山西大学附属中学2025届高考数学四模试卷含解析2

山西大学附属中学2025届高考数学四模试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线2
23
2
2
():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()2
23
2
2
1)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四
象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④
2．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，
//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )
A ．②③
B ．②③④
C ．①④
D ．①②③
3．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则
()()()()1232020f f f f +++
+=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
4．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．
B ．
C ．1
D ．2
结论中错误的是（ ）
A ．11//FM AC ，
B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11C
C
D D C ．BM ⊥平面1CC F
D ．三棱锥B CEF -的体积为定值
6．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在
20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）
A ．(
)
2
112f t t f ⎛⎫
++>
⎪⎝⎭
B ．(2)0()f f t ->>
C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
7．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）
A ．4π
B ．16π
C ．36π
D ．
643
π
8．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1
a d
=（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．若23455
012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）
A ．
54
B ．
58
C ．
516
D ．
532
11．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ） A ．29
B ．2932-
C ．1923-
D ．5
12．已知{}
1A x x =<，{
}
21x
B x =<，则A B =（ ）
A ．()1,0-
B ．()0,1
C ．()1,-+∞
D ．(),1-∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，并且当01x ≤≤时()21x
f x =-，则()123f =___
14．已知变量()12,0,x x m ∈ (m >0)，且12x x <，若2112x
x
x x <恒成立，则m 的最大值________．
15．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则π
cos()12
α-=_________.
16．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，2a =
，
3
sin 3
A =，6b =，则ABC 的面积为__________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）若关于x 的方程2
(2)50x m x m +-+-=的两根都大于2，求实数m 的取值范围．
18．（12分）在四棱锥P ABCD -中，1
,//,,2
AB PA AB CD AB CD PAD ⊥=△是等边三角形，点M 在棱PC 上，平面PAD ⊥平面ABCD ．
（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；
（2）若AB AD =，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值； （3）设直线AM 与平面PBD 相交于点N ，若
AN PM AM PC =，求AN
AM
的值．
通（道路不计宽度），l 1和l 2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l 3平行于观光道且与l 2相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l 3，且交l 3于M ），在堤岸线l 3上的E ，F 两处建造建筑物，其中E ，F 到M 的距离为1 （百米），且F 恰在B 的正对岸（即BF ⊥l 3）．
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；
（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角(∠EPF )最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半
轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点(0,3)M ，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求11
||||
MA MB +的值． 21．（12分）设函数()2
22ln ()f x x x a x a R =-+∈.
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点,m n ，求证：
()()
41f m f n mn m n
->--.
22．（10分）已知{}n a 为各项均为整数的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若3a 为21
3
a 和13a 的等比中项，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12233412222...n n n T a a a a a a a a +=
+++++，求最大的正整数n ，使得20182019
n T <.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
利用基本不等式得2
2
4x y +≤，可判断②；22
4x y +=和(
)
3
2
22216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由
图可判断④. 【详解】
()
2
223
2
222
16162x y x
y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭
，
解得2
2
4x y +≤（当且仅当22
2x y ==时取等号），则②正确； 将2
2
4x y +=和()
3
22
2216x y x y +=联立，解得222x y ==，
即圆2
2
4x y +=与曲线C 相切于点
，(，(，
，
则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题. 2、C 【解析】
根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】
根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C 【点睛】
本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题. 3、C 【解析】
首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】
由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以
()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.
由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，
()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.
所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+， 所以()()()()1232020f f f f ++++=()()()()12341f f f f +++=.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 4、C 【解析】
每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.
【详解】
每一次成功的概率为，服从二项分布，故
.
【点睛】
本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5、B 【解析】
根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D. 【详解】
在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；
在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误； 在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；
在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确； 故选：B 【点睛】
本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题. 6、D 【解析】
根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【详解】
由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=
∴函数()f x 关于直线1x =-对称；
()f x 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <；
又
(2)(0)f f -=
()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；
22311
2()0224t t t ++-
=++>，21t t ∴++比12
离对称轴远， ∴可得21
(1)()2
f t t f ++>，∴选项A 成立；
(2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；
20t -<<，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7、C 【解析】
设球的半径为R ，根据组合体的关系，圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得球的半径3R =，再代入球的体积公式求解. 【详解】 设球的半径为R ，
根据题意圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=， 解得3R =， 所以该球的体积为3344
33633
V R πππ==⨯⨯= . 故选：C 【点睛】
本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题. 8、A 【解析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】
由136,,a a a 成等比数列得2
316a a a =⋅，即()()2
11125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得
1
4a d
=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 9、D
利用复数模的计算、复数的除法化简复数z ，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】
()55(1)551345
1222
i i z i
z i i -+=+=⇒=
==-+， ∴z 对应的点55
(,)22
-，
∴z 对应的点位于复平面的第四象限.
故选：D. 【点睛】
本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 10、C 【解析】 根据5
51
[(21)1]32
x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】 因为551
[(21)1]32
x x =
-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=⋅-⋅=⋅-，令3r =，所以2235(21)T C x =⋅-，因此有
3
2255111545323232216
C C a ⨯=
⋅=⋅=⨯=. 故选：C 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力 11、A 【解析】
由于a b ⊥，且为单位向量，所以可令()1,0a =，()0,1b =，再设出单位向量c 的坐标，再将坐标代入232a c a b c
+++-中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果． 【详解】
解：设(),c x y =，()1,0a =，()0,1b =，则2
2
1x y +=，从而
(2322x +++-=
+a c a b c
=
=
=
故选：A 【点睛】
此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题． 12、D 【解析】
分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】
解：{}{
}
111A x x x x =<=-<<，{
}{
}
210x
B x x x =<=<
A B =(),1-∞
故选：D 【点睛】
考查集合的并集运算，基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1- 【解析】
根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数()f x 对称轴及周期性，进而由01x ≤≤的解析式求得()123f 的
值. 【详解】
()f x 满足()()11f x f x +=-，
由函数对称性可知()f x 关于1112
x x
x ++-=
=对称，
且令1x x =+，代入可得()()2f x f x +=-，
由奇函数性质可知()()f x f x -=-，所以()()2f x f x +=- 令2x x =+，代入可得()()()42f x f x f x +=-+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数， 则
()()()()123431111f f f f =⨯-=-=-
当01x ≤≤时()21x
f x =-，
所以()()12311f f =-=-，
故答案为：1-.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题.
14、e
【解析】
在不等式两边同时取对数，然后构造函数f （x ）＝
ln x x ，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论． 【详解】
不等式两边同时取对数得2112ln ln x x x x <，
即x 2lnx 1＜x 1lnx 2，又()12,0,x x m ∈ 即1212
ln ln x x x x <成立， 设f （x ）＝ln x x
，x ∈（0，m ）， ∵x 1＜x 2，f （x 1）＜f （x 2），则函数f （x ）在（0，m ）上为增函数， 函数的导数22
1x ln x 1ln x x ()x x f x '⋅--==， 由f ′（x ）＞0得1﹣lnx ＞0得lnx ＜1，
得0＜x ＜e ，
即函数f （x ）的最大增区间为（0，e ），
则m 的最大值为e
故答案为：e
【点睛】
本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键 15
【解析】 因为πππ()()6124αα++-=，所以πππ()1246αα-=-+.因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又π1sin()063
α+=-<，所以π7π(π,)66
α+∈
，所以πcos()63
α+=-.πππππππcos()cos[()]cos cos()sin sin()12464646αααα-=-+=+++
1(()3+-=. 16
【解析】
根据题意，利用余弦定理求得2c =，再运用三角形的面积公式即可求得结果.
【详解】
解：由于a =
sin A =
，b ， ∵a b <，∴A B <
，cos A =，
由余弦定理得222
32b c a bc
+-=，解得2c =， ∴ABC
的面积1223
S =
⨯=
.
【点睛】
本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(5,4]--
【解析】 先令2()(2)5f x x m x m =+-+-，根据题中条件得到(2)02220
f m >⎧⎪-⎪-≥⎨⎪∆≥⎪⎩，求解，即可得出结果. 【详解】
因为关于x 的方程2
(2)50x m x m +-+-=的两根都大于2， 令2
()(2)5f x x m x m =+-+- 所以有2(2)42450222(2)2040f m m m m m =+-+->⎧⎪-⎪-≥⎨⎪∆=--+≥⎪⎩
，
解得5244m m m m >-⎧⎪≤-⎨⎪≥≤-⎩
或，所以54m -<≤-.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型.
18、（1）证明见解析（2
（3）12AN AM = 【解析】
（1）取AD 中点为O ,连接PO ,由等边三角形性质可得PO AD ⊥,再由面面垂直的性质可得PO DC ⊥,根据平行直线的性质可得CD PA ⊥,进而求证；
（2）以O 为原点,过O 作AB 的平行线OF ,分别以OA ,OF ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设2AB AD ==,由点M 在棱PC 上,
可设[](1)(,4)),0,1OM t OP tOC t t t t =-+=--∈,即可得到AM ,再求得平面PBC 的法向量,进而利用数量积求解；
（3）设2,AD DC m ==,AN PM k AM PC
==,则,PM k PC AN k AM ==,求得AM ,AN ,即可求得点N 的坐标,再由DN 与平面PBD 的法向量垂直,进而求解.
【详解】
（1）证明:取AD 中点为O ,连接PO ,
因为PAD △是等边三角形,所以PO AD ⊥,
因为PAD ABCD ⊥平面平面且相交于AD ,所以PO ⊥平面ABCD ,所以PO DC ⊥,
因为//,AB CD AB PA ⊥,所以CD PA ⊥,
因为PO PA P =,在平面PAD 内,所以CD PAD ⊥平面,
所以PCD PAD ⊥平面平面.
（2）以O 为原点,过O 作AB 的平行线OF ,分别以OA ,OF ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设2AB AD ==,则(1,0,0)A ,(1,2,0)B ,(1,4,0)C -
,P ,
因为M 在棱PC 上,
可设[](1)(,4)),0,1OM t OP tOC t t t t =-+=--∈,
所以(1,4))AM t t t =---,
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =,
因为(2,2,0),(1,4,BC PC =-=-,
所以00n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,
即22040x y x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,令1x =,
可得11x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,即(1,1,3)n =, 设直线AM 与平面PBC 所成角为θ,所以sin cos ,5(5AM n AM n AM n θ⋅=<>==
,
可知当110t =时,sin θ
. （3）设2,AD DC m =
=,则有(1,,0)P C m -,得(1,,PC m =-,
设AN
PM k AM PC
==,那么,PM k PC AN k AM ==,
所以(,,)PM k mk =-,
所以(,))M k mk k --.
因为(1,0,0),(1,))A AM k mk k =---所以, 22,(,(1
))AN k AM AN k k mk k ==---因为所以, 所以22(1,(1))N k k mk k --+-
. 又因为(1,0,0),1,,02m D B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
,所以22(2,(1))DN k k mk k =--+-, (1,0,3),2,,02m PD DB ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
,设平面PDB 的法向量为(,,)m x y z =, 则0
0m PD m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即0
202x m x y ⎧-
=⎪⎨+=⎪
⎩,x =令可得1x y
m z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
即3,m m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 因为N 在平面
PDB 内,所以DN
m ⊥,所以
0DN m ⋅=,
所以222)(1)0k k mk k m --++
⋅+-=,即2210k k +-=, 所以12k =或者1k =-（舍）,即12
AN AM =.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力.
19、（1）见解析，22x y =，x ∈[0，1]；（2）P 31，23)时，视角∠EPF 最大．
【解析】
（1）以A 为原点，l 1为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建系，设出方程，通过点B 的坐标可求方程；
（2）设出P 的坐标，表示出tan EPF ∠，利用基本不等式求解tan EPF ∠的最大值，从而可得观测点P 的坐标．
【详解】
（1）以A 为原点，l 1为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建系
由题意知：B (1，0.5)，设抛物线方程为22x py =
代入点B 得：p ＝1，故方程为22x y =，x ∈[0，1]；
（2）设P 2t ，2t )，t ∈[02]，作PQ ⊥l 3于Q ，记∠EPQ ＝α，∠FPQ ＝β 21EQ t =+，22PQ t =-，12FQ t =-
22224222
2112tan tan 2(2)22tan tan()121tan tan 231(2)t t t t t EPF t t t t αβαβαβ+++---∠=+===---+-- 令232[2]2
t x -=∈，，22t x =-，则： 2222231tan 3(2)21232x x EPF x x x x x x
+∠===≤-+--++-， 当且仅当3x x =即3x =223t =-63t -=时取等号；
故P
1
，2-)时视角∠EPF 最大，
答：P
1
，2)时，视角∠EPF 最大．
【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的实际应用，理解题意，构建合适的模型是求解的关键，涉及最值问题一般利用基本不等式或者导数来进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.
20、（1
30y +-=，22(2)4x y -+=（2
【解析】
(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数t 即可得到直线l 的直角坐标方程;
(2) 由于(0,3)M 在直线l 上,写出直线l 的标准参数方程参数方程,代入曲线C 的方程利用参数的几何意义即可得出
121212
1111||||t t MA MB t t t t ++=+=求解即可. 【详解】
（1）直线l
的普通方程为3y =+
30y +-=，
根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，cos x ρθ=，222
x y ρ=+， 而4cos ρθ=，则24cos ρρθ=，
即22
(2)4x y -+=，
故直线l
30y +-=，
曲线C 的直角坐标方程22(2)4x y -+=
（2）点(0,3)M 在直线l 上，且直线l 的倾斜角为120︒，
可设直线的参数方程为：1232x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），
代入到曲线C 的方程得
2(290t t +++=
，12(2t t +=-+，129t t =，
由参数的几何意义知12121211112||||9
t t MA MB t t t t +++=+==． 【点睛】
熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l 的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键,难度一般.
21、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】 （Ⅰ）求导得到2222()x x a f x x
-+'=，讨论14a ≥，104a <<，0a ≤三种情况得到单调区间. （Ⅱ）设m n >，要证()()41f m f n mn m n
->--，即证()()(4-1)()f m f n mn m n ->-，1,m n mn a +==，设1()ln ln(1)42(1)2
g m m m m m =---+<<，根据函数单调性得到证明. 【详解】
（Ⅰ） 22222()22a x x a f x x x x
-+'=-+=(0)x >， 令2
()222g x x x a =-+，4(14)a ∆=-， （1）当0∆≤，即14
a ≥
时，()0g x ≥，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当>0∆，即14a <时，设()0g x =的两根为12,x x （12x x <），
12x x == ①若104
a <<，120x x <<，12(0,)(,)x x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，
12(,)x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在12(,)x x 上单调递减，
②若0a ≤，120x x ≤<，2(0,)x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在2(0,)x 上单调递减， 2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在2(,)x +∞上单调递增. 综上，当14a ≥
时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当104a <<时， ()f x
在
和)+∞上单调递增，
在上单调递减；
当0a ≤时，()f x
在
上单调递减，在)+∞上单调递增. （Ⅱ）不妨设m n >，要证()()41f m f n mn m n
->--， 即证()()(4-1)()f m f n mn m n ->-，
即证()()(4-1)()0f m f n mn m n --->，
由（Ⅰ）可知，1,m n mn a +==，104
a <<，可得1012n m <<<<， ()()()()2()2(ln ln )f m f n m n m n m n a m n -=-+--+-，
所以有()()(41)()2[ln ln(1)42]f m f n mn m n a m m m ----=---+， 令1()ln ln(1)42(1)2
g m m m m m =---+<<， 22
11441(21)()401(1)(1)
m m m g m m m m m m m -+-'=+-==>---， 所以()g m 在1(,1)2
单调递增， 所以1
()()02g m g >=， 因为104a <<，所以2[ln ln(1)42]0a m m m ---+>，所以()()41f m f n mn m n ->--. 【点睛】
本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.
22、（1）21n a n =-（2）1008
【解析】
（1）用基本量求出首项1a 和公差d ，可得通项公式；
（2）用裂项相消法求得和n T ，然后解不等式20182019
n T <
可得． 【详解】 解：（1）由题得2321371349
a a a S ⎧=⋅⎪⎨⎪=⎩，即()()()211111212372149a d a d a d a d ⎧+=++⎪⎨⎪+=⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩或1
073a d =⎧⎪⎨=⎪⎩
因为数列{}n a 为各项均为整数，所以112
a d =⎧⎨=⎩，即21n a n =-
（2）令()()1221121212121
n n n b a a n n n n +===--+-+ 所以11111111220181133557212121212019n n T n n n n =-
+-+-+-=-=<-+++ 即120181212019
n -<+，解得1009n < 所以n 的最大值为1008
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查裂项相消法求数列的和．在等差数列和等比数列中基本量法是解题的基本方法．。