河南省安阳市龙安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

河南省安阳市龙安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考
试数学试卷
一、单选题
1．已知向量(2,1)a =r ，(2,4)b =-r ，则a b -=r r （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A ．（1）（3）（5）
B ．（1）（2）（3）（5）
C ．（1）（3）（5）（6）
D ．（3）（4）（6）（7）
3．已知P 在ABC V 所在平面内，满足PA PB PC ==u u u r u u u r u u u r ，则P 是ABC V 的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．垂心
D ．重心
4．如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为64π，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A ．4
B ．2
C ．8
D ．6
5．设P 为ABCD Y 对角线的交点，O 为任意一点，则OA OB OC OD +++=u u u r u u u r u u u r u u u r （ ）
A ．OP u u u r
B ．2OP u u u r
C ．3OP u u u r
D ．4OP u u u r
6．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中AB 与CD 的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．平行
C ．异面
D ．垂直
7．如图所示的花盆为正四棱台，上口宽5cm ，下口宽3cm ，棱长，则该花盆的体积为（ ）
A ．3245cm 3
B ．3
C 3
D ．3245cm
8．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰中留下一个面直径为20cm ，深为5cm 的空穴，则这个球的半径是（ ）cm ．
A ．9
B ．10.5
C ．12.5
D ．14.5
二、多选题
9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A ．()(),R,i 234i 2i x y x y y ∈++=-+，则5x y +=
B ．3i 1i +>+
C ．若2(1)i 2z =+，则复数z 对应的点位于第四象限
D ．已知复数z 满足|2i |3z -=，则z 在复平面内对应的点的轨迹为圆
10．如图．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中心，当点M 在线段11B D （不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线OM 异面的是（ ）
A ．1CC
B ．1A B
C ．1AB
D ．1DB
11．若平面向量(),2a n =r ，()1,1b m =-r ，其中n ，R m ∈，则下列说法正确的是（ ）
A ．若()22,6a b +=r r ，则//a b
r r
B ．若2a b =-r r ，则与b r 同向的单位向量为
C ．若1n =，且a r 与b r 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为1(,3)(3,)2
+∞U D ．若a b ⊥r r ，则24n m z =+的最小值为4
三、填空题
12．已知()3,1a =-r ，()2,1b =-r ，则a b ⋅=r r .
13．已知i 为虚数单位，若复数z 满足2024(2i)i z -=，则z 的虚部为．
14．如图所示，一个水平放置的四边形OABC 的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O A B C ''''，则原四边形OABC 的面积是.
四、解答题
15．已知复数()()2561i z m m m =+-+-，R m ∈．
(1)若z 是纯虚数，求m 的值；
(2)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围．
16．如图，在菱形ABCD 中，1,22
BE BC CF FD ==u u u r u u u r u u u r u u u r .
(1)若EF xAB yAD =+u u u r u u u r u u u r ，求32x y +的值；
(2)若||6AB =u u u r ，60BAD ∠=︒，求AC EF ⋅u u u r u u u r .
17．如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里.
(1)求∠ABC 的正弦值；
(2)当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离.
18．如图，在正方体1111A B C D ABCD -中，E 是1DD 的中点.
(1)求证：11//AC 平面ACE ；
(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥B AEC -的体积．
19．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos b A c A a C =+.
(1)求A ；
(2)若4a =，求ABC V 面积的最大值.。