中国计量学院高等代数2011年考研专业课初试真题
2011年中国计量学院考研试题810自动控制原理
中国计量学院2011年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目名称:自动控制原理考试科目代码: 810考生姓名:考生编号:本试卷共九大题，共三页。
一、（15分）控制系统如下图所示：试求系统的传递函数)(/)(s R s C 。
二、（15分）已知系统结构如图所示，单位阶跃响应的超调量%3.16%=δ，峰值时间s t p 1=。
1. 根据已知性能指标确定参数K 和τ。
（8分）2. 计算单位斜坡输入时，系统的稳态误差。
（7分）三、（15分）设单位反馈系统的开环传递函数is T s K s T K K s G m m f f1)1(1)(0∙+∙+∙= ,输入信号为 )(1)()(t bt a t r ∙+=, 其中0K , m K , f K , i, f T , m T 均为正数，a 和b 为已知正常数。
如果要求闭环系统的稳态误差ss e <0ε, 其中0ε>0, 试求系统各参数满足的条件。
四、（15分）已知一单位反馈系统的开环传递函数为：0(4)()(2)K s G s s s +=+。
1. 试证明该系统根轨迹的复数部分为一园，并画出根轨迹。
（8分）2. 分析K0对系统性能的影响；（5分）3. 求出系统最小阻尼比所对应的闭环极点。
（2分） 五、（15分）画出)52)(2(50)()(2+++=s s s s H s G 的乃氏图，判断对应闭环系统的稳定性。
六、（15分）已知负反馈控制系统的开环传递函数为)5.01()1.01(10)()(s s s s H s G ++=，1. 试绘制开环系统的伯德图；（7分）2. 求系统的相位稳定裕量和剪切频率ωc 。
（8分）七、（20分）已知采样系统结构如图所示，其中采样周期1=T 。
1． 求开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数；（12分） 2． 求闭环系统稳定时K 的取值范围。
（8分）八、（20分）已知线性定常系统的状态方程为：[]xy u x x 02102010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= 1. 求系统的传递函数()G s ；（6分） 2. 判断系统的可控性和可观性；（6分） 3. 求系统的状态转移矩阵At e 。
中国计量大学高等代数2007--2020年考研初试真题
8.
已知方程
⎜⎛ ⎜
t 2
2 t
2⎟⎞⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ 2⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜
2 2
⎟⎞ ⎟
有无穷多组解，则
t
=
___________.
⎜⎝ 2 2 t ⎟⎠⎜⎝ x3 ⎟⎠ ⎜⎝ − 4⎟⎠
二、单选题（每小题 4 分，共 28 分）
302 1.若行列式 x 3 1 中代数余子式 A12 = −1，则 A13 = _________.
L L
∑ an
M an +
b
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
,
n i =1
ai
≠
0
，则__________.
n
A.当 ∑ ai + b ≠ 0 且 b ≠ 0 时，方程只有零解； i =1
n
B.当 ∑ ai + b ≠ 0 且 b ≠ 0 时，方程只有非零解； i =1
n
C.当 ∑ ai + b = 0 且 b ≠ 0 时，方程只有零解； i =1
a b
1 a
⎟⎞ ⎟
和
⎜⎛ ⎜
2 0
0 b
0 0
⎟⎞ ⎟
相似的充要条件是________.
⎜⎝ 1 a 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
A. a = 0, b = 2
B. a = 0, b 为任意常数
C. a = 0, b = 0
D. a = 2, b 为任意常数
三、解答题（本题共 7 小题，满分 90 分，解答应写出文字说明、验算步骤）
D.存在一组不全为零的数 k1 ， k2 ，...， ks ，使 k1α1 + k2α2 +L + ksαs = 0 .
中国计量大学材料科学基础2011年—2019年(缺13、15、16)年考研真题试题
9、在 950 ℃下对纯铁进行渗碳，希望在 0.1 mm的深度得到 0.9%的含碳量。假设表面 碳含量保持在 1.2%，扩散常数为 2.0×10-5 m2/s，扩散激活能为 140×103 J/mol。计算为
达到此要求至少需要渗碳多长时间？误差函数表见下表（共 12 分）
Z erf(Z)
Z erf(Z)
0.45 0.4755
0.90 0.7969
0.05 0.0564
0.50 0.5205
0.95 0.8209
0.10 0.1125
0.55 0.5633
1.00 0.8427
0.15 0.1680
0.60 0.6039
1.10 0.8802
0.20 0.2227
0.65 0.6420
1.20 0.9213
3、判断下列说法是否正确，并说明理由：（每小题 4 分，共 20 分） （1）若干个具有两个官能度的单体，在一定条件下可以聚合得到三维网状结构的高分 子化合物。 （2）相律是描述成分、温度、压力与相组成之间关系的规律。 （3）在纯金属的凝固过程中，过冷度越大，其形核率也越大。 （4）物质的扩散方向一般来说均与其浓度梯度的方向相反，即由高浓度向低浓度方向 扩散。 （5）将再结晶完成后的金属继续加热至某一温度以上，或更长时间的保温，会发生二 次再结晶，形成更加细小的晶粒组织。
中国计量学院 2011 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目名称: 考试科目代码: 考 生 姓 名: 考 生 编 号:
材料科学基础
808
考生须知:
1、所有答案必须写在报考点提供的答题纸 上，做在试卷或草稿纸上无效。
2、答案必须写清题号，字迹要清楚，保持 卷面清洁。
2011考研数学真题和答案详解
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分 56％线性代数 22%概率论与数理统计 22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0s inlim1xxx→=1lim1xxex→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学 考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学 考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解xe ．sin x ．c o s x ．ln (1)x +及(1)x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式．六、常微分方程与差分方程 考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法． 3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念． 6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法． 7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线 性 代 数一、行列式 考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵 考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤-∞<<∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布()P λ及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布． 4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布()E λ的概率密度为()0xef x x λλ-⎧=⎨≤⎩若x >0若5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布 考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布221212(,;,;)N u u σσρ，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩2分布t分布F 分布 分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2211()1n i i S X X n ==--∑2．了解产生2χ变量、t 变量和F 变量的典型模式；了解标准正态分布、2χ分布、t 分布和F 分布得上侧α分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．。
数1--11真题答案
2011年考研数学(一)试题答案速查一、选择题（1）C （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D （7）D （8）B 二、填空题（9）ln(1+ （10）esin xx − （11）4 （12）π（13）1 （14）22()μμσ+ 三、解答题 （15）12e−. （16）11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''++. （17）1k >时,原方程有三个根.1k 时,原方程有一个根. （18）略. （19）a .（20）（Ⅰ）5=a .（Ⅱ）112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（Ⅰ）1112223331231101,0,1,0,0,1,0110p k p k p k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−=====≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .（22）（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）0ρ=XY .（23）（Ⅰ）22011()n i i X n σμ==−∑.（Ⅱ）22()E σσ=，422()D nσσ=.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】易知该曲线与x 轴有四个交点(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),且1x <时，0y >；当12x <<时，0y <；当34x <<时，0y >；当4x >时，0y >. 根据以上结论描绘出曲线y 的大致图形为： 故选择答案C ．（2）【答案】C ． 【解答】因为1nn a∞=∑发散，而1(1)nn n a ∞=−∑收敛，所以1n n n a x ∞=∑的收敛域是[1,1)−,因此1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域是[0,2)故选择答案C ．（3）【答案】A ． 【解答】(0,0)(0,0)()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x ∂''=⋅==∂(0,0)(0,0)()()(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=22(0,0)(0,0)()ln ()(0)ln (0)0,z A f x f y f f x ∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]()0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂22222(0,0)(0,0)()()[()][(0)]()(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f yf y f ''''∂−''''==⋅=−=∂又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>. 故正确答案选A. （4）【答案】B ． 【解答】当π04x <<时,有0sin cos 1cot x x x <<<<,所以ln sin ln cos ln cot x x x <<，应选B ． （5）【答案】D ．【解答】易知100110,001⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A B 100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =E 即12,=AP B P B =E ,所以1112121−−−A =P P =P P ,选答案D ． （6）【答案】D ．【解答】易知**,()3,()1r r ==AA =O A A ,*=A x 0的基础解系有3个线性无关的向量,1234,,,αααα是*=A x 0的解；又因为T (1,0,1,0)是方程组0Ax =的一个基础解系，即13+=0αα，所以13,αα线性相关，则方程组*=A x 0的基础解系为234,,ααα，选答案D ． （7）【答案】D . 【解答】122112[()()()()]d ()()1f x F x f x F x x F x F x +∞+∞−∞−∞+==⎰，故选答案D .（8）【答案】B ．【解答】因为{}{}()()max ,,min ,,22X Y X Y X Y X YU X Y V X Y ++−+−−====所以UV XY =. 又,X Y 相互独立，所以()E UV =EX EY ⋅，故答案选B ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】(ln 1.【解答】(ππ440sec d ln |sec tan |ln 1s x x x x ===+=+⎰.（10）【答案】e sin xy x −=.【解答】d d e (e cos e d )x x xy x x C −−⎰⎰=⋅+⎰e (cos d )x x x C −=+⎰e (sin )x x C −=+由于(0)0,y =故0C =,所以esin xy x −=.（11）【答案】4.【解答】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+,22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+,故2(0,2)2|4F x ∂=∂. （12）【答案】π.【解答】设S 是平面=+z x y 上位于柱面221x y +=内的部分，S 在xOy 平面上的投影为22{(,)|1}D x y x y =+，由斯托克斯公式，得22d d d d d d d d d 22L Sy z z x x yy xz x x y z x y z y xzx∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰d d d d d d (1)d d πSDy y z x z x x y x y x y =++=−−=⎰⎰⎰⎰.（13）【答案】1.【解答】二次型矩阵为1131111a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,其特征值为0,1,4,所以0,1a =|A |=.（14）【答案】22()μμσ+.【解答】因为(,)X Y 服从二维正态分布22(,;,;0)N μμσσ，不相关，所以,X Y 相互独立，故22222()()()E XY EXEY EX E Y DY μμσ==+=+.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：1e 10ln(1)lim x x x x −→+⎡⎤⎢⎥⎣⎦0ln(1)1lim[1].e 1e x x x x →+−−=2ln(1)limex x xx →+−=22201()2lim ex x x o x x x →−+−=12e .−=（16）（本题满分10分） 解：[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ []211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''⎡⎤=++⎣⎦∂∂[]{}22122(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+ 又()g x 在1x =可导，且为极值，所以(1)0g '=，所以21111211d (1,1)(1,1)(1,1).d d x y zf f f x y=='''''=++（17）（本题满分10分）解：易知0x =为方程的一个实根.当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−则()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=. 令()2arctan 1=−+xg x x x ,则 ()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++,()g x 单调递增.又(0)0g =,所以当0x <时，有()0g x <，从而()'0f x <； 当0x >时，有()0g x >，从而()'0f x >. 又，()00lim lim1arctan x x x f x k k x →→=−=−,()lim lim arctan x x xf x k x→±∞→±∞=−=+∞,所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞,(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −时，则()f x 在(,0)−∞,(0,)+∞内均无零点.综上所述，当1k >时，原方程有三个根；当1k 时，原方程有一个根.（18）（本题满分10分） 证：（Ⅰ）设1()ln(1),[0,]f x x x n=+∈. 显然()f x 在1[0,]n上满足拉格朗日中值定理:111111()(0)ln(1)ln1ln(1),(0,)1f f n n n n nξξ−=+−=+=⋅∈+当1(0,)nξ∈时，11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++,即111111n n n ξ<⋅<++， 111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭. （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论,可以得到11ln(1)1n n<++，所以11ln(1)01n n −+<+得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减.因为，1111ln ln(1)ln nnn k k a n n k k ===−>+−∑∑，而，11112341ln(1)ln ()ln()ln(1)123nnk k k n n k k n==+++==⋅⋅=+∑∏， 所以，11111ln ln(1)ln ln(1)ln 0nnn k k a n n n k k n ===−>+−>+−>∑∑.因此，数列{}n a 有下界. 由单调有界定理可知，数列{}n a 收敛.（19）（本题满分11分） 解：110d (,)d xyI x x yf x y y ''=⎰⎰1100d (,)d x x x ydf x y y '=⎰⎰ ()()111000d ,,d x x x x yf x y f x y y ⎡⎤''=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11d (,1)(,)d x x x x f x f x y y ''=−⎰⎰因为(,1)0f x =,所以(,1)0x f x '=110d (,)d x I x x f x y y '=−⎰⎰1100d (,)d x y xf x y x '=−⎰⎰111000d (,)(,)d y x f x y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100d (1,)(,)d y f y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ d (,)d Df x y x y =⎰⎰a =.（20）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123(,,,,,)βββααα= 11310112401313115a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r =≠=ββββββα,此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故5a =.（Ⅱ）对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换123123(,,,,,)=αααβββ101113013124115135⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭. 故112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（本题满分11分）解: （Ⅰ）设()()TT121,0,1,1,0,1=−=αα，则()()1212,,=−ααααA ，即1122,=−=ααααA A ，从而A 有特征值121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α. 由于()2r =A ,所以30λ=.由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()T3123,,x x x =α，则T 13T2300⎧=⎨=⎩αααα，即131300x x x x −=⎧⎨+=⎩ 解此方程组，得()T30,1,0=α,故30λ=对应的特征向量为()3330k k ≠α.故A 的所有特征值为1231,1,0λλλ=−==，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α和()3330k k ≠α.（Ⅱ）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()T T T3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0==−====αααβββααα. 令()123,,=βββQ ，则T110−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΛQ AQ ， T =A Q QΛ022012200110220010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭022022000022010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭001000100⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. （22）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）因为{}221P XY ==，所以有{}{}222210P X Y P X Y ≠=−==,即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ==−=======. 利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}10,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y ====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ====−===；即(),X Y 的概率分布为（Ⅱ）Z 的所有可能取值为1,0,1−,{}{}111,13P Z P X Y =−==−=−=，{}{}111,13P Z P X Y =====，{}{}{}101113P Z P Z P Z ==−=−=−=.所以，Z XY =的概率分布为（Ⅲ） cov XY XY E XY E X E Y ρ−⋅==由（I ）中(),X Y 的联合分布可知()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=，()()()0E XY E X E Y −⋅=，所以cov 0XY XY E XY E X E Y ρ−⋅===.（23）（本题满分11分） 解：总体X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞（Ⅰ）似然函数 202()22211()(;)i x nn i i i L f x μσσσ−−==⎡⎤==⎥⎥⎦∏∏， 取对数 222211ln ()ln(2π)ln ()222nii n n L x σσμσ==−−−−∑，求导 22022221d ln ()1[()]d()22()nii L n x σμσσσ==−+−∑，令22d ln ()0d()L σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑， 故2σ的最大似然估计量为22011()ni i X n σμ==−∑.（Ⅱ）20~(,)i X N μσ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑. ()()()222222011111().n i i E E X E Y E Y n n n n n σμσσσσ=⎡⎤=−===⋅=⎢⎥⎣⎦∑ ()()()22244402222111112()2.n i i D D X D Y D Y n n nn n n σμσσσσ=⎡⎤=−===⋅=⎢⎥⎣⎦∑。
2011年研究生入学统一考试数学二试题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。
【详解】法一:由题设知 13sin sin 33cos 3cos 31=lim=limkk x x x xx xcxkcx-→→--233sin 9sin 33cos 27cos 3=lim=lim(1)(1)(2)k k x x x x x x k k cxk k k cx--→→-+-+---324=lim(1)(2)k x k k k cx-→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。
从而应选（C ）。
法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!xx f x x o x x o x x o x =-+--+=+所以3,4k c ==。
，从而应选（C ）。
2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则233()2()limx x f x f x x→-=（A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。
通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。
【详解】23223333()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f xxx→→---=-()22333()(0)()(0)lim2lim'0x x x f x x f f x f f xx→→--=-=-故应选（B ）。
2011年考研数学(一)真题(含答案解析)
= −[ ∫ xf x ( x, y ) 1 0 dy − ∫ dy ∫ f x ( x, y ) dx ] = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = a
0 0 0 0 0
1
1
1
1
1
D
20 解：
1) ∵ α 1 , α 2 , α 101 = 013 =1≠ 0 115 0 0 1 ∴ r (α 1 , α 2 , α 3 ) = 3
针方向，则曲线积分 xzdx + xdy +
∫
y2 dz = ___________ 2
13.若 二 次 曲 面 的 方 程 为 x 2 + 3 y 2 + z 2 + 2axy + 2 xz + 2 yz = 4 ， 经 正 交 变 换 化 为
y12 + 4 z12 = 4 ，则 a = _______________
因为用心，所以专业
11 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 20 2011 一、选择题 1.曲线 y = ( x − 1)( x − 2) 2 ( x − 3) 2 ( x − 4) 2 拐点 A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0）
n k =1 n k =1
2 设数列 {an }单调递减， lim an = 0, S n =
18 证明：1）对任意正整数 n，都有 2）设 an = 1 + 3）
1 1 1 < ln(1 + ) < n +1 n n
1 1 + … + − ln n(n = 1,2, …) ,证明 {an } 收敛。 2 n
2008-2011年中国计量学院考研试题804高等代数
中国计量学院2008年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目名称:高等代数考试科目代码: 804考生姓名:考生编号:本试卷共十二大题，共二页。
一、在实数域上将多项式765432()268176208f x x x x x x x x =+--++-+分解为不可约因式的乘积.( 12分)二、(12分)设00s ts s t t t s BA C ⨯⨯⨯⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算A 。
三、(12分)设()(),,ij ij n n n n A a B b A a ⨯⨯===，其中(1),,1,2,,i j ij ij b a i j n +=-=，证明=B a 。
四、(12分)设A 是m n ⨯矩阵，b 是1⨯n 矩阵，试证明：1．秩()T A A ＝秩A ；2．方程组TTA Ax A b =必有解。
五、(12分) ,λμ为何值时线性方程组1231231234324x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解？无解？有无穷多解？有无穷多解时求其通解。
六、 (12分)设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----=p p 2131015162312311),,,(4321αααα 1．p 为何值时，该向量组线性无关；2．p 为何值时，该向量组线性相关，并在此时求出它的秩、一个极大线性无关组、并用该极大无关组表出其余向量。
七、（12分）设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，且2σσ=。
证明：（1）σ的特征值为0，1；（2）设01,V V 分别为0，1对应的特征子空间，则有01V V V =⊕。
八、 (15分)在欧氏空间4R 内求下列齐次线性方程组123412412342303220390++-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩x x x x x x x x x x x 的解空间S 的正交补子空间S ⊥的一组标准正交基。
九、(12分)设100111001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（1）求A 的特征值；（2）求A 的一个标准正交的特征向量系［即为A 的一个由特征向量构成的标准正交向量组，且所含向量个数最多］；（3）求A 的Jordan 标准形。
2011考研数学一真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根． 当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=． 令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++， 即(),0x R g x '∈>． 又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <； 当0x >时，()0g x >． 当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增 又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞， 所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭， 故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ． （23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑； 求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n． 方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案详解
与 Y 不相关与 X 与 Y 独立等价，所以 X 与 Y 独立，则有
EX = EY = μ , DX = DY = σ 2 EY 2 = DY + ( EY ) = μ 2 + σ 2
2
E ( XY 2 ) = EXEY 2 = μ ( μ 2 + σ 2 )
三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.
∫
π
x
0
tan tdt (0 ≤ x ≤
π ) 的弧长 s = 4
【答案】 ln( 2 + 1) 【详解】 s =
∫
4 0
1 1 + sin x 4 1 + tan xdx = ∫ 4 sec xdx = ln = ln( 2 + 1) 0 2 1 − sin x 0
2
−x
π
π
（10）微分方程 y '+ y = e 【答案】 e
1
=e =e
x→0 e x −1⎝
lim
1 ⎛ ln(1+ x ) ⎞ −1⎟ ⎜ x ⎠
=e
x→0
lim
ln(1+ x ) − x x2
x→0 2 x (1+ x )
lim
−x
=e
−
1 2
函数 f 具有二阶连续偏导数， 函数 g ( x) （16） （本题满分 10 分） 设函数 z = f ( xy, g ( x)) ， 可导且在 x = 1 处取得极值 g (1) = 1 ，求
∫
+∞
−∞
f ( x ) dx = 1 ，故由题知
2011年中国计量学院考研试题 811电子技术基础
中国计量学院2011年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目名称:电子技术基础考试科目代码: 811考生姓名:考生编号:本试卷共十二大题，共五页。
一、单项选择题。
（共7小题，每题2分，共14分） 1．场效应管放大电路的输入电阻，主要由( )决定。
A.管子类型 B.m g C.偏置电路 D.GS V 2．放大电路的共模抑制比K CMR 越大表明电路的( ) A.放大倍数越稳定 B.抑制温漂能力越强 C.信号中差模成分越大 D. A vd 小而 A vc 大3．互补对称功率放大电路，若设置静态工作点使两管均工作在乙类状态，将会出现（ ）。
A.交越失真B.饱和失真C.频率失真D.截止失真4．某负反馈放大电路的开环放大倍数为100，反馈系数为0.01，则闭环放大倍数为( )A. 0.02B. 100C. 25D. 505. 在放大电路中，当H f f =时，电压放大倍数v A 是中频时电压放大倍数VI A 的（ ）。
A.2倍 B.1倍 C.0.9倍 D. 0.707倍6. 测得某交流放大电路的输出端开路电压为8V ，当接上负载电阻Ω=k R L 4时，输出电压4V ，则交流放大器的输出电阻o R 是( )。
A. 6kΩ B. 4kΩ C. 2kΩ D. 1kΩ 7．在如图所示放大电路中，集电极电阻Rc 的主要作用是（ ）。
A. 放大电流 B.调节I BQ C.调节I CQD. 防止输出信号交流对地短路，把放大了的电流转换成电压。
二、简答题。
（共5小题，每题6分，共30分）1．电路如右下图所示，稳压管为硅管，且稳定电压为V V Z 6=，设)(sin 12V t v I ω=，试绘出O v 的波形。
ov -v O+-v I+2．电路如右图所示，试判断此振荡电路能否满足相位平衡条件，若能满足，则振荡频率是多少？3．电路如下图所示，合理连线，构成5V的直流电源。
R LVo=5V123v2220V50Hz4．某放大器的中频电压增益dBAVM40=，上限截止频率MHzfH2=，下限截止频率HzfL100=，最大不失真输出电压的峰峰值VVopp10=。
2011年考研数学试题(数学一)答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题1、【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。
2、【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
【解析】()∑===n k kn n a S 12,1 无界，说明幂级数()11nnn a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim =∞→nn a ，说明级数()11nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。
因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。
又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。
可知收敛域为[)0,2。
3、【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
【解析】由)(ln )(y f x f z =知()()ln (),()()x y f x z f x f y z f y f y ''''==，()()()xy f x z f y f y ''''= ()ln ()xx z f x f y ''''=，22()()(())()()yy f y f y f y z f x f y '''-''=所以00(0)(0)0(0)xy x y f z f f ==''''==，00(0)ln (0)xx x y z f f ==''''=，2200(0)(0)((0))(0)(0)(0)yy x y f f f z f f f =='''-''''==要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需(0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''⋅>所以有0)0(1)0(>''>f f ，4、【答案】B 【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。
2011考研数学一真题及答案)
2011考研数学一真题试卷一选择题1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 CA （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0）2设数列{}n a 单调递减，∑=∞→⋯===nk k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-nk nk x a 1)1(的收敛域CA(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 AA 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f4.设⎰⎰⎰===444000cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IBA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。
记,010100001,010********⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则A=DA 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6.设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 D A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα7.设)(),(21x F x F 为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数，则必为概率密度的是 DA )()(21x f x fB )()(222x F x fC )()(21x F x fD )()()()(1221x F x f x F x f +8.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)= B A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV 二填空题9.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s= __)21ln(+_____10.微分方程x e y y x c o s -=+'满足条件y(0)=0的解为y=___x e y x sin -=_________ 11.设函数⎰+=xydt tty x F 021sin ),(，则__________22=∂∂=x x F 4 12.设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z=x+y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=++___________22dz y xdy xzdx π13.若二次曲面的方程为42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为442121=+z y ，则=a _______1________ 三解答题15求极限110))1ln((lim -→+x e x xx 原式=21111)1()1ln(lim)1ln(1)1ln(021]))1ln((1[lim e eexxx x x e x x x xxx e x x x x x x x ===-++-+--+-+-+→→-16设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12==∂∂∂y x yx z解由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1所以0)1(='g)1,1()1,1()1,1()](,()()(,([)](,[)()](,[)](,[1211212111221f f f yx zx yg xy f x g x yg xy f x y x yg xy f yx zx g y x yg xy f y x yg xy f x zx ''+''+'=∂∂∂''+''+'=∂∂∂''+'=∂∂17求方程0arctan =-x x k 不同实根的个数，其中k 为参数。
2011硕士研究生入学考试高等代数试题答案
济 南 大 学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题（A 卷）答案及评分标准一、（20分）⑴.设p 是奇素数，试证1++px x p 在有理数域上不可约.设()1p f x x px =++.令1x y =-,()(1)g y f y =-,那么()(1)(1)(1)1p g y f y y p y =-=-+-+1122221(1)(1)(1)(1)1221p p p p p p p p p y y y y p y p p p ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,取素数p ,则()g y 满足Eisenstein 判断法的条件,故()g y 在有理数域上不可约. 由于()g y 与()f x 在有理数域上有相同的可约性,故()f x 有理数域上不可约.⑵.判断2=x 是8122116)(2345+--+-=x x x x x x f 的几重根.作综合除法可知,2是()f x 的三重根,且3()(2)(1)(1)f x x x x =-+-.二、（10分）如果1()n x f x -，则1()n nx f x -.()1()()1()(1)01()1()n n n n x f x f x x g x f x f x x f x -⇒=-⇒=⇒-⇒-三、（10分）()111(1)x x x n x x x ααααααααααα=-+()()()()(1)12111(1)1(1)n n n x n x n x x x ααααα---=-+=--+--四、（20分）向量组I 与II 等价⇔I 与II 的极大无关组等价⇔I 与II 的极大无关组为III 的极大无关组123r r r ⇔==.五、（20分）求证：⑴设12,,,s ηηη 是齐次线性方程组0AX =的基础解系，12,,,s ηηη 与12,,,t εεε 等价，由于它们都线性无关，所以s t =；12,,,t εεε 由12,,,s ηηη 表示，i ε为12,,,s ηηη 的线性组合，当然是0AX =的解，又因为任何一个解可由12,,,s ηηη 表示，当然也可由12,,,t εεε 表示，故12,,,t εεε 也是基础解系.⑵显然12,,,,s ξξηξηξη+++ 为AX b =的解，12,,,s ηηη 线性无关，ξ不能由它们表示，12,,,,s ηηηξ 线性无关，秩为1s +;12,,,,s ξξηξηξη+++ 与12,,,,s ηηηξ 等价，12,,,,s ξξηξηξη+++ 的秩也为1s +，从而无关，故为AX b =的线性无关解.试题科目：六、（10分）设n 阶半正定矩阵A ，存在可逆矩阵P ，0'00rE A P P ⎛⎫=⎪⎝⎭，矩阵000rE C P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'A C C =．七、（15分）作初等行变换'''''123111312121052(,,,,)1111221153A αααββ--⎛⎫ ⎪⎪== ⎪---- ⎪---⎝⎭100017170100349001032500013B -⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪→=- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭由于对矩阵施行初等行变换不改变列向量间的线性关系,从B 知1231,,,αααβ线性无关,且2123117492517333βαααβ=---+.显然dim 13W =,dim 22W =,而dim 12()W W +=dim 12312(,,,,)L αααββ=dim 1231(,,,)4L αααβ=.由维数公式得dim12()W W ⋂=dim1W +dim2W -dim12()3241W W +=+-=.由于211231225174917333W W γββααα=-=---∈⋂,且0γ≠,故γ是12W W ⋂的一个基. 八、（10分）设上三角的正交矩阵为A ，上三角1'A A -=下三角，A 必为对角矩阵，又因为2122'n A A A E λλ⎛⎫ ⎪=== ⎪⎪⎝⎭，21i λ=，1i λ=±，即对角线元素为1±. 九、（15分）⑴对于()()1211,,22V αααααααα∀∈=-A ++A =+()()1211,,22αααααα=-A =+A1122A ,A αααα=-=，112111,,V V V V V αα--∴∈∈=+；又因为{}1111,,0,0V V V V γαααα--∀∈⋂=A =-=⋂=，11V V V -=⊕；⑵线性变换A 在1V 某组基下矩阵为s E ，在1V -某组基下矩阵为n s E --，设11V V -，的基构成V 的基，故线性变换A 在V 的某组基下矩阵为s n s E E -⎛⎫⎪-⎝⎭. 十、（20分）证明：⑴设欧氏空间V 的一组标准正交基为1,,n εε ，()()11A ,,,,n n A εεεε= ，(A ,)(,A )αβαβ= ，(A ,)(,A )ji i j i j ij a a εεεε∴===，'A A ∴=为对称矩阵；反之，A 在一组标准正交基1,,n εε 下的矩阵A 为实对称矩阵，()()11,,,,,n n X Y αεεβεε== ，()()()11(A ,),,,,,n n AX Y αβεεεε=()'''AX Y X A Y ==()()()()11',,,,,(,A )n n X AY X AY εεεεαβ=== ，线性变换A 为对称的.(2)对于11,V V αβ⊥∀∈∀∈，此时1A V β∈，()()A ,=,A 0αβαβ=，1A V α⊥∴∈，则1V ⊥也是A 的不变子空间.。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案详解
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的一个拐点是（ ） （A ）(1,0) （B ）(2,0) （C ）(3,0) （D ）(4,0) 【答案】应选（C ） 【详解】由凹凸性定义（2）设数列{}n a 单调减少，1lim 0,(1,2,)n n n kn k a S a n →∞====∑L 无界，则幂级数1(1)nkkk a x =−∑的收敛域是（ ）（A ）(1,1]− （B ）[1,1)− （C ）[0,2) （D ）(0,2] 【答案】应选（C ） 【详解】根据级数1kk a∞=∑发散，可知1kk k a x∞=∑在1x =发散，1x =−收敛，所以可判断收敛半径为1R =（3）设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0,(0)0,f x f ′>= 则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A ）(0)1,(0)0f f ′′>> （B ）(0)1,(0)0f f ′′>< （C ）(0)1,(0)0f f ′′<> （D ）(0)1,(0)0f f ′′<< 【答案】应选（A ）【详解】根据()ln ()0()()0()x yz f x f y f x f y z f y ′==⎧⎪′⎨==⎪⎩， 22()()ln (),[()()(())]()xx yy f x z f x f y z f y f y f y f y ′′′′′==− 对于(0,0)，(0,0)(0)ln (0)xx z f f ′′=，(0,0)(0)yy z f ′′= 根据题意可判断(0)1,(0)0f f ′′>>（4）设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===∫∫∫，则,,I J K 的大小关系是（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】应选（B ） 【详解】在区间[0,4π上，sin cos cot ,ln x x x x <<是增函数，所以ln sin ln cos ln cot ,x x x <<由定积分比较大小的性质可知，应选（B ） （5）设A 为三阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得到单位矩阵，记121 0 0 1 0 01 1 0,0 0 10 0 10 1 0P P ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，则A=（ ）(A) 12PP ; (B) 112P P −; (C) 21P P ; (D) 121P P −. 【答案】应选(D).【详解】由初等变换及初等矩阵的性质易知21P AP E =，从而1112121A P P P P −−−==，答案应选(D).（6）设1234(,,,)A αααα=，若(1,0,1,0)T是方程0AX =的一个基础解系，则*0A X =的基础解系可为（ ）(A)12,αα; (B) 13,αα; (C) 123,,ααα; (D) 234,,ααα.【答案】应选(D).【详解】由(1,0,1,0)T 是方程0AX =的一个基础解系，知()3r A =，从而*()1,0r A A ==，于是*0A A A E ==，即1234,,,αααα为*0A X =的解.由130αα+=，知13,αα线性相关，由()3r A =，知234,,ααα线性无关，又*()1r A =，从而234,,ααα为*0A X =的基础解系,故应选(D).（7）设12(),()F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度12(),()f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是（ ）（A ）12()()f x f x （B ）212()()f x F x （C ）12()()f x F x （D ）1221()()()()f x F x f x F x + 【答案】应选(D).【详解】由概率密度的性质知，概率密度必须满足()1f x dx +∞−∞=∫，故由题知[]12211212()()()()()()()()1f x F x f x F x dx dF x F x F x F x +∞+∞+∞−∞−∞−∞+===∫∫ 故选择D.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在.记max{,}U X Y =，min{,}V X Y =则EUV 等于（ ）（A ）EU EV ×（B ）EX EY ×（C ）EU EY ×（D ）EX EV × 【答案】应选(B).【详解】由题易知，当X Y <时，,U Y V X ==；当X Y >时，,U X V Y ==；当X Y =时, ,U Y V X ==；则都有EUV EXY EXEY ==,故选择B.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤∫的弧长s =【答案】1)+【详解】1)s ==+（10）微分方程'cos xy y e x −+=满足条件(0)0y =的解为y =【答案】sin x e x −【详解】11(cos )(sin )dx dx x xy e C e xe dx e C x −−−∫∫=+=+∫，由于(0)0y =，所以sin x y e x −=（11）设函数2sin (,)1xytF x y dt t=+∫，则20,22x y F x ==∂=∂【答案】2【详解】2sin()1()F xy y x xy ∂=∂+，20,222sin(2)()214x y x F d x x dx x===∂==∂+（12）设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22Ly xzdx xdy dz ++=ò 【答案】2π【详解】由斯托克斯公式。
中国计量大学工程光学2011—2019年考研真题试题
《工程光学》试卷 第 2 页 共 2 页
一、（每小题 7 分,共 6 小题,共 42 分）请解释： 1. 光的独立传播定律 2. 费马原理 3. 完善成像的条件 4. 群速度和相速度 5. 光波相干条件 6. 惠更斯-菲涅尔原理
二、（1４分）在真空中传播的平面电磁波，其电场表达式为，Ex=0，Ey=0，
三、（20 分）波长为 600nm的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主极大 的衍射角为 300，且第三级缺级，求（1）光栅常数d等于多少？（2）光栅上狭 缝可能的最大宽度a有多大？（3）列出在光屏上可能观察到的全部级数。
四、（18 分）已知平面单色波， E z
=−4.08 cos
2π
×
1014( x 0.68c
七、（20 分）一架幻灯机的投影镜头 f ′ = 100mm ，镜头固定不动，当屏幕 分别为 0.5m 和 1m 时，物体应分别放在何处？
【完】
《工程光学》试卷 第 2 页 共 2 页
一、（每小题 7 分,共 6 小题,共 42 分，）请解释： 1. 会聚和发散球面波的复振幅表达式 2. 干涉条纹可见度及其影响因素 3. 孔径光阑、入瞳、出瞳 4. 开普勒望远镜和伽利略望远镜及其异同点 5. 圆偏振光 6. 费马原理
S1 r2
S2
∆L
r1
图1
∆ x=5mm
《工程光学》试卷 第 1 页 共 3 页
四、（20 分） 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该平行光束含有两种波长的 光，分别为 440nm，660nm，实验发现，两种波长极大值的谱线(不计中央明纹) 第二次重合于衍射角ϕ=60°的方向上，求此光栅的光栅周期参数 d。
镜的像方焦点重合，求整个系统的焦距 f ′ ，像方焦点和像方主点
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《高等代数 》试题 第2页 共2页
1 1 1 A 1 2 1 1 1 3
1
【完】
《高等代数 》试题 第3页 共2页
1 2 1 2 3 A 0 1 cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc , b 2 1 c 0 1 1
且线性方程组 Ax b 的解空间的维数为2, 求c的值及 Ax b 的通解.
A B 五、（10分）设分块矩阵 为对称矩阵, 其中 A 为非奇异矩阵, 证明: C D 0 A 此矩阵与分块矩阵 合同. 1 0 D CA B
六、（15分）设矩阵 A 与 B 相似, 其中,
2 0 0 1 0 0 A 2 x 2, B 0 2 0 3 1 1 0 0 y
（1）求 x 和 y 的值;
《高等代数 》试题 第1页 共2页
（2）求可逆矩阵 P , 使 P 1 AP B . 七、（15分）设 n 阶方阵 A, B, C , D 两两可交换, 且满足 AC BD E , 其中
E 为 n 阶单位矩阵. 记 ABx 0 的解空间为 W , Bx 0 的解空间为 W1 ,
Ax 0 的解空间为 W2 , 证明: W W1 W2 .
八、（10分）设 是线性空间 V 上的可逆线性变换, 证明: (1) 的特征值一定不为0; (2) 若 是 的特征值, 则
x1 2 x2 3 x3 4 x4 0 十、（15分）求齐次线性方程组 的解空间 S , 并写出 x1 5 x2 3 x3 3 x4 0
S 在 R 4 中的正交补 S 及维数.
x1 十一、（10分）计算3阶行列式 f ( x1 , x2 , x3 ) x3 x2
1
是 1 的特征值.
九、（10分）设 f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX 是一实二次型,
1 , 2 , , n 是 A 的特征多项式的根, 且 1 2 n . 证明对任一
X Rn , 有
1 X T X X T AX n X T X .
本试卷共
十二
大题，共 二 页。
r 一、（10分）设不可约的有理分数 为整系数多项式 s
f ( x) a0 x n a1 x n 1 an
的根，证明： s a0 , r an . 二、（10分）计算行列式
1 1 cos 1 cos 1 cos 1
2
1 1 cos 2 cos 2 cos 2
2
1 1 cos 3 cos 3 cos 3
2
1 1 cos 4 cos 4 cos 4
2
1 1 cos 5 cos 5 cos 2 5 cos 2 5 cos 3 5 cos 3 5 cos 4 5
cos 2 1 cos 3 1 cos 3 1 cos 4 1
中国计量学院 2011年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目名称: 考试科目代码: 考 生 考 生 姓 名: 编 号: 高等代数 804
考生须知:
1、所有答案必须写在报考点提供的答题纸 上，做在试卷或草稿纸上无效。 2、答案必须写清题号，字迹要清楚，保持卷 面清洁。 3、试卷、草稿纸必须随答题纸一起交回。
cos 2 2 cos 3 2 cos 3 2 cos 4 2
cos 2 3 cos 3 3 cos 3 3 cos 4 3
cos 2 4 cos 3 4 cos 3 4 cos 4 4
三、（15分）假设向量 可经向量组 1 , 2 , , r 线性表出, 证明表示法是唯一的充分必要条件是 1 , 2 , , r 线性无关. 四、（15分）设
示成初等对称多项式的多项式.
x2 x1 x3
x3 x2 的值，并将该值表 x1
十二、（15分）(1) 如果 A 是 n n(n 2) 矩阵, A* 为 A 的伴随矩阵, 证明: 若秩( A )= n , 则秩( A* )= n ; 若秩( A )= n 1 , 则秩( A* )= 1 ; (2) 若矩阵 A 的逆矩阵如下给出，求伴随矩阵 A* 的逆矩阵.