广东高考理数真题模拟汇编12：立体几何

广东高考理数真题模拟汇编
12：立体几何
真题部分：
1. (2005广东) 已知高为３的直棱锥C B A ABC '''-的底面是边长为１的正三角形
（如图１所示），则三棱锥ABC B -'的体积为 （ ）
A ．
4
1
B ．
2
1 C ．
6
3 D ．
4
3 1.D ．解:∵ ,ABC B B 平面⊥'
∴4
3343313131=⋅⋅='⋅=⋅=∆∆-'B B S h S ABC ABC ABC B V ．故选D.
2. (2005广东)给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β，的四个命题： ①若A l m =⊂αα ,，点m A ∉，则l 与m 不共面；
②若m 、l 是异面直线, αα//,//m l , 且m n l n ⊥⊥,，则α⊥n ； ③若βα//,//m l , βα//，则m l //；
④若
=⊂⊂m l m l ,,αα点A ，ββ//,//m l ，则βα//． 其中为假命题的是
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
2.C ．解：③是假命题，如右图所示满足βα//,//m l , βα//， 但 m l \// ，故选C ．
3、（2006广东）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 3、ππ2742
3
3332==⇒=
⇒=R S R d 4、（2006广东）给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是
l
α
β
m
A'
C'
A
C
图1
A.4
B.3
C.2
D.1
4、①②④正确，故选B.
5.（2010广东文理数）如图1，△ABC为三角形，AA'//BB'//CC' ,CC'⊥平面ABC且
3AA'=3
2
BB'=CC'=AB,则多面体△ABC -A B C
'''的正视图（也称主视图）是
5．D．
6、（2011•广东理数）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）
A、6
B、9
C、12
D、18
6、解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，
其底面底边长为3，底边上的高为：=，
故底面积S=3×=3，
又因为棱柱的高为3，
故V=3×3=9，
故选B．
7．(2012广东理数)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A．12πB．45πC．57πD．81π
7、解：根据三视图可知，该几何体上部分为圆锥，下部分为圆柱，选C
8、（2004广东）如右下图，在长方体1111ABCD A BC D -中，已知14,3,2AB AD AA ===，,E F 分别是线段,AB BC 上的点，且1EB FB == (I)求二面角1C ED C --的正切值 (II)求直线1EC 与1FD 所成角的余弦值
8．解：（I ）以A 为原点，1,,AA AD AB 分别为x 轴，y 轴,z 轴
的正向建立空间直角坐标系，则有
D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2) 于是，)2,2,4(),2,3,1(),0,3,3(11-==-=FD EC 设向量),,(z y x =与平面C 1DE 垂直，则有
2
2tan 3
64
00411220101||||cos ,
)2,0,0(,),2,1,1(0
),2,1,1(2),2,2(210230
33101011011001=
∴=++⨯++⨯+⨯-⨯-=
⨯=--∴=--=>--=--=∴-==⇒⎭⎬⎫=++=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥θθθAA n C DE C AA n CDE AA DE C n n z z
z z z z y x z y x y x EC 的平面角为二面角所成的角与垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取其中
（II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则
14
2122)4(2312223)4(1|
|||cos 2
222221111=
++-⨯++⨯+⨯+-⨯=
⨯=
FD EC β
9、(2005广东)如图3所示，在四面体ABC P -中，已知6==BC PA ，
342,8,10====PB AC AB PC ．F 是线段PB 上一点，3417
15
=
CF ，点E 在线段AB 上，且PB EF ⊥．
（Ⅰ）证明：ＣＥF PB 平面⊥； （Ⅱ）求二面角F CE B --的大小．
9【答案】 (Ⅰ)证明：在ABC ∆中， ∵,6,10,8===BC AB AC
A 1
∴,222AB BC AC =+∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形， 同理可证，△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，
△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形． 在PCB Rt ∆中，∵,3417
15
,342,6,10=
===CF PB BC PC ∴,CF PB BC PC ⋅=⋅ ∴,CF PB ⊥又∵,,F CF EF PB EF =⊥ ∴.CEF PB 平面⊥ （II ）解法一：由（I ）知PB ⊥CE ，PA ⊥平面ABC
∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE ∴CE ⊥平面PAB ，而EF ⊂平面PAB ， ∴EF ⊥EC ，故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角，
∵EFB PAB ∆∆~∴3
5
610cot tan ===∠=∠AP AB PBA FEB ， ∴二面角B —CE —F 的大小为3
5
arctan
． 解法二：如图，以C 点的原点，CB 、CA 为x 、y 轴，
建立空间直角坐标系C －xyz ，则
)0,0,0(C ，)0,8,0(A ，)0,0,6(B ，)6,8,0(P ，
∵)6,0,0(=为平面ABC 的法向量，)6,8,6(--=
∴3434
334
2636,cos -=⋅-=
>=
<PB PA ， ∴二面角B —CE —F 的大小为34
343arccos
． 10、（2006广东）如图5所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8,BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角.
10、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,
∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；
(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）
C
所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=
10
8282
10064180|
|||,cos =
⨯++=
>=
<FE BD 设异面直线BD
与
EF
所成角为
α，则
10
82|,cos |cos =
><=α 直线BD 与EF 所成的角为10
82arccos
11．（2007广东理数）如图6所示，等腰三角形△ABC 的底边
AB=CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且E F ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使P E ⊥AE ，记BE=x ，V （x ）表示四棱锥P-ACEF 的体积。

（1）求V(x)的表达式；
（2）当x 为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V （x ）取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。

11（1）由折起的过程可知，P E ⊥平面ABC
，ABC S ∆=
22
54BEF
BDC x S S ∆∆=⋅=
21
(9)12
x -
（0x << （2
）21
'())4
V x x =
-，所以(0,6)x ∈时，'()0v x > ，V(x)
单调递增；6x <<'()0v x < ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)
取得最大值 （3）过F 作MF//AC 交AD 与M,则
,21212
BM BF BE BE
MB BE AB BC BD AB
=====，
PM=
MF BF PF ===
=
在△PFM 中， 84722cos 427PFM -∠==，∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为2
7
；
12、（2011•广东理数）如图，在锥体P ﹣ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=
，
PB=2，E ，F 分别是BC ，PC 的中点 （1）证明：AD ⊥平面DEF
（2）求二面角P ﹣AD ﹣B 的余弦值．
F
图6
P
E D C
B A
考点：与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法。

专题：常规题型；综合题。

分析：（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF 中找两条相交直线与AD 垂直，利用60°角菱形的特征可以发现AD ⊥DE ，通过取出AD 的中点构造一个平面可以证明AD ⊥EF ； （2）利用（1）中的结论找到二面角P ﹣AD ﹣B 的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定理． 12解答：解：（1）取AD 的中点G ，连接PG ，BG ，在△ABG 中，根据余弦定理可以算出BG=
，
发现AG 2
+BG 2
=AB 2
，可以得出AD ⊥BG ，又DE ∥BG ∴DE ⊥AD ，
又PA=PD ，可以得出AD ⊥PG ，而PG ∩BG=G ， ∴AD ⊥平面PBG ，而PB ⊂平面PBG ， ∴AD ⊥PB ，又PB ∥EF ，
∴AD ⊥EF ．又EF ∩DE=E ，∴AD ⊥平面DEF ．
（2）由（1）知，AD ⊥平面PBG ，所以∠PGB 为二面角P ﹣AD ﹣B 的平面角，在△PBG 中，PG=，
BG=
，PB=2，由余弦定理得
cos ∠PGB=，因此二面角P ﹣AD ﹣B 的余弦值为．
点评：本题考查立体几何中基本的线面关系，考查线面垂直的判定方法，考查二面角的求法，训练了学生基本的空间想象能力，考查学生的转化与化归思想，解三角形的基本知识和学生的运算能力，属于基本的立体几何题．
13．(2012广东理数)（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．
（1）证明：BD ⊥平面PAC ；
（2）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值．
13、解：（1）∵ PA ABCD ⊥平面
∴ PA BD ⊥ ∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC BD ⊥ ∴ BD PAC ⊥平面
（2）设AC 与BD 交点为O ，连结OE
∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC OE ⊥ 又∵ BO PAC ⊥平面 ∴ PC BO ⊥ ∴ PC BOE ⊥平面
∴ PC BE ⊥
∴ BEO ∠为二面角B PC A --的平面角 ∵ BD PAC ⊥平面 ∴ BD AC ⊥
∴四边形ABCD 是正方形
∴ BO =
在PAC ∆中，
1
3
OE PA OE OC AC =⇒=⇒=
∴ tan 3BO
BEO OE
∠=
= ∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为3
分析：本题的难度系数比往年所考察的立体几何知识都要简单，注重推导过程，弱化了对计算的考察，在第二问中推导出“四边形ABCD 是正方形”这一结论是关键。

广州一模、二模
1．(2010广州一模理数)如图4，点O 为正方体ABCD A B C D ''''-的中心，点E 为面B BCC ''的中心，点
F 为B C ''的中点，则空间四边形D OEF '在该正方体的面上的正投影可能是 （填出所有可
图2
侧视图
俯视图
正视图
能的序号）．
1．①②③
2. (2010广州二模理数)若,m n 是互不相同的空间直线,
α是平面, 则下列命题中正确的是
A. 若//,m n n α⊂,则//m α
B. 若//,//m n n α,则//m α
C. 若//,m n n α⊥,则m α⊥
D. 若,m n n α⊥⊥,则m α⊥ 2、答案C
3. (2011广州一模理数)一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的 体积为123
π+
，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 2 3、答案C
4．(2011广州二模理数)正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，1
2
BF =，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是 A ．
13 B C D ．
4、答案B
① ② ③ ④
图4
A
B
C
D
E F
O
A '
B '
C '
D '
5．(2012广州一模理数)如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ． 5
6．(2012广州二模理数)已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是
A ．m l ⊥，l ∥α，l ∥β
B ．m l ⊥，αβ =l ，m α⊂
C ．m ∥l ，m α⊥，l β⊥
D ．m ∥l ，l β⊥，m α⊂
6、答案D
7．(2010广州一模理数)如图6，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，3AE =，圆O 的直径为9．
（1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；
（2）求二面角D BC E --的平面角的正切值． 7．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明：∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面上，
∴AE ⊥CD ．
在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，
∵AD AE A = ，∴CD ⊥平面ADE ． ∵CD ⊂平面ABCD ，
∴平面ABCD ⊥平面ADE ．
（2）解法1：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，
∴CD DE ⊥．
∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，
图1
俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
在Rt △CDE 中，2222
81DE CE CD a =-=-， 在Rt △ADE 中，2
2
2
2
9DE AD AE a =-=-， 由2
2
819a a -=-
，解得，a =
∴6DE =
=．
过点E 作EF AD ⊥于点F ，作FG AB 交BC 于点G ，连结GE ， 由于AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ， ∴EF AB ⊥． ∵AD AB A = ，
∴EF ⊥平面ABCD ． ∵BC ⊂平面ABCD ， ∴BC EF ⊥．
∵BC FG ⊥，EF FG F = ，
∴BC ⊥平面EFG ． ∵EG ⊂平面EFG ， ∴BC EG ⊥．
∴FGE ∠是二面角D BC E --的平面角．
在Rt △ADE
中，AD =3AE =，6DE =， ∵AD EF AE DE ⋅=⋅，
∴AE DE EF AD ⋅=
==
． 在Rt △EFG
中，FG AB == ∴2
tan 5
EF EGF FG ∠=
=． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为25
． 解法2：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴CD DE ⊥．
∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，
在Rt △CDE 中，2
2
2
2
81DE CE CD a =-=-， 在Rt △ADE 中，2
2
2
2
9DE AD AE a =-=-， 由2
2
819a a -=-
，解得，a =
∴6DE =
=．
以D 为坐标原点，分别以ED 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
G
F
z
D C
P
C
A ()0,0,0D ，()6,0,0E -
，()
0,C -，()6,0,3A -，
()
6,B --．
设平面ABCD 的法向量为()1111,,x y z =n ，
则110,0.DA DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n
即111630,0.x z -+=⎧⎪⎨-=⎪
⎩ 取11x =，则()11,0,2=n 是平面ABCD 的一个法向量． 设平面BCE 的法向量为()2222,,x y z =n ，
则220,0.EB EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n
即222230,60.
z x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 取22y =
，则22,=
n 是平面ABCD 的一个法向量．
∵(
)
1212121,0,2cos ,===
⋅ n n n n n n
， ∴12sin ,=n n ． ∴122tan ,5
=
n n ． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为25
． 8.
(2010
广
州
二
模
理
数
)
如图4, 在直角梯形
ABCD
中,
90,30,1,ABC DAB CAB BC AD CD ︒︒∠=∠=∠===,
把△DAC 沿对角线AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ), 点P 在平面ABC 上的正投影 E 落在线段AB 上, 连接PB .
(1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小;
(2) 求二面角P AC B --的大小的余弦值.
D
B
C
A
F
E
P
B
C
A
图4 图5
8. （本小题满分12分）
(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 方法一:
(1) 解:在图4中,
∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ︒︒∠=∠=∠==
∴tan 30BC AB ︒=
==, 1
21sin302BC AC ︒
===, 60DAC ︒∠=. ∵AD CD =,
∴△DAC 为等边三角形. ∴2AD CD AC ===. …2分 在图5中,
∵点E 为点P 在平面ABC 上的正投影,
∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC , ∴PE ⊥BC .
∵90CBA ︒
∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.
∵,PE AB E PE =⊂ 平面PAB , AB ⊂平面PAB , ∴BC ⊥平面PAB .（数学驿站 ）
∴CPB ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角. …4分 在Rt △CBP 中, 1,2BC PC DC ===, ∴1
sin 2
BC CPB PC ∠=
=.
∵090CPB ︒︒
<∠<, ∴30CPB ︒
∠=.
∴直线PC 与平面PAB 所成的角为30︒
. …6分 (2) 解:取AC 的中点F , 连接PF ,EF .
∵ =PA PC , ∴ ⊥PF AC .
∵PE ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC , ∴PE AC ⊥.
∵,=⊂ PF PE P PF 平面PEF , PE ⊂平面PEF , ∴AC ⊥平面PEF . ∵⊂EF 平面PEF , ∴⊥EF AC .
∴PFE ∠为二面角P AC B --的平面角. …8分 在R t △EFA 中,1
1302
︒=
=∠=AF AC ,FAE , ∴=EF AF tan30︒
⋅=
==AE . 在R t △PFA 中
,=PF 在R t △PEF
中，1
cos 3
∠===EF PFE PF .
∴二面角P AC B --的大小的余弦值为1
3
. …12分 方法二: 解:在图4中,
∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ︒
︒
∠=∠=∠==
∴tan 30BC AB ︒=
==, 121sin302BC AC ︒
===, 60DAC ︒
∠=. ∵AD CD =,
∴△DAC 为等边三角形.
D
B
C
A
图5
C
A
∴2AD CD AC ===. …2分 在图5中,
∵点E 为点P 在平面ABC 上的射影,
∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC , ∴PE ⊥BC .
∵90CBA ︒
∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.
∵,PE AB E PE =⊂ 平面PAB , AB ⊂平面PAB ,
∴BC ⊥平面PAB . …4连接EC ,
在R t △PEA 和R t △PEC 中,2,PA PC PE PE ===, ∴R t △PEA ≅R t △PEC . ∴EA EC =.
∴30ECA EAC ︒
∠=∠=.
∴60CEB ︒
∠=.
在R t △CBE
中，tan 60BC EB ︒
===
∴AE AB EB =-=
. 在R t △PEA
中，PE =
=
. …6分 以点E 为原点,EB 所在直线为x 轴,与BC 平行的直线为y 轴,EP 所在直线为z 轴,建立空 间直角坐标系E xyz -,则()0,0,0E
,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,B ⎫⎪⎪⎝⎭
,C ⎫
⎪⎪⎝⎭
, P ⎛ ⎝⎭
. ∴()0,1,0BC =
,EP ⎛= ⎝
⎭
,)
AC =
,PC =⎝
⎭ .
M
D
C
B A P
(1)∵cos ,BC PC
BC PC BC PC ==
12,
∴,30BC PC ︒
= .
∴ 直线PC 与平面PAB 所成的角为30︒
. …9分 (2) 设平面PAC 的法向量为n (),,x y z =,
由0,0.
⎧=⎪
⎨=⎪⎩ n AC n PC
得0,03
3y x y z +=+-=⎪⎩. 令1x =,
得y =
2
=-
z . ∴
n 1,2⎛=-
⎝⎭
为平面PAC 的一个法向量.
∵EP ⎛= ⎝⎭ 为平面ABC 的一个法向量, ∴cos ,= n EP
n EP
n EP
13=-.
∵二面角P AC B --的平面角为锐角, ∴二面角P AC B --的平面角的余弦值为1
3
. …12分
9．(2011广州一模理数)如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，
PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，1AB =,BM PD ⊥于点M ． (1) 求证：AM ⊥PD ；
(2) 求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.
9.（本小题满分l4分）
(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法，以及空
间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ,∴PA AB ⊥.
∵AB AD ⊥，,AD PA A AD =⊂ 平面PAD ,PA ⊂平面∴AB ⊥平面PAD . ∵PD ⊂平面PAD
∴AB PD ⊥， ……3分
∵BM PD ⊥, AB BM B = ,AB ⊂平面ABM ,BM ⊂平面∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ,
∴AM ⊥PD . ……6分 （2）解法1：由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =， 则M 是PD 的中点, 在Rt △PAD 中,
得AM =Rt △CDM 中,
得MC =
∴12ACM S AM MC ∆=
⋅=
设点D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACD V V --=， ……8分 得111
332
ACM ACD S h S PA ∆∆=
.
解得3
h =， ……10分
设直线CD 与平面ACM 所成的角为θ
，则sin h CD θ==
， ……12分
∴cos θ=.
∴ 直线CD 与平面ACM
所成的角的余弦值为3
. ……14分
解法2： 如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，
则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,1,1M .
∴()()()1,2,0,0,1,1,1,0,0AC AM CD ===-
. ……8分
设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =
， 由,n AC n AM ⊥⊥ 可得：20,
0.
x y y z +=⎧⎨+=⎩
令1z =，得2,1x y ==-. ∴(2,1,1)n =-
. ……10分
设直线CD 与平面ACM 所成的角为α
，则sin 3CD n CD n
α⋅==
. ……12分
∴cos α=
∴直线CD 与平面ACM
……14分
10．(2011广州二模理数)一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA ABC ⊥平面，
AB AC ⊥，AB AC =，2AE =．
（1）求证：AC BD ⊥；
（2）求二面角A BD C --的平面角的大小．
10．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．） 方法1：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED AC ⊥．
又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以AC ⊥平面EBD ．
因为BD EBD ⊂平面，所以AC BD ⊥．………………………………………………………………4分 （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．
设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，
12210,2
122212.2
rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨
⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,
2.
r h =⎧⎨
=⎩
所以4BC =
，AB AC ==………………………………………………………………………7分 过点C 作CH BD ⊥于点H ，连接AH ，
由（1）知，AC BD ⊥，AC CH C = ，所以BD ⊥平面ACH ．
因为AH ⊂平面ACH ，所以BD AH ⊥．
所以AHC ∠为二面角A BD C --的平面角．…………………………………………………………9分
A
O
D
E
正（主）视图
E A
侧（左）视图
A 1
D 1
A D 1
A 1
E
B
C
O D 图3
A
D 1A 1
E
B
C
O
D
由（1）知，AC ⊥平面ABD ，AH ⊂平面ABD ， 所以AC AH ⊥，即△CAH 为直角三角形． 在Rt △BAD
中，AB =2AD =
，则BD =
由AB AD BD AH ⨯=⨯
，解得AH =．
因为tan AC
AHC AH
∠=
=13分 所以AHC ∠60=
．
所以二面角A BD C --的平面角大小为60
．………………………………………………………14分 方法2：（1）证明：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．
设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，
12210,2
122212.2
rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨
⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………2分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩
所以4BC =
，AB AC ==………………………………………………………………………3分 以点D 为原点，1DD 、DE 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则
()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()2,2,0AC =- ，()2,2,2DB =
．
………………………5分
因为()()2,2,02,2,20AC DB =-=
， 所以AC DB ⊥ ．
所以AC BD ⊥．…………………………………………………9分
（2）解：设(),,x y z =n 是平面BCD 的法向量，因为()0,4,0BC =-
，
所以0,0.BC DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩
n n 即40,2220.
y x y z -=⎧⎨++=⎩ 取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BCD 的一个法向量．……………………………………………11分 由（1）知，AC BD ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B = ，所以AC ⊥平面ABD ．
所以()2,2,0AC =-
是平面ABD 的一个法向量．……………………………………………………12分
A
D 1A 1
E
B
C
O
D
因为1
cos ,2AC AC AC ⋅==
=⋅
n n n ， 所以,60AC =
n ．
而,AC
n 等于二面角A BD C --的平面角，
所以二面角A BD C --的平面角大小为60
．………………………………………………………14分
方法3：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED AC ⊥．
又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以AC ⊥平面EBD ． 因为BD EBD ⊂平面， 所以AC BD ⊥．…………………………………………………………………………………………4分 （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．
设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，
12210,2
122212.2
rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨
⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩
所以4BC =
，AB AC ==………………………………………………………………………7分 以点D 为原点，1DD 、DE 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则
()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()0,4,0BC =- ，()2,2,2DB =
．
…………………………9分
设(),,x y z =n 是平面BCD 的法向量，
则0,0.BC DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩
n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩
取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BCD 的一个法向量．………11分 由（1）知，AC BD ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B = ， 所以AC ⊥平面ABD ．
所以()2,2,0AC =-
是平面ABD 的一个法向量．……………………………………………………12分
因为1
cos ,2AC AC AC
⋅==
=⋅
n n n ， A
D 1
A 1
E
B
C
O
D
所以,60AC =
n ．
而,AC
n 等于二面角A BD C --的平面角，
所以二面角A BD C --的平面角大小为60
．………………………………………………………14分
11．(2012广州一模理数)如图5所示，在三棱锥ABC P -
中，AB BC ==⊥PAC 平面ABC ，
AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =
，PD =．
（1）证明△PBC 为直角三角形；
（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．
11．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，
AC PD ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分
记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥． 因为AB BC ==4=AC ，所以BE =
=
3分 因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形． 因为PD =，3CD =，
所以PC ==
=4分
连接BD ，在Rt △BDE 中，因为BE =，1DE =， 所以BD =
=
=5分
因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ． 在Rt △PBD 中，因为PD =，BD ， 所以PB =
=
=．…………………………………………………6分
在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =
所以2
2
2
BC PB PC +=．
所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分
证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分
记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =，所以AC BE ⊥．
图5 P
A
C D
B
P
A
C
D
E
因为AB BC ==4=AC
，所以
BE =
=
3分
连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=
o
，BE =，1DE =
，
所以
BD ==
=4分
在△BCD 中，因为3CD
=，
BC =，BD ，
所以222
BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分
因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分 因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．
因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．
所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，
则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分
由（1）知，△
ABC 的面积1
2
ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分
因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=
⨯
⨯13=⨯=10分 由（1）知PBC
∆为直角三角形，BC
，PB =
所以△PBC
的面积11
322
PBC S BC PB ∆=
⨯⨯==．……………………………………11分 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，
即1
333AH ⨯⨯=
所以3
AH =．……………………………………………………………12分 在Rt
△PAD 中，因为PD =，1AD =
，
所以
2AP ==
=．………………………………………………………13分
因为3sin 2AH APH AP ∠===（资料来源：中国高考吧 ） 所以直线AP 与平面
PBC 14分 解法2：过点D 作DM AP ∥，设DM PC M = ，
则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分
由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P = ，
所以BC ⊥平面PBD ．
P A
C
D
M N
因为BC ⊂平面PBC ，
所以平面PBC ⊥平面PBD ．
过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ， 则DN ⊥平面PBC ．
所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分 在Rt △PAD
中，因为PD =，1AD =，
所以
2AP =
=
=．………………………………………………………11分
因为DM AP ∥，所以
DM CD AP CA =，即324DM =，所以3
2
DM =．………………………………12分
由（1）知
BD =，PB
=PD ，
所以2PD BD DN PB ⨯=
==
．……………………………………………………………13分
因为2sin 32
DN DMN DE ∠===
所以直线AP 与平面
PBC 所成角的正弦值为
3
．…………………………………………………14分 解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分 在△
PCG 中，PB BG BC === 所以90CPG ∠=o
，即CP PG ⊥．
在△PAC 中，因为PC =2PA =，4AC =
， 所以2
2
2
PA PC AC +=， 所以CP PA ⊥． 因为PA PG P =I ，
所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分 过点A 作AK PG ⊥于点K ， 因为AK ⊂平面PAG ， 所以CP AK ⊥． 因为PG CP P =I ，
所以AK ⊥平面PCG ．
所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC PB ⊥， 所以PG PC ==．
在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，
所以2AG BE ==12分
B
P
A
C
D
E
G
K
在△PAG 中，2PA =
，AG =
PG =
所以222
PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分
因为sin AG APK PG ∠=
==
． 所以直线AP 与平面PBC
14分 解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系
E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分
则()0,2,0A -
，)B
，()0,2,0C
，(0,P -．
于是(
AP =
，PB =
，(
0,3,PC =
设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n
，
则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即0,30.
y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =
所以平面PBC 的一个法向量为=
n ．……………………………………………………12分
设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，
则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅
n ,n n ． 所以直线AP 与平面PBC 14分
若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：
（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系
E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分
则)B
，()0,2,0C ，(0,P -．
A
A
于是(BP =-
，()
2,0BC =
．
因为(
()
0BP BC =-=
，
所以BP BC ⊥ ．
所以BP BC ⊥．
所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，()0,2,0A -．
于是(AP =
，PB =
，(0,3,PC =
．
设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，
则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n
即0,30.
y y +==⎪⎩ 取1y =
，则z =
x =
所以平面PBC
的一个法向量为=
n ．……………………………………………………12分
设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，
则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅
n ,n n ． 所以直线AP 与平面PBC
所成角的正弦值为3
．…………………………………………………14分
12．(2012广州二模理数)某建筑物的上半部分是多面体MN —ABCD ，下半部分是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1(如图4)．该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图5，其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成． (1)求直线AM 与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值； (2)求二面角A —MN —C 的余弦值；
(3)求该建筑物的体积．
12．(本小题满分14分)
(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识，考查 数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解法l ：
(1)作MO⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接AO ，
则∠MAO 是直线AM 与平面ABCD 所成的角． ……………l 分 由于平面ABCD∥平面A 1B 1C 1D 1，
故∠MAO 是直线AM 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角． ……………2分 作MP⊥AB，垂足为P ，连接PO ，
⊂AB 平面ABCD ，
∴MO⊥AB．
⊂=MO M MP MO , 平面⊂MP MOP ,平面MOP ，
∴AB ⊥平面MOP ． ……………3分 由题意知.4,2,11=====AA AD AP PO MO 在POM Rt ∆中，222=+=MO PO PM 在APM Rt ∆中，322=+=
PM AP AM
在AOM Rt ∆中，33
3
1sin ===
∠AM MO MAO ∴直线AM 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为
3
3
……………5分
(2)延长PO 交CD 于点Q ，连接MQ ， 由(1)知AB⊥平面MOP ∴MQ ⊂平面MOP ， ∴AB⊥MQ． ∵MN∥AB，
∴MN⊥MP,MN⊥MQ． …………6分
∴∠PMQ 是二面角A 一MN —C 的平面角． ……………7分 在△PMQ 中，2.2==
=PQ MP MQ
,4222PQ MQ MP ==+
.90 =∠∴PMQ ……………8分
∴二面角A 一MN 一C 的余弦值为0． ……………9分 (3)作NP 1∥MP 交AB 于点P 1，作NQ 1 ∥MQ 交CD 于点Q 1，
由题意知多面体MN —ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥M —APQD 和1PBCQ N - 和一个直三棱柱11Q NP MPQ -.
四棱锥APQD M -的体积为3
2
1213131=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=
MO AD AP V …………10分 直三棱柱1
1Q NP MPQ -的体积为22222
1212=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=MN MQ MP V …11分 ∴多面体ABCD MN -的体积为3
10
2322221=+⨯=+=V V V ……………12分
长方体1111D C B A ABCD -的体积为3242413=⨯⨯=⋅⋅=AA BC AB V ………13分 ∴建筑物的体积为3
106
3=+V V ……………14分 解法2：
(1)以点D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，D D 1所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系xyz D -,(如图)，作MO⊥平面ABCD ，垂足为O ， 作OP⊥AB，垂足为P ，依题意知,1===AP OP MO ,4.21==AA AD 则,)1,1,1(),0,0,2(),0,0,0(M A D )4,0,2(),1,3,1(1-A N ……………1分
⋅-=∴)1,1,1(AM ……………2分 ⊥1AA 平面1111D C B A
∴平面1111D C B A 的一个法向量为)4,0,0(1-=AA ………3分 设直线AM 与平面1111D C B A 所成角为θ，
则3
3
434sin =
⨯=
=
θ ……………4分 ∴直线AM 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为3
3
……5分 (2)由(1)知),1,1,1(),0,2,0(==DM MN 设平面ABNM 的法向量为),,,(1z y x n = 由,0,011=⋅=⋅AM n MN n 得⎩
⎨⎧==++-.02,
0y z y x
令1=x ，则0,1==y z
∴平面ABNM 的一个法向量为 )1,0,1(1=n ……………6分 设平面CDMN 的法向量为),,(2z y x n =
由0,022=⋅=⋅MN n DM n ，得⎩
⎨⎧==++.02,
0y z y x
令1=x ，则0,1=-=y z
∴平面CDMN 的一个法向量为)1,0,1(2-=n ……………7分
,0)1(101121=-⨯++⨯=⋅n n
∴平面ABNM⊥平面CDMN ． ……………8分
∴二而角A 一MN 一C 的余弦值为0． ……………9分 (3)如图将多面体ABCD MN -补成一个直三棱柱,1BCQ ADQ - 依题意知,211=
===CQ BQ DQ AQ ,11==NQ MQ ,4,21==AA AD
多面体ABCD MN -的体积等于直三棱柱1BCQ ADQ -的体积减去两个等体积的三 棱锥ADQ M -和1BCQ N -的体积
2224AD DQ AQ ==+ .90 =∠∴AQD
∴直三棱柱1BCQ ADQ -的体积为,44222
1
211=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=
AB DQ AQ V …………………………10分
三棱锥ADQ M -的体积为⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=
3
1122213121312MQ DQ AQ V …………………………11分
∴多面体ABCD MN -的体积为3
10
324221=-
=-=V V V …………12分 长方体1111D C B A ABCD -的体积为.3242413=⨯⨯=⋅⋅=AA CD AB V ……13分 ∴建筑物的体积为3
106
3=
+V V ………………14分。