2017-2018学年重庆市高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案

2017-2018学年重庆市高二下学期期中考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷
一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，则U C A 为( ) A ．{1,3,4} B ．{4,5} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4} 2.整数是自然数，由于3-是整数，所以3-是自然数，则有
A ．大前提错误 B.小前提错误 Ｃ．推理正确 Ｄ．推理形式错误 3. “3>x ”是“不等式022>-x x ”的( )条件
A ．充分不必要 B.充分必要 C ．必要不充分 D.非充分必要 4. 命题“存在2,20x Z x x m ∈++≤”的否定是 （ ）
A ． 存在2,20x Z x x m ∈++>
B ．不存在2,20x Z x x m ∈++>
C ． 对任意2,20x Z x x m ∈++≤
D ．对任意2,20x Z x x m ∈++> 5. 函数()f x 的定义域是开区间(),a b ,导函数()f x '在()
,a b
内的图象如图所示，则()f x 在开区间(),a b 内有极值点（ ）
A ．１个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
６.在区间[]0,1上随机取一个数x ，使31y x =-的值介于1与2之间的概率（ )
（A ）23 （B ）12 （C ）13 （D ）14
７.执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，2b =，那么输出的a 值为（ ）
A.3log 16
B.256
C.16
D.4
8．函数x
x y 9
lg -=的零点所在的区间大致是( )
A ．(6，7)
B ．(7，8)
C ．(8，9)
D ．(9，
l0)
9．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A ．10
B ．15
C ．20
D ．30
10.过点)1,0(P 与圆22(1)4x y -+=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（ ）
A ．01=-+y x
B ．01=+-y x
C ．0=x
D ．1=y
11.已知对k R ∈，直线10y kx --=与椭圆22
15x y m
+
=恒有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(0, 1)
B ．(0,5)
C ．[1,5)
D ．[1,5)∪(5，＋∞)
12.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式
()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）
A
、)+∞ B 、[2,)+∞ C 、(0,2] D
、[1]-
第Ⅱ卷（共90分）
二.填空题: (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上.) 13. 小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟．要完成这些事情，小明要花费的最少时间为______。

14. 复数32i
z i
-+=+的共轭复数是 ；
15. 已知映射B A f →：,其中R B A ==,对应法则，：222+-=→x x y x f 若对实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是________。

16.设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为
]4
,0[π
，则点P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是________。

三．解答题: (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
17、（本小题满分12分）已知函数32()f x ax bx =+，当1x =时，有极大值3. （1）求,a b 的值； （2）求函数()f x 的极小值.
（18）（本小题满分12分）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x
（0＜x ≤
（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝
i ＝1
∑x i y i －n ·x -y -n
i ＝1∑x 2i －nx
-2
， a ˆ＝y -－b ˆx -．）
（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2
－1.75x ＋17.2万元，根据（Ⅰ）中所
求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？
（19）（本小题满分12分）如下图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，E 为边AD 的中点，分别沿BE ，CE 将△ABE ，△DCE 折叠，使平面ABE 和平面DCE 均与平面BCE 垂直．
（Ⅰ）证明：AD ∥平面BEC ； （Ⅱ）求点E 到平面ABCD 的距离．
A
C D B B C E
E A D
20．(本题满分12分)已知函数()ln 1a
f x x x
=
+-（0a >）. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）求()f x 在1
[,]x e e
∈上的最小值.
21．（本题满分12分）椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2
，两个焦点分别为
12(1,0),(1,0)F F -. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点2(1,0)F 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重
合)，求证：直线MQ 过x 轴上一个定点.
请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线C 的参数方程为：θθθ(,sin ,cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数），直线l 的参数方程为：t t y t x (,
1,32⎩⎨⎧+=+=为
参数），点P(2,1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系下的标准方程； （2）求PB PA ⋅的值.
23.（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数31)(-++=x x x f .
（1）请写出函数f(x)在每段区间上的解析式，并在图上作出函数f(x)的图象； （2）若不等式a
a x x 1
31+
≥-++对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.
2017-2018学年重庆市高二下学期期中考试
数学（文）试题参考答案
一、BAADCC BDCADA
二、 13、17； 14、-1-i; 15、k<1; 16、[0,]
三、17、
18解：（Ⅰ）由已知：x -＝6，y -＝10，5
i ＝1
∑x i y i ＝242，5
i ＝1
∑x 2i ＝220，
^b ＝n
i ＝1
∑x i y i －nx -y
-n i ＝1
∑x 2i －nx
-2
＝－1.45，a ˆ＝y -－^b x -＝18.7；
所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 ………6分 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2)
＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5 ＝－0.05(x －3)2＋1.95，
所以预测当x ＝3时，销售利润z 取得最大值． …………12分
19解：
（Ⅰ）分别取BE ，CE 中点M ，N ，连接AM ，MN ，DN ，
由已知可得△ABE ，△DCE 均为腰长为4的等腰直角三角形，
所以AM ⊥BE ，且AM ＝22．
又∵平面ABE ⊥平面BCE ，且交线为BE ， ∴AM ⊥平面BEC ，
同理可得：DN ⊥平面BEC ，且DN ＝22． ∴AM ∥DN ，且AM ＝DN ，
∴四边形AMND 为平行四边形．
∴AD ∥MN ，又∵MN ⊂平面BEC ，AD ⊂/平面BEC ， ∴AD ∥平面BEC ．
…………6分
（Ⅱ）点E 到平面ABC 的距离，也就是三棱锥E －ABC 的高h ． 连接AC ，MC ，
在Rt △EMC 中有MC ＝EM 2＋EC 2＝210， 在Rt △AMC 中有AC ＝AM 2＋MC 2＝43． 可得AC 2＋AB 2＝BC 2，所以△ABC 是直角三角形． 由V E —ABC ＝V A —BEC 得
1 3· 1 2AB ·AC ·h ＝ 1 3· 1 2
BE ·EC ·AM ， 可知h ＝
46
3
． ∴点E 到平面ABC 的距离为46
3．
………12分
20．解（1） 21
()x f x x
-'=
(0,1)x ∈时,'()0f x <,则()f x 在 (0,1)上单调递减，
[1,)x ∈+∞时,'()0f x ≥,则()f x 在 [1,)+∞上单调递增；……………………5分
（2）2()x a
f x x
-'=
A
C D
B B
C E
E
A D
M
N B
C E
A
D
M
当10a e <≤
时，'()0f x ≥，()f x 在1[,]x e e ∈单调递增，1
min ()2f ae e
==-， 当1a e e <<时，()f x 在1
[,]a e
上递减，(,]a e 上单调递增，min ()ln f a a ==， 当e a ≤时，'()0f x ≤，()f x 在1[,]x e e ∈单调递减，min ()a
f e e
==……12分
21．解（1
）1
1,1c c a b c a
=⎧⎪⇒===⎨=
⎪⎩，椭圆的方程为22
12x y +=；…3分
（2）设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -，l :(1)y k x =-，
代入2
21(0)2
x y y +=≠整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=
2122412k x x k +=+,212222
12k x x k -=+，……………………………………………6分
MQ 的方程为12
1112
()y y y y x x x x +-=
-- 令0y =，得
12112112
1
2
11121212()(1)()2()
(2)2
y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+
=+=
++-+-[
代入2122
412k x x k
+=+,212222
12k x x k -=+ 得2x =，所以直线过定(2,0)……………………………………………12分
22.解：（1）曲线C 的标准方程为：12
22
=+y x ，
直线l 的标准方程为：0323=+--y x . ......................5分
（2）将直线l 的参数方程化为标准方程：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t
y t x 211232（t 为参数），
代入椭圆方程得：016)13(852=+++t t ， 所以5
16
21=
=⋅t t PB PA . ..........................10分
23.解：（1）⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤--<-=),3(22),31(4),1(22)(x x x x x x f 函数f(x)的图象如图所示
.
....................5分
（2）由（1）知f(x)的最小值是4， 所以要使不等式a a x x 131+
≥-++恒成立，有a
a 1
4+≥， 解之得)32,32()0,(+--∞∈ a . ..........................10分。