对卫星变轨问题的讨论
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物 理
：
，
星 变轨 问题 的 讨论
口 李 慧
自从 “ 七” 神 发射 成功 以来 ， 卫星 变轨 问题 成为
当卫星在椭 圆上 经过瞧 时 ， 万有 引力与其所需
备考与复 习中的热 点问题 ，但许多 同学对 此仍是茫
然无措 ，不得要领 ． 者在此把 自己 的观 点整理 出 笔 来， 以供 大家参考． 以下题 为例 ：
万有 引力沿着 曲率半径方 向的分力提供 的．
又 因为Ｒ ｒ ＜，
由③④⑤式可知：＞， ｚ， 。＇
综合 以上各式可知：＞ ， ｖ ｖ ２ ２ ． 应该说 以上这种解 答是正确的．但实践 中发现， 这种解答许多 同学感到无法理解． 因为中学课本 中还
没有 涉及 曲率 圆 、 曲率半 径的概念， 即使简单 了解这 两个概念 ， 以明白为何 在Ｑ 也难 点曲率圆 的半径大于
设地球 的质 量为ｍ．卫星 的质量 为忱， 星在Ｊ ， 卫 Ｐ 点受到的万有引力为Ｇ ２ ， 业
－
ｒ
切 于Ｑ点。 轨道２ ３ 、相切 于Ｐ 点 ，则卫星分别在１２ ３ 、 、轨
道 上 正 常运 行 时 ． ： 求 （ ）比 较 卫 星 经过 轨 道 １２ 的 Ｑ 时 以及 卫 星 １ 、上 点 经 过轨 道２ ３ 的 董时 加 速 度 的 大 小 ： 、上
轨道 １ 行 ， 运 然后 点 火 ， 其 使
要 的向心力ｍ 大小 、方 向都相 同 ，ｔ 曲率 圆 ： ｒ为其 的半径 ． 设从尸 点到地球球 心 的距 离为ｒ 由于 曲率 圆 ，
ｒ ＜ ①
所 发射地球同步卫 星时， 先将卫星发射 至近地 圆形 与椭圆上 相内切 ， 以
沿 椭 圆轨 道 ２ 行 。最 后 再 运 次 点 火， 卫 星 送 入 同步 圆 将 形 轨 道 ３ 行 ． 轨 道 １２ 运 设 、相
近地 圆轨道 的半径 ．囿于中学阶段数学知识 的欠 缺，
而无法彻底地掌握这类问题的解法．
２ ３电
基于此 ， 本文建议大家换一个思路来
一
、
电磁 感 应 与 运动 、 的综 合 力
处理这 个问题 ． 物体做 圆周运 动 、 用 近心 运动 、 离心运动的条件来解决． 讲解如下 ：
当卫星在圆形轨道 １ 上经过Ｑ 点时 ，
椭 圆 轨 道 上 ｐ、 点 的 速 度 大 小 分 别 是 、：，比 较 四 Ｐ ：
由于 和Ｖｔ ： ２ 是椭 圆轨道上近 地点和远地 点的速 再 比较 和 的大小 ：轨道 １ 和轨 道３ 都是 圆轨
橱
由开普勒第二定律可知 ： ： ． 第一个问题好解决： 卫星经过轨道１２ 、 上 度 ，
距离地球球心越来越远 ， 远离地球球心 做
的运 动 ， 点 ， 在Ｑ 卫星所 受 到的万有 引力
不足 以维持其 做半径 为 的圆周运 动 ， Ｇ
阻ｆ ｌ 碍ｌ
合ｌ 闭Ｉ 姆 欧 电Ｉ 定
＜簧 ・
由以上两式解得 ： ： ． 当卫星在圆形轨道３ 上经过尸 点时，
Ｇ 硼 ： ・
方法： 从运动和力的关系着手 ， 运用牛顿第二定律 （） １ 基本思路 ：受力分 析一 运动分析一 变化 趋 向一确定运动过程和最终的稳定状 态一 由牛顿第 二 定律列方程求解 ．
（） ２ 注意安培力的特点 ：
当卫 星在椭 圆轨道 ２ 上经 过ｐ点 时 ，
的Ｑ 点时 ， 受到 的万 有引力都 相 同， 由牛顿 第二定律
万有 引力提供 向心力 ， 点 到地球球心 的距 离 从Ｑ 可知其加 速度相 同． ， 同样 卫星经过轨道 ２ ３ ： 点 道 ， 、ｄ 的尸 设 为Ｒ， 时， 所受到的万有引力也都是相 同的 ， 因此加速度也
相 同．
Ｇ ｍｚ Ｒ ・
④
⑤ ⑥
要解决第二个 问题 ，许 多资料给 出的解法是借 用 了数学 上的两个概念 ： 曲率 圆和 曲率 半径． 质点沿 曲线运动 ，如果 在曲线上某点 附近取极 短的一段 ， 只 要 取得 足够短， 那么， 这一小 段就 可以看 成一段很 短 的圆弧， 圆弧所在 的圆叫曲率 圆 ， 曲率 圆的半径 此 此 叫曲率半径 ． 卫 星在椭圆轨道上运 动时 ，我们可 以认 为它是 在绕着 其曲率圆做圆周运动 ，当然 曲率圆 的圆心是 在不断运动 的． 星做 曲线运动所需要 的向心力是由 卫
当卫星在椭圆２ 上经过Ｐ 点时，
Ｇ
＝： ， ｍ华
②
当卫星在圆形 轨道３ 上经过Ｐ 点时，
Ｇ
ｒ
＝： ， ｍ
ｒ
③
（ ） 卫 星在 轨道 １ ３ ２设 、 上的速度 大 小为
个速 度 的 大 小．
４
， 在
由①②③式可知 ： ， 。 ，
同样的道 理可 知 ：。 ．
阻值 为Ｒ ０ ＝ ． ｎ的电阻， ≥０ ５ 在 的平面 内有一与水平
面垂 直 的 均 匀磁 场 ，磁 感 强度 曰 ０５ 一质 量 为ｍ＝ ＝． ０１ 的金 属 直杆 垂 直 放 置在 导轨 上 ， 以 ２ ／的 ． 并 ｓ ｍ
当卫 星在椭 圆轨道２ 上经过Ｐ 时， 距 离地球 球心越 来越 近 ， 近心运 动 ， 做 在Ｐ
点 ，卫星受 到的万有 引力大于维持 其做 半径 为ｒ 的圆周运动所需要的向心力 ，
Ｇ
厂
，
＞： ， ｍ 由以上两 式解得 ：３ ｖ＞
ｒ ２． 源自对 于 ＞ ２，ｌ口的判 断同前 面 的讲 ＞ ３ Ｖ
解 ， 再 赘述 ． 不
初速度进入磁场 ，在安培力和一垂直于杆的水平外
Ｇ
ｒ
（） ３ 纯力学问题中只有重力 、 弹力 、 摩擦力 ， 电磁
感应 中多一个安培力 ， 安培力随速度变化 ， 分弹力 部
＝ｍ２ ．
ｒ
及相应的摩擦力也随之而变 ，导致物体 的运 动状 态 发生变化 ， 在分析问题时要注意上述联 系． 例 １ 如 图１ 所示，两条互相平行的光滑金属导 轨位 于水平 面内， 离为ｌ０２ｍ， 距 ＝ ． 在导轨 的一端接 有
：
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星 变轨 问题 的 讨论
口 李 慧
自从 “ 七” 神 发射 成功 以来 ， 卫星 变轨 问题 成为
当卫星在椭 圆上 经过瞧 时 ， 万有 引力与其所需
备考与复 习中的热 点问题 ，但许多 同学对 此仍是茫
然无措 ，不得要领 ． 者在此把 自己 的观 点整理 出 笔 来， 以供 大家参考． 以下题 为例 ：
万有 引力沿着 曲率半径方 向的分力提供 的．
又 因为Ｒ ｒ ＜，
由③④⑤式可知：＞， ｚ， 。＇
综合 以上各式可知：＞ ， ｖ ｖ ２ ２ ． 应该说 以上这种解 答是正确的．但实践 中发现， 这种解答许多 同学感到无法理解． 因为中学课本 中还
没有 涉及 曲率 圆 、 曲率半 径的概念， 即使简单 了解这 两个概念 ， 以明白为何 在Ｑ 也难 点曲率圆 的半径大于
设地球 的质 量为ｍ．卫星 的质量 为忱， 星在Ｊ ， 卫 Ｐ 点受到的万有引力为Ｇ ２ ， 业
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ｒ ＜ ①
所 发射地球同步卫 星时， 先将卫星发射 至近地 圆形 与椭圆上 相内切 ， 以
沿 椭 圆轨 道 ２ 行 。最 后 再 运 次 点 火， 卫 星 送 入 同步 圆 将 形 轨 道 ３ 行 ． 轨 道 １２ 运 设 、相
近地 圆轨道 的半径 ．囿于中学阶段数学知识 的欠 缺，
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２ ３电
基于此 ， 本文建议大家换一个思路来
一
、
电磁 感 应 与 运动 、 的综 合 力
处理这 个问题 ． 物体做 圆周运 动 、 用 近心 运动 、 离心运动的条件来解决． 讲解如下 ：
当卫星在圆形轨道 １ 上经过Ｑ 点时 ，
椭 圆 轨 道 上 ｐ、 点 的 速 度 大 小 分 别 是 、：，比 较 四 Ｐ ：
由于 和Ｖｔ ： ２ 是椭 圆轨道上近 地点和远地 点的速 再 比较 和 的大小 ：轨道 １ 和轨 道３ 都是 圆轨
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由开普勒第二定律可知 ： ： ． 第一个问题好解决： 卫星经过轨道１２ 、 上 度 ，
距离地球球心越来越远 ， 远离地球球心 做
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不足 以维持其 做半径 为 的圆周运 动 ， Ｇ
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由以上两式解得 ： ： ． 当卫星在圆形轨道３ 上经过尸 点时，
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方法： 从运动和力的关系着手 ， 运用牛顿第二定律 （） １ 基本思路 ：受力分 析一 运动分析一 变化 趋 向一确定运动过程和最终的稳定状 态一 由牛顿第 二 定律列方程求解 ．
（） ２ 注意安培力的特点 ：
当卫 星在椭 圆轨道 ２ 上经 过ｐ点 时 ，
的Ｑ 点时 ， 受到 的万 有引力都 相 同， 由牛顿 第二定律
万有 引力提供 向心力 ， 点 到地球球心 的距 离 从Ｑ 可知其加 速度相 同． ， 同样 卫星经过轨道 ２ ３ ： 点 道 ， 、ｄ 的尸 设 为Ｒ， 时， 所受到的万有引力也都是相 同的 ， 因此加速度也
相 同．
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要解决第二个 问题 ，许 多资料给 出的解法是借 用 了数学 上的两个概念 ： 曲率 圆和 曲率 半径． 质点沿 曲线运动 ，如果 在曲线上某点 附近取极 短的一段 ， 只 要 取得 足够短， 那么， 这一小 段就 可以看 成一段很 短 的圆弧， 圆弧所在 的圆叫曲率 圆 ， 曲率 圆的半径 此 此 叫曲率半径 ． 卫 星在椭圆轨道上运 动时 ，我们可 以认 为它是 在绕着 其曲率圆做圆周运动 ，当然 曲率圆 的圆心是 在不断运动 的． 星做 曲线运动所需要 的向心力是由 卫
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＝： ， ｍ华
②
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③
（ ） 卫 星在 轨道 １ ３ ２设 、 上的速度 大 小为
个速 度 的 大 小．
４
， 在
由①②③式可知 ： ， 。 ，
同样的道 理可 知 ：。 ．
阻值 为Ｒ ０ ＝ ． ｎ的电阻， ≥０ ５ 在 的平面 内有一与水平
面垂 直 的 均 匀磁 场 ，磁 感 强度 曰 ０５ 一质 量 为ｍ＝ ＝． ０１ 的金 属 直杆 垂 直 放 置在 导轨 上 ， 以 ２ ／的 ． 并 ｓ ｍ
当卫 星在椭 圆轨道２ 上经过Ｐ 时， 距 离地球 球心越 来越 近 ， 近心运 动 ， 做 在Ｐ
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初速度进入磁场 ，在安培力和一垂直于杆的水平外
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（） ３ 纯力学问题中只有重力 、 弹力 、 摩擦力 ， 电磁
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及相应的摩擦力也随之而变 ，导致物体 的运 动状 态 发生变化 ， 在分析问题时要注意上述联 系． 例 １ 如 图１ 所示，两条互相平行的光滑金属导 轨位 于水平 面内， 离为ｌ０２ｍ， 距 ＝ ． 在导轨 的一端接 有