高中数学 变量间的相关关系教案 新人教版必修3

2.3 变量间的相关关系(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，认识变量间的相关关系．2．过程与方法明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系．3．情感、态度与价值观通过对事物之间相关关系的了解，让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想．●重点难点重点：(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；(2)利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系．难点：(1)变量之间相关关系的理解；(2)作散点图和理解两个变量的正相关和负相关．从现实生活入手，抓住学生们的注意力，引导学生分析得出概念，让学生真正参与到概念的形成过程中来．通过对典型事例的分析，向学生们介绍什么是散点图，并总结出如何从散点图上判断变量之间关系的规律．通过实验让学生们感受散点图的主要形成过程，并由此引出线性相关关系强化本节重点．通过学生讨论、交流，用TI图形计算器展示、对比自己作出的散点图，得出线性相关关系、正负相关关系的概念．教师及时将求线性方程的公式展示出来，通过例题的讲解和训练，进一步加深对散点图和回归方程的理解，突破难点．(教师用书独具)●教学建议结合本节课的教学内容和学生的认知水平，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体．通过多媒体辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性．本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“散点图”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，通过例题和变式训练进一步巩固本节知识，将自己所学知识应用于对现实生活的深入探讨．让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程创设问题情境引入问题：人体内脂肪的含量与年龄之间有何关系？⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握线性回归方程的求法⇒研究现实生活中的实际问题，应用本节知识完成例3及变式能够对总体进行估计⇒归纳整理，进行课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所掌握的知识，并进行反馈矫正(见学生用书第41页)下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：【提示】散点图如下：2．施化肥量与水稻产量有关系吗？【提示】有关系．1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．2．散点图：将样本中几个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．3．正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，称它为负相关．【问题导思】一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：【提示】2．从散点图中判断x 和y 之间是否具有相关关系？ 【提示】 有．3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？ 【提示】 可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． 3．最小二乘法求回归直线时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．4．求回归方程若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则所求的回归方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中a ∧，b ∧为待定的参数，由最小二乘法得：⎩⎪⎨⎪⎧b ∧＝∑i ＝1nx i－x y i－y ∑i ＝1nx i－x 2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ∧＝y －b ∧x .b ∧是回归直线斜率，a ∧是回归直线在y 轴上的截距．(见学生用书第41页)以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？【思路探究】涉及两个变量房屋面积与销售价格，以房屋面积为自变量，考察销售价格的变化趋势从而做出判断．【自主解答】(1)数据对应的散点图如图所示：(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关．两个随机变量x和y相关关系的确定方法：1．散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断．2．表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断．3．经验法：借助积累的经验进行分析判断．5个学生的数学和物理成绩如下表：【解】以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如图所示，由散点图可知，两者之间具有线性相关关系，且是正相关．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程．【思路探究】 画散点图→确定相关关系→ 求回归直线系数→写回归直线方程 【自主解答】 (1)画散点图如下：由上图可知y 与x 具有线性相关关系． (2)列表、计算：x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110＝x 2i ＝38 500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55 950b ∧＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668， a ∧＝y －b ∧x ＝91.7－0.668×55＝54.96.即所求的回归直线方程为：y ∧＝0.668x ＋54.96.用公式求回归方程的一般步骤： 1．列表x i ，y i ，x i y i ；2．计算x ，y ，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i ； 3．代入公式计算b ∧、a ∧的值； 4．写出回归方程．从某一行业随机抽取12家企业，它们的生产产量与生产费用的数据如下表：(2)如果两个变量之间是线性相关关系，请用最小二乘法求出其回归直线方程． 【解】 (1)两个变量x 和y 之间的关系的散点图如图所示．(2)根据散点图可知，两个变量x 和y 之间的关系是线性相关关系．下面用最小二乘法求回归直线方程．x ≈87.08，y ≈160.1，n x y ＝167 298.096，n x 2≈90 995.116 8设所求的回归直线方程是y ∧＝b ∧x ＋a ∧，所以b ∧＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝173 094－167 298.096104 835－90 995.116 8＝5 795.90413 839.883 2≈0.42，a ∧＝y －b ∧x ＝160.1－0.42×87.08≈123.53.所求的回归直线方程是y ∧＝0.42x ＋123.53.(12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【思路探究】 (1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b ∧，a ∧的值；(3)实际上就是求当x ＝100时，对应的y 的值．【自主解答】 (1)散点图，如图所示．(2)由题意，得∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，∴b ∧＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7， a ∧＝y －b ∧x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，故线性回归方程为y ∧＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．1．回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性．2．只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能用回归直线方程对总体进行估计和预测．否则，如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归直线方程，用其估计和预测结果也是不可信的．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水含碳量x 与冶炼时间y (从炉料熔化完毕到出钢的时间)的几种对应数据如下表所示：(2)求回归直线方程；(3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时应冶炼多少分钟．【解】 (1)以x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作散点图如图所示．从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关． (2)列表如下：x ＝159.8，y ＝172，∑i ＝110x 2i ＝265 448，∑i ＝110x i y i ＝287 640设所求的回归直线方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧.b ∧＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2＝287 640－10×159.8×172265 448－10×159.82≈1.27，a ∧＝y －b ∧x ≈172－1.27×159.8≈－30.95，即所求的回归直线方程为y ∧＝1.27x －30.95.(3)当x ＝160时，y ∧＝1.27×160－30.95≈172(分)，即大约冶炼172分钟.(见学生用书第43页)数形结合在线性相关性中的应用(12分)下表数据是退水温度x(℃)对黄硐延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．(2)指出x，y是否线性相关；(3)若线性相关，求y关于x的线性回归方程；(4)估计退水温度是1 000 ℃时，黄硐延长性的情况．【思路点拨】根据所给数据画出散点图，然后可借助函数的思想分析．【规范解答】(1)散点图如图所示．4分(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关.(3)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．b ∧＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x 2＝198 400－6×550×571 990 000－6×5502 ≈0.058 857，a ∧＝y －b ∧x ＝57－0.058 857×550＝24.628 65.9分因此所求的线性回归方程为y ∧＝0.058 857x ＋24.628 65.(4)将x ＝1 000代入回归方程得y ∧＝0.058 857×1 000＋24.628 65＝83.486，即退水温度是1 000 ℃时，黄硐延长性大约是83.486%.1．在研究两个变量是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量之间具有相关关系；(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系．2．利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系，体现了数形结合思想的作用，而用回归直线方程进行估计又体现了函数与方程思想的应用．1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．2．求回归直线方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ∧，b ∧的值时，要先算出b ∧，然后才能算出a ∧.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归直线方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧，则x ＝x 0处的估计值为y ∧0＝b ∧x 0＋a ∧.由于回归直线将部分观测值所反映的规律进行了延伸，所以它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用．(见学生用书第44页)1．下列变量之间的关系是相关关系的是( ) A ．正方体的表面积与体积 B ．光照时间与果树产量C ．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D ．中国足球队的比赛成绩与中国乒乓球队的比赛成绩 【解析】 A 、C 是函数关系，D 无相关关系． 【答案】 B2．设一个回归方程y ∧＝3＋1.2x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.2个单位 B ．y 平均增加3个单位 C ．y 平均减少1.2个单位 D ．y 平均减少3个单位【解析】 由b ＝1.2>0，故选A. 【答案】 A3．若施化肥量x (千克/亩)与水稻产量y (千克/亩)的回归方程为y ∧＝5x ＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．【解析】 当x ＝80时，y ∧＝400＋250＝650. 【答案】 6504．某公司利润y (单位：千万元)与销售总额x (单位：千万元)之间有如下表对应数据：(2)判断y 与x 是否具有线性相关关系． 【解】 (1)散点图如下：(2)由图可知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系，且为正相关.(见学生用书第105页)一、选择题1．判断下列图形中具有相关关系的两个变量是( )【解析】A、B为函数关系，D无相关关系．【答案】 C2．(2013·广州高一检测)已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过点( )A．(1,2) B．(5,2)C．(2,5) D．(2.5,5)【解析】线性回归方程一定过样本中心(x，y)．由x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝1＋3＋5＋7＋95＝5.故必过点(2,5)． 【答案】 C3．(2013·长沙高一检测)某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)呈负相关，其回归方程可能是( )A.y ∧＝－10x ＋200 B.y ∧＝10x ＋200C.y ∧＝－10x －200 D.y ∧＝10x －200【解析】 由于y 与x 呈负相关，∴x 的系数为负， 又y 不能为负值，∴常数必须是正值． 【答案】 A4．两个相关变量满足如下关系：A.y ∧＝0.56x ＋997.4 B.y ∧＝0.63x －231.2C.y ∧＝50.2x ＋501.4 D.y ∧＝60.4x ＋400.7 【解析】 x ＝15(10＋15＋20＋25＋30)＝20，y ＝15(1 003＋1 005＋1 010＋1 011＋1 014)＝1 008.6，代入所给选项A 符合． 【答案】 A5．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ∧＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg【解析】 由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本中心点(x ，y )，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确．当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确．【答案】 D 二、填空题6．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ∧＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】 由于y ∧＝0.254x ＋0.321知，当x 增加1万元时，年饮食支出y 增加0.254万元．【答案】 0.2547．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程中的b ＝－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．【解析】 样本中心点是(10,35.5)， 则a ∧＝y －－b ∧x －＝35.5－(－2)×10＝55.5， 故线性回归方程为y ∧＝－2x ＋55.5，将x ＝6代入得y ∧＝－2×6＋55.5＝43.5≈44. 【答案】 448．某公司的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据(由资料显示y 与x 呈线性相关关系)：根据上表提供的数据得到回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．【解析】 x ＝15(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y ＝15(30＋40＋60＋50＋70)＝50，由b ∧＝6.5知，a ∧＝y －b ∧·x ＝50－6.5×5＝17.5，∴y ∧＝17.5＋6.5x ，当y ∧＝115时，解得x ＝15. 【答案】 15 三、解答题9．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：(1)画出散点图；(2)求成本y 与产量x 之间的线性回归方程．(结果保留两位小数) 【解】 (1)散点图如图所示．(2)设y 与产量x 的线性回归方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧，x ＝2＋3＋5＋64＝4，y ＝7＋8＋9＋124＝9， b ∧＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4－4x yx 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x2＝1110＝1.10， a ∧＝y －b ∧x ＝9－1.10×4＝4.60.∴回归方程为：y ∧＝1.10x ＋4.60.10．高三(1)班的10名学生每周用于数学学习的时间x (h)与数学成绩y (分)之间有如下对应数据：【解】 列出下表，并用科学计算器进行有关计算．b ∧＝∑i ＝110x i y i －10x·y∑i ＝110x 2i －10x2＝545.4154.4≈3.53， a ∧＝y －b ∧x ＝74.9－3.53×17.4≈13.48，∴所求的回归方程是y ∧＝3.53x ＋13.48.11．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量．【解】 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：对预处理的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b ∧＝－－＋－－＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5， a ∧＝y －b ∧x ＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ∧－257＝b ∧(x －2 006)＋a ∧＝6.5(x －2 006)＋3.2. 即y ∧＝6.5×(x －2 006)＋260.2.(2)利用所求得的回归方程，可预测2014年的粮食需求量为 6．5×(2 014－2 006)＋260.2＝6.5×8＋260.2＝312.2(万吨)．(教师用书独具)一般地，一个人的身高越高，他的手就越大．为了调查这一问题，对10名高三男生的身高与右手一拃长测量得如下数据(单位：cm)：(2)如果两个变量近似成线性关系，求线性回归方程； (3)如果一个学生身高185 cm ，估计他的右手一拃长．【思路探究】 作散点图→判断→求a ∧，b ∧→得回归方程→估计 【自主解答】 (1)以横轴表示身高，以纵轴表示一拃长，作散点图．由散点图可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关．(2)设线性回归方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧.用计算器计算可得b ∧≈0.303，a ∧≈－31.246，∴回归方程为y ∧＝0.303x －31.246.(3)当x ＝185时，y ∧＝24.809.即一个学生身高185 cm ，估计他的右手一拃长24.809 cm.在10年间，某城市居民的年收入x (万元)与某种商品的销售额y (万元)之间的关系有如下数据：(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与x 之间的回归直线方程． 【解】 (1)散点图如图所示：(2)列表如下：x ＝37.97，y ＝39.1，∑i ＝110x 2i ＝14 663.67，∑i ＝110x i y i ＝15 202.9b ∧＝∑i ＝110x i y i －10x －y－∑i ＝110x 2i －10 x 2＝15 202.9－10×37.97×39.114 663.67－10×37.972＝356.63246.461≈1.447， a ∧＝y －－b ∧x －＝39.1－1.447×37.97≈－15.843，因此所求的回归直线方程是y ∧＝b ∧x ＋a ∧＝1.447x －15.843.(见学生用书第45页)三种方法的共同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的机会相同，体现了这些抽样方法的客观性和公平性．其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法．在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法．当总体中的个体数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个体数较多时，常采用系统抽样；当已知总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样．实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法．某装订厂平均每小时装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书检验其质量情况，请设计一个抽样方案．【思路点拨】因为总体容量比较大，样本容量也比较大，所以可用系统抽样的方法抽样．【规范解答】第一步：把这些图书分成40个小组，由于362÷40的商是9，余数是2，所以每个组有9册书，还剩余2册书，这时抽样间距就是9；第二步：先用简单随机抽样的方法从这些书中抽取2册书，不进行检查； 第三步：将剩下的书进行编号，编号分别为0,1， (359)第四步：从第一组(编号为0,1，…，8)书中用简单随机抽样的方法，抽取1册书，设其编号为k ；第五步：抽取编号分别为下面数字的书：k ，k ＋9，k ＋18，k ＋27，…，k ＋39×9，这样就抽取了有40个个体的样本．某工厂平均每天生产某种机器零件大约10 000件，要求产品检验员每天抽取50件零件检查其质量状况，假设一天的生产时间中生产机器零件的件数是均等的，请你设计一个抽样方案．【解】 第一步：按生产时间将一天分为50个时间段，也就是说，每个时间段大约生产10 00050＝200件产品，这时抽样间距就是200；第二步：将一天中生产的零件进行顺序编号，比如第一个生产出来的零件就是0号，第二个生产出来的零件就是1号等等；第三步：从第一个时间段中按照简单随机抽样的方法抽取一个产品，比如是第k 号零件； 第四步：顺次地抽取编号分别为下列数字的零件：k ＋200，k ＋400，k ＋600，…，k ＋9 800，这样就抽取了一个容量为50的样本．的方法，明确图表中有关数据的意义是正确分析问题的关键．从图形与图表中获取有关信息加以整理，是近年来高考命题的热点问题．(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤．(2)茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到，二是便于记录和表示，但数据位数较多时不方便．某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：(1)(2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm范围内有多少人？【思路点拨】利用频率分布表的特征求出m，n，M，N，根据画频率分布直方图的步骤画出频率分布直方图，最后利用图形估计总体的分布．【规范解答】(1)由题意M＝80.16＝50，落在区间165.5～169.5内数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，频率为n＝0.08，总频率N＝1.00.(2)(3)该所学校高一女生身高在149.5～165.5 cm之间的比例为0.12＋0.28＋0.20＋0.16＝0.76，则该校高一女生在此范围内的人数为450×0.76＝342(人)．下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位：cm)(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高低于134 cm 的人数占总人数的百分比． 【解】 (1)列出样本频率分布表：(2)(3)因为样本中身高低于134 cm 的人数的频率为 5＋8＋10120＝23120≈0.19. 所以估计身高低于134 cm 的人数约占总人数的19%.总体的平均数与标准差往往通过样本的平均数、标准差来估计．一般地，样本容量越大，对总体的估计越精确．平均数描述集中趋势，方差、标准差描述波动大小，也可以说方差、标准差反映各个数据与其平均数的离散程度．一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大．方差的单位是原数据单位的平方，标准差的单位与原单位相同．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99 乙：110,115,90,85,75,115,110 (1)这种抽样方法是哪一种？ (2)将这两组数据用茎叶图表示；(3)将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定． 【思路点拨】 (1)由简单随机抽样的特点判断． (2)“茎”上写十位或百位，“叶”上写个位． (3)计算方差的大小比较稳定性．【规范解答】 (1)根据三种抽样的特点可知为系统抽样． (2)茎叶图为：(3)x 甲＝17(102＋101＋99＋103＋98＋99＋98)＝100，x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，所以x 甲＝x 乙＝100.s 2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2]≈3.428 6，s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]≈228.571 4.由于x甲＝x乙，s2甲<s2乙，所以甲车间产品较稳定．如图2－1是甲、乙两个数字网站在24天中每天的点击量统计的茎叶图，据图回答下列各题：(1)请说明哪个网站更受欢迎；(2)若每次点击给网站带来0.2元的收益，则甲、乙网站每天的平均收益各约为多少元？【解】(1)由茎叶图可知，甲网站点击量集中在60次以下，而乙网站点击量集中在60次以上，故乙网站更受欢迎．(2)x甲＝124×(32＋39×4＋44×4＋49×2＋51＋54×4＋55＋63＋67×2＋72＋73＋83×2)＝124×1 292≈54；x乙＝124×(37×3＋51＋53×2＋65×6＋67＋70＋73×6＋79＋80＋86×2)＝124×1564≈65，∴甲网站每天的平均收益约为0.2×54＝10.8(元)，乙网站每天的平均收益约为0.2×65＝13(元).之间的关系——相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．借助散点图可以直观地看出两个变量之间是否具有相关关系，用最小二乘法建立线性回归方程，定量地描述两个变量的关系．下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？【思路点拨】两变量是否具有线性相关关系，要看大部分点是否分布在一条直线附近，个别点是不是影响“大局”．【规范解答】(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性正相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性正相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长．某5名学生的总成绩和数学成绩如下表：(2)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩．【解】 (1)列表：b ∧＝∑i ＝15x i y i －5x·y∑i ＝15x 2i －5x 2＝137 760－5×2 0125×3395819 794－2 01252≈0.132，a ∧＝y －b ∧x ≈3395－0.132×2 0125≈14.683. ∴回归方程为y ∧＝0.132x ＋14.683.(2)根据上面求得的回归方程，当总成绩为450分时，y ∧＝0.132×450＋14.683≈74. 即数学成绩大约为74分.本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．统计中充分体现了转化与化归的思想方法，如部分与整体的转化、数与图的转化、随机性问题与确定性问题的转化等．甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图2－2所示．图2－2(1)填写下表：①从平均数和方差结合分析偏离程度； ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些； ④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．【思路点拨】 结合图形完成表(1)，由数字特征对总体作出估计．【规范解答】 (1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以x 乙 ＝110(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7，乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是7＋82＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：甲乙平均数的程度大．②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶环数的优秀次数比甲多．。