第二章§2.52.5.1第2课时直线与圆的方程的实际应用课件(人教版)
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第二章 2.5.1 直线与圆的位置关系
学习目标
1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用. 2.会用“数形结合”的数学思想解决问题.
导语
当前台风中心P在某海滨城市O向东300 km处生成，并以40 km/h的速度 向西偏北45°方向移动.已知距离台风中心250 km以内的地方都属于台 风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台 风侵袭大概持续多长时间？
与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成
图形面积S的取值范围为
A.0，π2
B.(0，π]
√C.0，2－π2
D.(0,2－π]
解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最
大值，
此时四边形ABO2O1为矩形， 且 Smax＝2×1－12·π2·12×2＝2－π2.
则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面降落1 m后，可设点A′(x0，－3) (x0>0)， 将 A′(x0，－3)代入圆的方程，得 x0＝ 51， 所以当水面下降 1 m 后，水面宽为 2x0＝2 51(m).
延伸探究 某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m.现有一船，宽10 m， 水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
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因为|A′C|＝ 2＋32＋2＋32＝5 2，所以直线的最短路程为 5 2－1，故 C 正确. 由于两条与圆 C 相切的反射光线与 x 轴的交点为(1,0)和－43，0， 所以被挡住的范围是－43，1，故 D 正确.
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到圆C上的最短路程是
√ A.6 2－2
B.8
C.4 6
D.10
解析 点 A 关于 x 轴的对称点 A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为
5＋12＋7＋12＝10.
∴所求最短路程为10－2＝8.
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3.如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别
√D.随建立直角坐标系的变化而变化
1234
2.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是
π A.4
3π
3π
B. 4
C. 2
√D.π
解析 由图知，所求面积是圆 x2＋y2＝4 面积的14， 即14×π×22＝π.
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3.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示， 村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离 是__7_2_2_－__2__. 解析 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的 距离减去圆的半径2， 即 |122＋＋3＋－21|2－2＝722－2.
√B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0 √C.若反射光线照射到圆上后被吸取，则光线经过的最短路程是 5 2－1 √D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是 －43，1
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解析 点A(－3,3)关于x轴的对称点为A′(－3，－3).圆的方程为(x－2)2＋ (y－2)2＝1，求题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k(x ＋3)，即kx－y＋3k－3＝0. 由相切知|2k－2k＋2＋31k－3|＝1， 解得 k＝43或 k＝34. ∴反射光线方程为 y＋3＝43(x＋3)或 y＋3＝34(x＋3). 即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误. 又A′(－3，－3)，C(2,2)的方程为y＝x，故B正确；
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4). 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过.
反思感悟 建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何 要素，通过代数运算，解决几何问题.
跟踪训练1 一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，
lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到
l
的距离
d＝
|3| ＝ 2
3， 2
所以 AB 边上的高的最小值为 32－1.
所以 Smin＝12×2
2×
32－1＝3－
2.
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6.(多选)从点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2 ＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是 A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0
一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为
A.6 km
√B.(4 2－1)km
C.(4 2＋1)km
D.4 km
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解析 以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和 y轴，建立平面直角坐标系(图略)， 则圆O的方程为x2＋y2＝1， 因为点B(8,0)，C(0,8)， 所以直线 BC 的方程为 x＋y＝8.当点 D 选在与直线 BC 平行的直线(距 BC 较 近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时 DE 的最小值为 |0＋02－8|－1＝(4 2－1)km.
课堂小结
1.知识清单： (1)直线与圆的方程的应用. (2)坐标法的应用. 2.方法归纳：数学建模、坐标法. 3.常见误区：不能正确进行数学建模.
随堂演练
1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是 A.x2＋y2＝25 B.x2＋y2＝25(y≥0) C.(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
解析 以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如 图所示， 设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2， ∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)，
∴140－0＋bb2＝2＝rr22，， 解得br＝＝1－4.150. .5， ∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)， 令x＝4.5，得y≈3.28， 故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才 能安全通过桥洞.
二、直线与圆的方程的实际应用
例2 如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在 O岛的北偏东45°方向距O岛 40 2千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20 千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长 度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点. (1)求圆C的方程；
反思感悟 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知. (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基 本元素. (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知. (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
跟踪训练2 如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为 圆心，以45 2 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经 过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一 条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新 路的最小长度为(单位：m)
A
解析 如图，设圆心为O，半径为r， 则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2， 即r2＝(r－4)2＋62， 解得 r＝123， 所以拱桥的直径为13米.
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2.已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射
轴，建立直角坐标系，其中，取10 km为单位长度.
则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方
程为x2＋y2＝9；轮船航线所在的直线l的方程为4x＋
7y－28＝0.可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风
的影响.
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课时对点练
基础巩固
1.如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为
√A.100 2
C.150 2
B.100 3 D.150 3
解析 以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图 略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k ＝0(k>0)， 则当该直线与圆O相切时，小路长度最小， 此时|100kk2－＋110|＝45 2， 解得 k＝1，此时求得小路长度为 100 2 m.
解 由题意，得A(40,40)，B(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2
＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
F＝0，
则402＋402＋40D＋40E＋F＝0， 202＋20D＋F＝0，
D＝－20，
解得E＝－60， F＝0，
∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40 千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触 礁的危险？
内容索引
一、圆的方程的实际应用 二、直线与圆的方程的实际应用
随堂演练
课时对点练
一、圆的方程的实际应用
例1 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m， 水面宽12 m，当水面降落1 m后，水面宽为__2___5_1__m.
解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖 直直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所 在弦的端点为A，B，则A(6，－2).将A(6，－2)代入圆的 方程，得r＝10，
则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过
A.1.4 m
√B.3.5 m
C.3.6 m
D.2.0 m
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h，
则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62，
把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62，
解得 h＝4 0.77≈3.5 m.
解 建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上. 依题意，有B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0). 设圆心C的坐标为(0，b)，圆的半径为r， 设这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y－b)2＝r2， 把P，B两点的坐标代入圆的方程， 得到方程组1002＋2＋bb－2＝4r22＝，r2， 解得br＝＝1－4.150. .5，
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4.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心 位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知 港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它 _不__会___(填“会”“不会”)受到台风的影响.
解析 如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x
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5.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在
公园外两点A(－2,0)，B(0,2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台
面积的最小值为
√A.3－ 2
C.3－
2 2
B.3＋ 2 3－ 2
D. 2
解析
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4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附
近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，
接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公
路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建
解 该船初始位置为点D， 则 D(－20，－20 3)，
且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航行方向为直线 l：x－y＋20－20 3＝0， 由(1)得圆 C 的圆心为 C(10,30)，半径 r＝10 10， 由于圆心 C 到直线 l 的距离 d＝|10－30＋12＋201－2 20 3|＝10 6<10 10， 故该船有触礁的危险.
7.某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m.现有一船宽9 m，在水面 以上部分高3 m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载， 降低船身，当船身至少降低__1_._2_2___m时，船才能安全通过桥洞.(结果精 确到0.01 m)
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学习目标
1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用. 2.会用“数形结合”的数学思想解决问题.
导语
当前台风中心P在某海滨城市O向东300 km处生成，并以40 km/h的速度 向西偏北45°方向移动.已知距离台风中心250 km以内的地方都属于台 风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台 风侵袭大概持续多长时间？
与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成
图形面积S的取值范围为
A.0，π2
B.(0，π]
√C.0，2－π2
D.(0,2－π]
解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最
大值，
此时四边形ABO2O1为矩形， 且 Smax＝2×1－12·π2·12×2＝2－π2.
则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面降落1 m后，可设点A′(x0，－3) (x0>0)， 将 A′(x0，－3)代入圆的方程，得 x0＝ 51， 所以当水面下降 1 m 后，水面宽为 2x0＝2 51(m).
延伸探究 某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m.现有一船，宽10 m， 水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
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因为|A′C|＝ 2＋32＋2＋32＝5 2，所以直线的最短路程为 5 2－1，故 C 正确. 由于两条与圆 C 相切的反射光线与 x 轴的交点为(1,0)和－43，0， 所以被挡住的范围是－43，1，故 D 正确.
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到圆C上的最短路程是
√ A.6 2－2
B.8
C.4 6
D.10
解析 点 A 关于 x 轴的对称点 A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为
5＋12＋7＋12＝10.
∴所求最短路程为10－2＝8.
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3.如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别
√D.随建立直角坐标系的变化而变化
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2.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是
π A.4
3π
3π
B. 4
C. 2
√D.π
解析 由图知，所求面积是圆 x2＋y2＝4 面积的14， 即14×π×22＝π.
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3.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示， 村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离 是__7_2_2_－__2__. 解析 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的 距离减去圆的半径2， 即 |122＋＋3＋－21|2－2＝722－2.
√B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0 √C.若反射光线照射到圆上后被吸取，则光线经过的最短路程是 5 2－1 √D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是 －43，1
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解析 点A(－3,3)关于x轴的对称点为A′(－3，－3).圆的方程为(x－2)2＋ (y－2)2＝1，求题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k(x ＋3)，即kx－y＋3k－3＝0. 由相切知|2k－2k＋2＋31k－3|＝1， 解得 k＝43或 k＝34. ∴反射光线方程为 y＋3＝43(x＋3)或 y＋3＝34(x＋3). 即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误. 又A′(－3，－3)，C(2,2)的方程为y＝x，故B正确；
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4). 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过.
反思感悟 建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何 要素，通过代数运算，解决几何问题.
跟踪训练1 一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，
lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到
l
的距离
d＝
|3| ＝ 2
3， 2
所以 AB 边上的高的最小值为 32－1.
所以 Smin＝12×2
2×
32－1＝3－
2.
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6.(多选)从点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2 ＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是 A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0
一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为
A.6 km
√B.(4 2－1)km
C.(4 2＋1)km
D.4 km
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和 y轴，建立平面直角坐标系(图略)， 则圆O的方程为x2＋y2＝1， 因为点B(8,0)，C(0,8)， 所以直线 BC 的方程为 x＋y＝8.当点 D 选在与直线 BC 平行的直线(距 BC 较 近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时 DE 的最小值为 |0＋02－8|－1＝(4 2－1)km.
课堂小结
1.知识清单： (1)直线与圆的方程的应用. (2)坐标法的应用. 2.方法归纳：数学建模、坐标法. 3.常见误区：不能正确进行数学建模.
随堂演练
1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是 A.x2＋y2＝25 B.x2＋y2＝25(y≥0) C.(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
解析 以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如 图所示， 设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2， ∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)，
∴140－0＋bb2＝2＝rr22，， 解得br＝＝1－4.150. .5， ∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)， 令x＝4.5，得y≈3.28， 故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才 能安全通过桥洞.
二、直线与圆的方程的实际应用
例2 如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在 O岛的北偏东45°方向距O岛 40 2千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20 千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长 度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点. (1)求圆C的方程；
反思感悟 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知. (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基 本元素. (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知. (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
跟踪训练2 如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为 圆心，以45 2 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经 过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一 条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新 路的最小长度为(单位：m)
A
解析 如图，设圆心为O，半径为r， 则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2， 即r2＝(r－4)2＋62， 解得 r＝123， 所以拱桥的直径为13米.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射
轴，建立直角坐标系，其中，取10 km为单位长度.
则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方
程为x2＋y2＝9；轮船航线所在的直线l的方程为4x＋
7y－28＝0.可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风
的影响.
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课时对点练
基础巩固
1.如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为
√A.100 2
C.150 2
B.100 3 D.150 3
解析 以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图 略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k ＝0(k>0)， 则当该直线与圆O相切时，小路长度最小， 此时|100kk2－＋110|＝45 2， 解得 k＝1，此时求得小路长度为 100 2 m.
解 由题意，得A(40,40)，B(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2
＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
F＝0，
则402＋402＋40D＋40E＋F＝0， 202＋20D＋F＝0，
D＝－20，
解得E＝－60， F＝0，
∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40 千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触 礁的危险？
内容索引
一、圆的方程的实际应用 二、直线与圆的方程的实际应用
随堂演练
课时对点练
一、圆的方程的实际应用
例1 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m， 水面宽12 m，当水面降落1 m后，水面宽为__2___5_1__m.
解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖 直直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所 在弦的端点为A，B，则A(6，－2).将A(6，－2)代入圆的 方程，得r＝10，
则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过
A.1.4 m
√B.3.5 m
C.3.6 m
D.2.0 m
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h，
则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62，
把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62，
解得 h＝4 0.77≈3.5 m.
解 建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上. 依题意，有B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0). 设圆心C的坐标为(0，b)，圆的半径为r， 设这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y－b)2＝r2， 把P，B两点的坐标代入圆的方程， 得到方程组1002＋2＋bb－2＝4r22＝，r2， 解得br＝＝1－4.150. .5，
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4.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心 位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知 港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它 _不__会___(填“会”“不会”)受到台风的影响.
解析 如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x
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5.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在
公园外两点A(－2,0)，B(0,2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台
面积的最小值为
√A.3－ 2
C.3－
2 2
B.3＋ 2 3－ 2
D. 2
解析
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4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附
近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，
接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公
路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建
解 该船初始位置为点D， 则 D(－20，－20 3)，
且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航行方向为直线 l：x－y＋20－20 3＝0， 由(1)得圆 C 的圆心为 C(10,30)，半径 r＝10 10， 由于圆心 C 到直线 l 的距离 d＝|10－30＋12＋201－2 20 3|＝10 6<10 10， 故该船有触礁的危险.
7.某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m.现有一船宽9 m，在水面 以上部分高3 m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载， 降低船身，当船身至少降低__1_._2_2___m时，船才能安全通过桥洞.(结果精 确到0.01 m)
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