率论1.基本概念概率论的核心就是概率的计算与应用，而掌握概率的基本概念是理解概率论的关键。
考生需要熟悉事件、样本空间、随机变量、概率分布等基本概念，并能够正确运用。
2.条件概率与独立性条件概率与独立性是概率论中的基本概念，也是考研中的重点难点。
考生需要掌握条件概率的计算方法，以及如何判断事件之间是否独立。
3.随机变量与概率分布随机变量是概率论中的一个重要概念，掌握随机变量的分类与性质是理解概率分布的基础。
考生需要熟悉离散型随机变量和连续型随机变量的定义与特点，并掌握常见概率分布的计算方法。
4.大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理是概率论中的两个重要定理，也是考研中的难点。
考生需要了解大数定律的弱法则与强法则，以及中心极限定理的应用，掌握其计算方法与思想。
二、数理统计1.样本及抽样分布样本及抽样分布是数理统计中的基础内容，也是考研中的重要考点。
考生需要理解样本的概念与抽样分布的定义，熟悉常见的抽样分布如正态分布、t分布、F分布等，并掌握它们的计算方法与性质。
2.参数估计参数估计是数理统计中的核心内容，也是考研中的重点难点。
考生需要熟悉点估计与区间估计的概念与思想，了解常见的估计方法如极大似然估计、矩估计等，并能够熟练运用。
3.假设检验假设检验是数理统计中的重要内容，也是考研中的难点。
考生需要了解假设检验的基本思想与步骤，熟悉常见的假设检验方法如正态总体的均值检验、方差检验等，并能够正确应用。
4.方差分析与回归分析方差分析与回归分析是数理统计中的高级内容，也是考研中的拓展考点。
考生需要了解方差分析与回归分析的基本原理与应用，熟悉常见的方差分析与回归分析模型，并能够进行相关计算与分析。
总结：概率论与数理统计作为考研数学中的重要科目，对于考生来说是一个相对难度较大的部分。
青海省考研数学复习概率论与数理统计重难点梳理
青海省考研数学复习概率论与数理统计重难点梳理概率论与数理统计是数学中的重要分支，也是考研数学中的一项重要内容。
青海省考研数学复习中，概率论与数理统计内容涉及较广，掌握重难点知识点对于备考至关重要。
本文将对青海省考研概率论与数理统计的重难点进行梳理，帮助考生有效复习。
一、概率论重难点1.基本概念概率论的基本概念是考研中的重点内容，包括样本空间、随机事件、概率等。
在复习过程中，要注意理解清楚这些基本概念的含义和关系，能够准确运用于解题中。
2.概率运算概率运算是概率论的核心内容，其中包括事件的概率计算、事件的运算（并、交、差）等。
在复习过程中，需要熟练掌握概率运算的基本方法和技巧，灵活运用于解题中。
3.条件概率与独立性条件概率与独立性是概率论中的重要概念，也是考研中的重点内容。
在复习过程中，要注意理解条件概率与独立性的概念及其性质，能够准确判断条件概率和独立性的关系，并运用于解题中。
4.随机变量与概率分布随机变量与概率分布是概率论中的重要内容，也是考研中的难点内容。
在复习过程中，要注意掌握随机变量的定义及其性质，能够准确计算概率分布，并理解不同类型概率分布的特点和应用。
5.大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理是概率论中的重要定理，也是考研中的难点内容。
在复习过程中，要注意理解大数定律和中心极限定理的内容及其应用，能够灵活运用于解题中。
二、数理统计重难点1.参数估计与假设检验参数估计与假设检验是数理统计的核心内容，也是考研中的重点内容。
在复习过程中，要注意掌握参数估计与假设检验的基本思想和方法，能够准确计算参数估计值和检验统计量，并进行假设检验。
2.抽样分布与区间估计抽样分布与区间估计是数理统计的重要内容，也是考研中的难点内容。
在复习过程中，要注意理解抽样分布的概念及其特点，能够准确计算置信区间和预测区间，并理解区间估计的意义和应用。
3.非参数检验非参数检验是数理统计的一项重要内容，也是考研中的难点内容。
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重难点解析
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重难点解析山东省考研数学复习资料：概率论与数理统计重难点解析概率论与数理统计是山东省考研数学中的重要内容，对于考生来说，掌握其中的重难点非常关键。
本文将对概率论与数理统计的重难点进行深入解析，为考生提供有针对性的复习资料。
一、概率论的重难点解析1.概率空间与概率公理在概率论中，概率空间是一个抽象的数学模型，它由样本空间、事件和概率三个基本要素组成。
其中，概率公理是概率空间的基础，包括非负性、正则性和可列可加性。
考生需要深入理解概率空间的概念，并能够熟练运用概率公理进行相关计算。
2.随机变量与概率分布随机变量是概率论中的核心概念之一，它描述了随机现象的数值特征。
概率分布则是随机变量的数值与其对应概率之间的关系。
在复习概率论时，考生需要了解随机变量的分类与性质，并掌握常见概率分布的特点和计算方法，如离散型分布（如二项分布、泊松分布）、连续型分布（如正态分布、指数分布）等。
3.大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中的两个重要理论。
大数定律描述了随机变量序列的均值在概率意义下收敛于其数学期望，而中心极限定理则说明了大量独立同分布随机变量的和的极限分布接近正态分布。
考生需要掌握大数定律与中心极限定理的基本概念和应用场景，并能够灵活运用它们解决实际问题。
二、数理统计的重难点解析1.抽样与抽样分布在数理统计中，抽样是指从总体中选取一部分个体进行观察和测量，为了方便推断总体的统计特征。
抽样分布则是描述统计量的分布情况，如样本均值的分布、样本方差的分布等。
考生需要了解常见的抽样方法和抽样分布的性质，如t分布、卡方分布等，并能够进行相关计算和推断。
2.参数估计与假设检验参数估计是利用样本数据对总体参数进行估计的方法，其中包括点估计和区间估计两种常用方法。
假设检验则是利用样本数据对总体参数进行假设验证的方法，包括对总体均值、总体方差等参数的检验。
考生需要熟悉参数估计与假设检验的原理和步骤，并能够运用相关方法解决实际问题。
概率论重难点解析
概率论重难点解析概率论作为一门重要的数学分支，主要研究随机事件发生的规律和概率计算问题。
在学习概率论的过程中，我们会遇到一些相对困难的部分，本文将对这些重难点进行解析，帮助读者更好地理解和掌握概率论的关键内容。
一、样本空间和事件的概念1. 样本空间在概率论中，样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
通过定义清晰的样本空间，我们能够准确地描述随机事件的发生情况。
然而，有时候确定样本空间并不是一件容易的事情。
例如，考虑一个抛硬币的实验，我们可能会认为样本空间是{"正面", "反面"}，但实际情况中，硬币可能会出现侧翻、停在空中等无法捕捉到的情况。
因此，确定样本空间需要考虑实际情况并进行合理的定义。
2. 事件在概率论中，事件是样本空间的子集，即样本空间中的一些具体结果的集合。
我们通常用大写字母表示事件，例如A、B、C等。
事件的概率是指事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
在计算事件的概率时，我们往往需要基于样本空间、事件的定义以及某些基本概率公式来进行推导。
二、概率的计算方法1. 古典概率古典概率是一种基本的概率计算方法，适用于既往发生的事件、各个结果等可能且独立的情况。
根据古典概率的定义，可以通过计算事件发生的有利结果与样本空间的总结果数的比值来求得事件的概率。
举个简单的例子，如果我们有一个装有20个红色球和80个蓝色球的盒子，那么从中抽出一个球是红色球的概率就是20/100=0.2，即P(红色球)=0.2。
2. 条件概率条件概率是指在已知某个事件B发生的前提下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率在实际问题中的应用非常广泛，能够帮助我们更准确地估计事件发生的概率。
例如，考虑一个医生预测某种疾病的概率，如果已知某个病人的症状，我们可以通过条件概率来计算该病人患病的可能性。
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概率论复习重点（10经二）
第一章随机事件及其概率
§1.1随机事件
1、差化积：A—B=A—AB
2、运算律：分配律、自反律、对偶律P5
§1.2随机事件的概率
3、概率的性质：（6个）P9
其中最重要的：性质4
性质6
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) P10.习题
§1.3古典概型
4、古典概型：取球模型（有、无范围抽取）P12
P12.例2 P14. 1、4、8题P16. 例2
§1.4条件概率
5、条件概率：公式P15
乘法概率公式、全概率公式、贝叶斯公式P17~P19
§1.5事件的独立性
6、事件的独立性：定义P21
伯努利概型P23 第五节例题
第二章随机变量及其分布
§2.1随机变量
1、随机事件的定义的理解P28
§2.2离散型随机变量及其概率分布
2、概率分布的定义P30
3、常用离散分布
（1）两点分布、二项分布、泊松分布P32 （2）泊松定理P35
§2.4连续型随机变量及其概率密度（很重要）
4、概率密度的定义P40
5、常用连续型分布
均匀分布、指数分布、正态分布（它们的定义、概率密度、参数范围、性质、记号（比如均匀分布的记号为X~U（a，b））
6、正态分布：标准化（标准正态分布的性质、计算公式）（重要）P44
7、第四节例题、作业
§2.5随机变量函数的分布P48 8、连续型随机变量的分布：有两种方法可求，但只需掌握一种就行，第一种较常用
（1）用F（y）求（2）P49底. 定理一
第三章多维随机变量及其分布
§3.1二维随机变量及其分布
1、二维随机变量的联合分布函数定义P54
2、边缘分布函数定义P55
3、分布函数与概率密度的定义、关系P57
4、二维均匀分布：概率密度函数P59
5、二维正态分布：只需掌握其边缘概率密度P60底
§3.2条件分布与随机变量的独立性
6、条件分布的概念P63
7、X、Y相互独立的定义P64
8、离散型与连续型随机变量的条件分布、独立性：概念P64、P65
9、P206表掌握6个分布：0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数
分布（它们的参数、分布律、数学期望、方差）
10、第二节例题、作业
§3.3二维随机变量函数的分布
只需掌握P72定理一就行P72
第四章随机变量的数学特征
§4.1数学期望
1、性质、条件P78
§4.2方差
2、性质、条件P84
§4.3协方差与相关系数
3、定义、概念P89
例题（特别是例3、例4）、作业题
§4.4大数定理与中心极限定理（很重要！考！）P97怎么运用这些公式。
例题、作业
第五章数理统计的基础知识
§5.1数理统计的基本概念
1、简单随机抽样：2个条件P107
2、统计量、常用统计量：熟悉定义P112
§5.2常用统计分布（很重要）
3、分位数
三大分布：卡方分布、t分布、F分布（定义、基本性质）P117 4、例题、作业
§5.3抽样分布
5、单正态总体的抽样分布：例题P123 （双正态总体和一般总体不用管）
第六章参数估计
§6.1点估计问题概述
1、评价估计量的标准：3个（它们的定义、例题）P132
§6.2点估计的常用方法
2、矩估计法、最大似然估计法（例题、作业）P136 (PS.§6.2以后的都不考了)
考试题型：
一、填空。
（20*1’=20’）
二、选择。
（20*1’=20’）
三、计算。
（5题）
四、证明。
（1题）。