中考数学复习指导：运用转化思想 巧解极值问题

运用转化思想巧解极值问题
近几年各地中考数学中的极值问题始终是热点之一，而轴对称思想在解决极值问题中起到了举足轻重的作用．解决这类问题的关键是通过转化，使问题的解决规范化、模式化．
一、两点一线问题
例1 如图1(1)，要在燃气管道∠上修建一泵站，分别向A，B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
简析如图1(2)，作点B关于直线l的对称点B'，利用轴对称，把路径中的BC转化成了B'C．而点A和点B'在管道的两侧，从而利用“两点之间，线段最短”的性质使问题得到解决，轴对称在此起到转化作用．
二、一点两线问题
例2 某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图2(1)中的AO，BO)．AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
简析设小明分别到OA与OB上的D、E处取桔子与糖果，则该问题中所说路线由三条线段构成，即CD、DE与EC．要确定最短路线，关键是找到适合的点D与E．如图2(2)先分别作出点C关于∠O两边的对称点A'与C'，连结A'C'分别交OA、OB于点D、E．利用轴对称，将线段CD转化为A'D，线段EC转化为EC'，则小明所走路线等于A'D、DE 与EC'的和；再由“两点之间，线段最短”可知线段A'C'的长是A'D、DE、EC'三段之和的最小值，从而确定小明行走路线为CD－DE－EC．
三、两点两线问题
例3 如图3(1)，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷．请你帮他确定这一天的最短路线．
解析首先将原图抽象为如图3(2)所示几何问题，根据题意，已知直线MN、直线l，点A、B，要分别在直线MN、直线l上确定点C和点D，使得线段AC、CD及线段BD 的和最小．分别作出点A与点B关于直线MN、直线l的对称点A'、B'，连结A'B'，与两直线分别交于点C与点D，利用轴对称，把图中线段AC转化为A'C，线段BD转化为B'D．如此，牧马人一天所走路线根据轴对称转化为线段A'C，CD，B'D三段之和，由“两点之间，线段最短”可知路线AC－CD－DB为最短路线．
轴对称的应用问题都是以上述三种基本问题为原型变化而成．
四、与一般几何问题结合
例4 如图4(1)，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B 分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．
解析△CDE的周长由边CD、DE、EC相加而成，其中线段CD长为定值．要使周长最小，即求DE与EC的和最小，可将问题转化为在线段OA上确定一点E，使得点E 到定点C、D的距离之和最小．如图4(2)，利用轴对称知识，可以作点D关于x轴的对称点D'，连结CD'与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的．这样，只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了．具体计算可根据Rt△D'OE∽Rt△D'BC进行，过程略．点评该问题可化归为轴对称中的两点一线问题，即“一直线两定点一动点”情况．解决此类问题的关键是作出其中一定点关于定直线的对称点，连结该对称点与另一定点的
直线交定直线于一点．
五、与一次函数问题结合
例5 (例4变题)如图5，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝6，OB＝8，D、E分别为边BC、AC的中点，若G、F为OB、OA上的两个动点，当四边形GFED周长最小时，求点G、F的坐标．
解析分析题意，不难发现，四边形GFED的周长由四条边组成．因为D、E是定点，所以边DE的长度是定值，因而四边形的周长最小，即求点G、F，使得DG、GF与FE三条线段之和最小，利用轴对称，分别作出点D与点E关于OB与OA的对称点D'与E'，再连结D'E'分别交OB与OA于点G、F．此时，DG＝D'C，EF＝E'F，即DG＋GF＋FE＝D'G
＋GF ＋FE'＝D'E'．根据“两点之间，线段最短”可知点D 、F 为所求点；再由点D'与E'的坐标，利用一次函数可求得点G 、F 的坐标．
点评 该问题可化归为轴对称中两点两线问题，即“两直线两定点两动点”情况，解决此类问题的关键是分别作出两定点关于两定直线的对称点，连结两对称点的直线与两定直线分别交于两点．
六、与二次函数问题结合
例6 如图6(1)，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)．连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．
(1)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)
解析 问题(1)求得抛物线解析式为y 2=
+．此处解题过程略；问题(2)答
案是存在，由y 2=+配方后得：y ＝)21x +-轴为x ＝－1．如图6(2)，要使△BOC 的周长最小，因为OB 长为定值，必须BC ＋CO 最小．又点O 与点A 关于直线x ＝－1对称，有CO ＝CA ，△BOC 的周长＝OB ＋BC ＋CO ＝OB ＋BC ＋CA ，所以当A 、C 、B 三点共线．即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，BC ＋CA 最小，此时△BOC 的周长最小；再求出直线AB 解析式，从而使问题得以求解．
点评 抛物线的轴对称性是二次函数的一个重要特征，若能巧妙运用，可使求解变得简洁，在该类问题中，抛物线的对称轴就是前文各题中所提“定直线”，而其余定点或动
点往往在抛物线上，解决问题时只需将相关点利用对称轴转化到另一侧，再结合一次函数解决．。