2023届云南省重点中学中考数学模拟试题含解析

2023年中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运算中，计算结果正确的是（）
A．a2•a3=a6 B．a2+a3=a5 C．（a2）3=a6 D．a12÷a6=a2
2．一组数据1，2，3，3，4，1．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）
A．平均数B．众数 C．中位数D．方差
3．下列计算中正确的是（）
A．x2+x2=x4 B．x6÷x3=x2 C．（x3）2=x6 D．x-1=x
4．如图是由两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其主视图是（）
A．B．C．D．
5．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤
6．如图中任意画一个点，落在黑色区域的概率是（）
A ．1π
B ．1
2 C ．π
D ．50
7．如图，二次函数y=ax1+bx+c （a≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=1，
且OA=OC ．则下列结论：①abc ＞0；②9a+3b+c ＞0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax1+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣1
a ；⑤抛物线上有两点P （x1，y1）和Q （x1，y1），若x1＜1＜x1，且x1+x1＞4，则y1＞y1．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 8．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B 、C ，连接AC 、BC ．若∠ABC=67°，则∠1=（ ）
A ．23°
B ．46°
C ．67°
D ．78°
9．一副直角三角板如图放置，其中C DFE 90∠=∠=，45A ∠=︒，60E ∠=︒，点F 在CB 的延长线上若//DE CF ，则BDF ∠等于（ ）
A ．35°
B ．25°
C ．30°
D ．15°
10．计算（2017﹣π）0﹣（﹣1
3）﹣3tan30°的结果是（ ）
A ．5
B ．﹣2
C ．2
D ．﹣1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知实数m ，n 满足23650m m +-=，2
3650n n +-=，且m n ≠，则n m m n += ．
12．分解因式：8x²-8xy+2y²= _________________________ . 13．观察下列等式：
111
第2个等式：a2=
1111
() 35235
=⨯-⨯；
第3个等式：a3=
1111
() 57257
=⨯-⨯；
…
请按以上规律解答下列问题：（1）列出第5个等式：a5=_____；
（2）求a1+a2+a3+…+an=49
99，那么n的值为_____．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF 沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．
15．若使代数式21
2
x
x
-
+有意义，则x的取值范围是_____．
16．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，
它是白球的概率为2
3，则黄球的个数为______．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图1，抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣5）．
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一动点，连接PA、PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴（如图2所示），交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
某商场用8万元购进一批新款衬衫，上架后很快销售一空，商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一次的2倍，但进价涨了4元/件，结果共用去17.6万元．该商场第一批购进衬衫多少件？商场销售这种衬衫时，每件定价都是58元，剩至150件时按八折出售，全部售完．售完这两批衬衫，商场共盈利多少元？
19．（8分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）这次参与调查的村民人数为人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；
（4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率．
20．（8分）某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．
请根据图表信息回答下列问题：
视力频数（人）频率
4.0≤x＜4.3200.1
4.3≤x＜4.6400.2
4.6≤x＜4.9700.35
4.9≤x＜
5.2a0.3
5.2≤x＜5.510b
（1）本次调查的样本为，样本容量为；在频数分布表中，a＝，b＝，并将频数分布直方图补充完整；若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？
21．（8分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．
（1）求证：△BDE≌△BCE；
（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
22．（10分）小敏参加答题游戏，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项a，b，c，第二道单选
题有4个选项A，B，C，D，这两道题小敏都不会，不过小敏还有一个“求助”机会，使用“求助”可以去掉其中一道
题的一个错误选项．假设第一道题的正确选项是b，第二道题的正确选项是D，解答下列问题：
（1）如果小敏第一道题不使用“求助”，那么她答对第一道题的概率是________；
（2）如果小敏将“求助”留在第二道题使用，用画树状图或列表的方法，求小敏顺利通关的概率；
（3）小敏选第________道题（选“一”或“二”）使用“求助”，顺利通关的可能性更大．
23．（12分）已知关于x的分式方程
1
1
m
x
+
-=2①和一元二次方程mx2﹣3mx+m﹣1=0②中，m为常数，方程①的根为非
负数．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程②有两个整数根x1、x2，且m为整数，求方程②的整数根．
24．为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、C
【解析】
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相减；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解．
【详解】
A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；
B、a2+a3不能进行运算，故本选项错误；
C、（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；
故选：C ． 【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2、D 【解析】
A. ∵原平均数是：(1+2+3+3+4+1) ÷6=3;
添加一个数据3后的平均数是：(1+2+3+3+4+1+3) ÷7=3; ∴平均数不发生变化. B. ∵原众数是：3；
添加一个数据3后的众数是：3； ∴众数不发生变化； C. ∵原中位数是：3；
添加一个数据3后的中位数是：3； ∴中位数不发生变化；
D. ∵原方差是：
()()()
()()
222
22
313233234355=
6
3-+-+-⨯+-+-；
添加一个数据3后的方差是：
()()()
()()
2
2
2
2
2
3132333343510=
7
7-+-+-⨯+-+-；
∴方差发生了变化. 故选D.
点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 3、C 【解析】
根据合并同类项的方法、同底数幂的除法法则、幂的乘方、负整数指数幂的意义逐项求解，利用排除法即可得到答案. 【详解】
A. x2+x2=2x2 ，故不正确；
B. x6÷x3=x3 ，故不正确；
C. （x3）2=x6 ，故正确；
D. x ﹣1=1
x ，故不正确；
故选C. 【点睛】
本题考查了合并同类项的方法、同底数幂的除法法则、幂的乘方、负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟练掌握各知识点. 4、B 【解析】
主视图是从正面看得到的视图，从正面看上面圆锥看见的是：三角形，下面两个正方体看见的是两个正方形．故选B ． 5、C 【解析】
试题解析：∵抛物线的顶点坐标A （1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=-2b
a =1，
∴2a+b=0，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∴b=-2a ＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，
∴abc ＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A （1，3）， ∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确； ∵抛物线与x 轴的一个交点为（4，0） 而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c 与直线y2=mx+n （m≠0）交于A （1，3），B 点（4，0） ∴当1＜x ＜4时，y2＜y1，所以⑤正确． 故选C ．
考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x 轴的交点． 6、B 【解析】
抓住黑白面积相等，根据概率公式可求出概率. 【详解】
因为，黑白区域面积相等，
所以，点落在黑色区域的概率是1
2.
故选B 【点睛】
本题考核知识点：几何概率.解题关键点：分清黑白区域面积关系. 7、D 【解析】
根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】
解：由抛物线的开口可知：a ＜0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ＜0，由抛物线的对称轴可知：2b
a -
＞0，∴b ＞0，
∴abc ＞0，故①正确；
令x=3，y ＞0，∴9a+3b+c ＞0，故②正确； ∵OA=OC ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确；
∵对称轴为直线x=1，∴﹣2b
a =1，∴b=﹣4a ．
∵OA=OC=﹣c ，∴当x=﹣c 时，y=0，∴ac1﹣bc+c=0，∴ac ﹣b+1=0，∴ac+4a+1=0，∴c=
41
a a +-
，∴设关于x 的方1
∵x1＜1＜x1，∴P、Q两点分布在对称轴的两侧，
∵1﹣x1﹣（x1﹣1）=1﹣x1﹣x1+1=4﹣（x1+x1）＜0，
即x1到对称轴的距离小于x1到对称轴的距离，∴y1＞y1，故⑤正确．
故选D．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax1+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．本题属于中等题型．
8、B
【解析】
根据圆的半径相等可知AB=AC，由等边对等角求出∠ACB，再由平行得内错角相等，最后由平角180°可求出∠1.【详解】
根据题意得：AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=67°，
∵直线l1∥l2，
∴∠2=∠ABC=67°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠ACB=180°-∠1-∠ACB=180°-67°-67°=46º．
故选B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练根据这些性质得到角之间的关系是关键.
9、D
【解析】
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°，
∵DE∥CB，
∴∠BDE=∠ABC=45°，
∴∠BDF=45°-30°=15°．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键．
10、A
【解析】
试题分析：原式=1－(－
3
3
3=1+3+1=5，故选A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
22
【解析】
试题分析：由m n ≠时，得到m ，n 是方程2
3650x x +-=的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．
试题解析：∵m n ≠时，则m ，n 是方程3x2﹣6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴2m n +=，
53mn =-
．
∴原式=22m n mn +=2()2m n mn mn +-=25
22()
22
3553-⨯-=--
，故答案为225-．
考点：根与系数的关系．
12、1
()2
2x y -
【解析】
提取公因式1，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．完全平方公式：a1±1ab+b1=（a±b ）1． 【详解】 8x1-8xy+1y²=1（4x1-4xy+y²）=1（1x-y ）1． 故答案为：1（1x-y ）1 【点睛】
此题考查的是提取公因式法和公式法分解因式，本题关键在于提取公因式可以利用完全平方公式进行二次因式分解．
13、1111
()
9112911=⨯-⨯ 49
【解析】
（1）观察等式可得
()()1
111,
212122121n a n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭ 然后根据此规律就可解决问题；
（2）只需运用以上规律，采用拆项相消法即可解决问题． 【详解】
(1)观察等式,可得以下规律：
()()1
111,
212122121n a n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭，
∴
51111.9112911a ⎛⎫
=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭
(2)
12311111111111(1)()()2323525722121n a a a a n n ⎛⎫+++⋯+=
⨯-+⨯-+⨯-+⋯+- ⎪-+⎝⎭
1149
(1)22199n =
-=+，
解得：n=49.
故答案为：11119112911⎛⎫
=⨯- ⎪
⨯⎝⎭49.
属于规律型：数字的变化类，观察题目，找出题目中数字的变化规律是解题的关键. 14、23-2 ．
【解析】
延长FP 交AB 于M ，当FP ⊥AB 时，点P 到AB 的距离最小．运用勾股定理求解. 【详解】
解:如图，延长FP 交AB 于M ，当FP ⊥AB 时，点P 到AB 的距离最小．
∵AC=6，CF=1， ∴AF=AC-CF=4， ∵∠A=60°，∠AMF=90°， ∴∠AFM=30°，
∴AM=1
2AF=1，
∴22
AF FM -3，
∵FP=FC=1，
∴3-1，
∴点P 到边AB 距离的最小值是3-1． 故答案为3．
【点睛】
本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P 的位置. 15、x≠﹣2 【解析】
直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案． 【详解】
∵分式21
2x x -+有意义，
∴x 的取值范围是：x+2≠0， 解得：x≠−2. 故答案是：x≠−2. 【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握分式有意义的条件. 16、1
首先设黄球的个数为x 个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．
解：设黄球的个数为x 个， 根据题意得：88x +=2/3解得：x=1．
∴黄球的个数为1．
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）抛物线l2的函数表达式；y=x2﹣4x ﹣1；（2）P 点坐标为（1，1）；（3）在点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值为12.1．
【解析】
（1）由抛物线l1的对称轴求出b 的值，即可得出抛物线l1的解析式，从而得出点A 、点B 的坐标，由点B 、点E 、点D 的坐标求出抛物线l2的解析式即可；（2）作CH ⊥PG 交直线PG 于点H ，设点P 的坐标为（1，y ），求出点C 的坐标，进而得出CH=1，PH=|3﹣y |，PG=|y |，AG=2，由PA=PC 可得PA2=PC2，由勾股定理分别将PA2、PC2用CH 、PH 、PG 、AG 表示，列方程求出y 的值即可；（3）设出点M 的坐标，求出两个抛物线交点的横坐标分别为﹣1，4，①当﹣1＜x≤4时，点M 位于点N 的下方，表示出MN 的长度为关于x 的二次函数，在x 的范围内求二次函数的最值；②当4＜x≤1时，点M 位于点N 的上方，同理求出此时MN 的最大值，取二者较大值，即可得出MN 的最大值.
【详解】
（1）∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3对称轴为x=1，
∴x=﹣21b
（）⨯-=1，b=2，
∴抛物线l1的函数表达式为：y=﹣x2+2x+3，
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得：x1=3，x2=﹣1，
∴A （﹣1，0），B （3，0），
设抛物线l2的函数表达式；y=a （x ﹣1）（x+1），
把D （0，﹣1）代入得：﹣1a=﹣1，a=1，
∴抛物线l2的函数表达式；y=x2﹣4x ﹣1；
（2）作CH ⊥PG 交直线PG 于点H ，
设P 点坐标为（1，y ），由（1）可得C 点坐标为（0，3），
∴CH=1，PH=|3﹣y |，PG=|y |，AG=2，
∴PC2=12+（3﹣y ）2=y2﹣6y+10，PA2= =y2+4，
∵PC=PA ，
∴PA2=PC2，
∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，
∴P 点坐标为（1，1）；
（3）由题意可设M（x，x2﹣4x﹣1），
∵MN∥y轴，
∴N（x，﹣x2+2x+3），
令﹣x2+2x+3=x2﹣4x﹣1，可解得x=﹣1或x=4，
①当﹣1＜x≤4时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣4x﹣1）=﹣2x2+6x+8=﹣2（x﹣3
2）2+
25
2，
显然﹣1＜3
2≤4，
∴当x=3
2时，MN有最大值12.1；
②当4＜x≤1时，MN=（x2﹣4x﹣1）﹣（﹣x2+2x+3）=2x2﹣6x﹣8=2（x﹣3
2）2﹣
25
2，
显然当x＞3
2时，MN随x的增大而增大，
∴当x=1时，MN有最大值，MN=2（1﹣3
2）2﹣
25
2=12.
综上可知：在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12.1．
【点睛】
本题是二次函数与几何综合题，主要考查二次函数解析式的求解、勾股定理的应用以及动点求线段最值问题.
18、（1）2000件；（2）90260元．
【解析】
（1）设该商场第一批购进衬衫x件，则第二批购进衬衫2x件，根据单价=总价÷数量结合第二批比第一批的进价涨了4元/件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）用（1）的结论×2可求出第二批购进该种衬衫的数量，再利用总利润=销售收入-成本，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设该商场第一批购进衬衫x件，则第二批购进衬衫2x件，
根据题意得：176000
2x-
80000
x=4，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是所列分式方程的解，且符合题意．
答：商场第一批购进衬衫2000件．
（2）2000×2=4000（件），
（2000+4000-150）×58+150×58×0.8-80000-176000=90260（元）．
答：售完这两批衬衫，商场共盈利90260元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．19、(1)120;(2)42人；(3) 90°;(4)
【解析】
（1）直接利用腰鼓所占比例以及条形图中人数即可得出这次参与调查的村民人数；
（2）利用条形统计图以及样本数量得出喜欢广场舞的人数；
（3）利用“划龙舟”人数在样本中所占比例得出“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；
（4）利用树状图法列举出所有的可能进而得出概率．
【详解】
（1）这次参与调查的村民人数为：24÷20%=120（人）；
故答案为：120；
（2）喜欢广场舞的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9=42（人），
如图所示：
；
（3）扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数为：×360°=90°；
（4）如图所示：
，
一共有12种可能，恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的有2种可能，
故恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率为：．
【点睛】
此题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的应用和树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．20、200名初中毕业生的视力情况200 60 0.05
【解析】
（1）根据视力在4.0≤x＜4.3范围内的频数除以频率即可求得样本容量；
（2）根据样本容量，根据其对应的已知频率或频数即可求得a，b的值；
（3）求出样本中视力正常所占百分比乘以5000即可得解.
【详解】
（1）根据题意得：20÷0.1=200，即本次调查的样本容量为200，
故答案为200；
（2）a=200×0.3=60，b=10÷200=0.05，
补全频数分布图，如图所示，故答案为60，0.05；
（3）根据题意得：5000×706010
200
++
=3500（人），
则全区初中毕业生中视力正常的学生有估计有3500人．
21、证明见解析.
【解析】
（1）根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；
（2）根据（1）以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED为菱形．【详解】
（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，
∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，
∵AB⊥EC，
∴∠ABC=90°，
∴∠DBE=∠CBE=30°，
在△BDE和△BCE中，
∵
DB CB
DBE CBE BE BE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩，
∴△BDE≌△BCE；
（2）四边形ABED为菱形；
由（1）得△BDE≌△BCE，
∵△BAD是由△BEC旋转而得，
∴△BAD≌△BEC，
∴BA=BE，AD=EC=ED，
又∵BE=CE，
∴BA=BE=ED= AD
∴四边形ABED为菱形．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
22、（1）1
3；（2）
1
9;（3）一.
【解析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图（用Z 表示正确选项，C 表示错误选项）展示所有9种等可能的结果数，找出小敏顺利通关的结果数，然后根据概率公式计算出小敏顺利通关的概率；
（3）与（2）方法一样求出小颖将“求助”留在第一道题使用，小敏顺利通关的概率，然后比较两个概率的大小可判断小敏在答第几道题时使用“求助”．
【详解】
解：（1）若小敏第一道题不使用“求助”，那么小敏答对第一道题的概率=13； 故答案为1
3；
（2）若小敏将“求助”留在第二道题使用，那么小敏顺利通关的概率是1
9．理由如下：
画树状图为：（用Z 表示正确选项，C 表示错误选项）
共有9种等可能的结果数，其中小颖顺利通关的结果数为1，
所以小敏顺利通关的概率=1
9；
（3）若小敏将“求助”留在第一道题使用，画树状图为：（用Z 表示正确选项，C 表示错误选项）
共有8种等可能的结果数，其中小敏顺利通关的结果数为1，所以小敏将“求助”留在第一道题使用，小敏顺利通关的概
率=1
8，
由于18＞1
9，
所以建议小敏在答第一道题时使用“求助”．
【点睛】
本题考查了用画树状图的方法求概率，掌握其画法是解题的关键.
23、（1）3m ≥-且1m ≠-，0m ≠；（2）当m=1时，方程的整数根为0和3.
【解析】
（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出m 的取值；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=3，
12111m x x m m -⋅==-，根据方程的两个根都是整数可得m=1或1-.结合（1）
的结论可知m =1.解方程即可.
【详解】
解：（1）∵关于x 的分式方程12
1m x +=-的根为非负数，
∴0x ≥且1x ≠. 又∵302m x +=
≥，且312m +≠，
∴解得3m ≥-且1m ≠-.
又∵方程
2310mx mx m -+-=为一元二次方程， ∴0m ≠.
综上可得：3m ≥-且1m ≠-，0m ≠.
（2）∵一元二次方程2
310mx mx m -+-=有两个整数根x1、x2，m 为整数， ∴x1+x2=3，12111m x x m m -⋅==-， ∴11m -
为整数，∴m=1或1-.
又∵3m ≥-且1m ≠-，0m ≠，
∴m =1.
当m=1时，原方程可化为230x x -=.
解得：10x =，23x =.
∴当m=1时，方程的整数根为0和3.
【点睛】
考查了解分式方程，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等，熟练掌握方程的解法是解题的关键.
24、 (1)开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走
)千米；(2)汽车从A 地到B 地比原来少走的路程为
千米．
【解析】
（1）过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，在直角△ACD 中，解直角三角形求出CD ，进而解答即可；
（2）在直角△CBD 中，解直角三角形求出BD ，再求出AD ，进而求出汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程．
【详解】
(1)过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，
∵AB ⊥CD ，sin30°＝CD
BC ，BC ＝80千米，
∴CD＝BC•sin30°＝80×1
2＝40(千米)，
AC＝
CD
402
sin45︒
=
(千米)，
AC+BC＝80+
1
-
8(千米)，
答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走(80+
1
-
8)千米；
(2)∵cos30°＝BD
BC，BC＝80(千米)，
∴BD＝BC•cos30°＝80×
3
=403
2(千米)，
∵tan45°＝CD
AD，CD＝40(千米)，
∴AD＝
CD
40
tan45︒
=
(千米)，
∴AB＝AD+BD＝40+
403(千米)，
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝80+
1
-
8﹣40﹣403＝40+40(23)
-(千米)．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为[40+40(23)
-]千米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．。