倾斜角与斜率 (1)

第三章 3.1 3.1.1

【基础练习】

1．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 为( ) A ．－

3

2

B ．

3

2

C ．－1

D ．1

【-=答案=-】C 【解析】tan 45°＝k AB ＝

y ＋34－2，即y ＋3

4－2

＝1，所以y ＝－1.

2．如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )

A ．k 1＜k 2＜k 3

B ．k 1＜k 3＜k 2

C ．k 2＜k 1＜k 3

D ．k 3＜k 2＜k 1

【-=答案=-】A

【解析】根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确．

3．经过两点A (2,1)，B (1，m )的直线的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．m <1 B ．m >－1 C ．－11或m <－1

【-=答案=-】A

【解析】k AB ＝m －1

1－2＝1－m ，因为直线AB 的倾斜角为锐角，所以k AB >0，即1－m >0，解

得m <1.

4．(2019年辽宁大连双基训练)如图，已知直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为( )

A ．20°

B ．30°

C ．40°

D ．50°

【-=答案=-】B

【解析】因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)

＝30°.

5．若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为______________________． 【-=答案=-】45°或135°

【解析】由|k |＝|tan α|＝1，知k ＝tan α＝1或k ＝tan α＝－1.又0°≤α＜180°，∴α＝45°或135°.

6．已知a ＞0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________. 【-=答案=-】1＋2

【解析】若平面内三点共线，则k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 2

3－2，整理得a 2－2a －1＝0，解得

a ＝1＋2或a ＝1－2(舍去)．

7．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．

【解析】由题意可知k AB ＝

5－1

3－1

＝2， k AC ＝7－1a －1＝6

a －1，k AD ＝

b －1－1－1＝b －1－2，

所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3.

所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.

8．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、钝角，还是直角． (1)A (1,3)，B (4,6)； (2)C (－1,6)，D (－1,3)． 【解析】(1)∵A (1,3)，B (4,6)，

∴k AB ＝6－34－1＝1，则其倾斜角是45°，为锐角．

(2)∵C (－1,6)，D (－1,3)，

∴直线CD 的斜率不存在，其倾斜角为90°，是直角．

【能力提升】

9．已知直线l 1的斜率为1，l 2的斜率为a ，其中a 为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，a 的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．⎝⎛⎭

⎫33，3 C ．⎝⎛

⎭

⎫

33，1∪(1，3)

D ．(1，3)

【-=答案=-】C

【解析】∵l 1的倾斜角为45°，∴l 2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)．∴a 的取值范围为⎝⎛

⎭

⎫

33，1∪(1，3)．故选C ．

10．已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，1

2且A ，B ，C 共线，则C 点的坐标可能是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1) C ．(9,1) D ．(－9，－1)

【-=答案=-】C

【解析】设点C 的坐标为(x ，y )，因为A ，B ，C 共线，所以k AB ＝k AC .k AB ＝1

2－(－3)8－1＝1

2，

k AC ＝y －(－3)x －1＝y ＋3x －1，所以y ＋3x －1＝1

2，化简得x －2y ＝7，分别将A ，B ，C ，D 各个选项代入得

C 符合题意．

11．下列说法：

①若点A (1，－3)，B (1,3)，则直线AB 的倾斜角为90°；

②若直线过点(1,2)且它的倾斜角为45°，则这条直线必过(3,4)点； ③若直线的斜率为3

4，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．

其中正确的序号为________． 【-=答案=-】①②

【解析】①直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，正确；②直线过定点(1,2)，

斜率为1，又4－23－1＝1，故直线必过点(3,4)，正确；③斜率为3

4的直线有无数条，所以直线不一

定过(1,1)与(5，

4)两点，故错误．

12．已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)， (1)求直线AB 和AC 的斜率；

(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围． 【解析】(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3

－4－3＝

1

7.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53

. (2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，

所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤

17，53.