多元函数的可微性及其应用论文

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数学与应用数学毕业论文多元函数的极值及其实际应用

1绪论在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.2多元函数的概念2.1 二元函数的极值的定义[1]在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某个领域内有定义, 对该邻域内异于()00,x y 的点(),x y ,如果都适合不等式()()00,,f x y f x y < ,则称函数在点()00,x y 取极大值; 如果都适合不等式()()00,,f x y f x y >,则称函数在点()00,x y 取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1）()()322223z x y x y =+-+图1-12.2 多元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元原点是极大值函数()()12,...,n u f p f x x x ==于点0P 的邻域内有定义, 并且当()00,p P p δ<<时,()()0f P f p ≥ (或()()0f P f p ≤) ,则说函数()f p 在点0P 有极大值(或极小值) ,点0P 称为函数()u f p =的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则. 2.3 多元函数的极值的几个判定定理[1]不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1 设函数在点)(,z x y =在点()00,x y 具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为0,即()()0000,,0x y f x y f x y ==将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.定理2 设函数()()12,...,n u f p f x x x ==在点()0012,,,n P x x x 的邻域内有定义,()u f p =在点0P 具有偏导数,可微分的函数()f p 仅在稳定点0P 即在偏导数是0的点0P 能达到极值,所以函数()f p 的极值点应当满足方程组()00ix f P =(1,2,...,i n =) .证明:()f p 在点0P 取得极值,则固定0022,,n n x x x x ==, ()()12,...,n u f p f x x x ==在点011x x =取得极值, ()100x f P ==,同理()()002,,ix f P i n ===.另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3 设函数)(,z x y =在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又令()00,0x f x y =,()00,0y f x y =令()00,0xx f x y =, ()00,0xy f x y =,()00,0yy f x y =,则(),f x y 在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:1) 20AC B ->时具有极值,且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值; 2) 20AC B -<时没有极值;3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论.现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.定理4 设()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭, ()12,,,n f x x x 在点0P 的某邻域内有直至n 阶的连续偏导数,又设0P 是稳定点, ()()101,2,...,x f P i n ==,记()()()()()()20200011,2,...,;1,2,...,,...,,...,i j n n n ij x x n x x nn x x n n a f P i n j n a f P a P a f P -=====,()()12112010,...,n x x n x x a f P a f P ==()()()()()21221020001,...,,...,n n n x x n x x nn x x n n a f P a f P a P a f P -===,即: ()()01,2,...,;1,2,...,i j ij x x a f P i n j n ===,再记矩阵 111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ , ()111212122212......1,2,...,...............n n n n nn a a a a a a A i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪-== ⎪ ⎪---⎝⎭则: (1)若矩阵()ij nn A a =的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭全大于零,就有()u f p =在点0P 取得极小值.(2)若矩阵()ij nn A a -=-的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...............n n i n n nn a a a a a a q i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪== ⎪⎪---⎝⎭全大于零,则()u f p =在点0P 取得极大值.若矩阵()ij nn A a =有偶数阶主子式小于零,在点0P 没有极值.证明:多元函数()u f p = , ()1112n u x x x n d df p f dx f dx f dx ==+++,由已知()()()()120010000n x x x n df p f p dx f p dx f p dx =+++= ,()11122222011n n u x x x x x x n d d f p f dx f dx x f dx ==+++=222'1111212112112222n n nn n a dx a dx dx a dx dx a dx dx a dx a dx X AX ++++++++=，其中()'1,2,,n X dx dx dx = ,将2u d 看作是n 元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A 的各阶顺序主子式i p 全大于零时, 2u d 是正定的,当212220n dx dx d +++≠时,()2200d d f P =>,则()0f P 在点0P 取得极小值,而由f 是负定的充要条件就是f -是正定的,于是当A -的各阶顺序主子式全大于零, ()()200,d f P f p <在点0P 取得极大值,若矩阵()ij nn A a =有偶数阶顺序主子式小于零, 2u d 既非半正定也非半负定,取值可正可负,在0P 点没有极值,定理得证.显然,定理3是定理4的特殊情况. 2.4 定理的应用[11]2.4.1 多元函数的最大值及最小值例1：在XY 坐标面上找出一点P ，使它到三点()10,0P 、()21,0P 、()30,1P 距离的平方和为最小.解：设()1,P x y 为所求之点，l 为P 到1P 、2P 、3P三点距离的平方和，即222123l PP PP PP =++，2221PP x y =+，()22231PP x y =+-所以()()222222221133222l x y x y x y x y x y =++-+++-=+--+对,X Y 求偏导数，有'62x l x =-，'62y l y =-''0x l l o⎧=⎪⎨=⎪⎩即，620620x y -=⎧⎨-=⎩解方程组得驻点11,33⎛⎫⎪⎝⎭，由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，l 可微，又只有一个驻点，因此11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭即为所求之点.2.4.2 研究下列多变量函数的极值例1, 求多元函数222246u x y z x y z =++++-的极值情况. 解: 2(1)2(2)2(3)du x dx y dy z dz =++++-由2(1)02(2)02(3)0x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得稳定点()01,2,3p -- ,二阶偏导数()11022332,2,2xx a u p a a ====，1213212332310a a a a a x ======, 200020002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式全大于0,故u 在点0p 取得极小值()014u p =-. 例2, 求多元函数322122u x y z xy z =++++的极值情况. 解:由231202120220u x y x uy x y uz z⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪∂=+=⎪∂⎩得稳定点()00,0,1p -及()124,144,1p -- , 222262224u d xdx dy dz dxdy =+++, 在1p 处,11121331233212,0a a a a a a ======,1441201220002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式11140p =>, 2144120122p ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦, 30p A =>全大于零, ()u f p =则在点1p 取得极小值()16931u p =-,在点0p 处,A 的各阶顺序主子式不全大于零, 此时()222212d dz dz dy dx =++,当20,0,120,0u dz dy dy dx d =>+<<而当,,dx dy dz 均大于0时,20d >,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于0因而无极值.2.5 隐函数的极值概念和应用关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例. 2.5.1 引理及定理引理[1] 若函数()f x 在0x 的邻域内存在二阶导数,且()'00f x =,()''00f x ≠,则(1) 当()''00f x >时,0x 是函数()f x 的极小值点; (2) 当()''00f x <时,0x 是函数()f x 的极大值点. 引理[2] [2] 若n 元函数()12,,n u f x x x = 在驻点()000012,,,n p x x x = 的某个邻域内具有二阶连续偏导数,在驻点()000012,,,n p x x x = 处作矩阵()1112121222120n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f p f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则a) 当()0H p 为正定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极小值; b) 当()0H p 为负定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极大值; c) 当()0H p 是不定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处不取得极值.定理1 设函数(),f x y 在()00,x y 的邻域内具有二阶连续偏导数,且()00,0f x y =, ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,则当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极大值;当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极小值.证由(),0f x y = ,得0x y x f f y +⋅= ,又0y f ≠ , 所以()()()2232,xx y xy x y x xyxx xx yyf f f f f f f f y y f f -+=-=-又因为()()0000,0,,0x f x y f x y == ,所以()()()()0000,00,,,xx xx xx x y yy x y f x y f y f f x y =-=-.由引理1知, 当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,()y x 在点0x 处取得极小值;当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,()y x 在点0x 处取得极大值.定理2 设函数()12,,,n f x x x y 在点()0012,,o n p x x x 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数, 且()()00012,,,01,2,,ix n f x x x y n n ==,()00012,,,0n f x x x y =,()12,,,0y n f x x x y ≠. 由方程()12,,,0n f x x x y =所确定的n 元函数()12,,,n y y x x x =,则当a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值; c) 当()()0ij nnH p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处不取得极值.其中()()()000012000012,,,,,1,2,,,,i i x x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=证由()12,,,0n f x x x y =,得0i i x y x f f y +=. 又0y f ≠ ,所以在i i x x yf y f =-中对j x 求偏导数得()()()2i ji i j ii jx x x y y x yx yy x x y yf f f f f f y y f +-+⋅=-因为()()000012,,...,,01,2,...,ix nf x x x y i n ==,()000012,,...,,0n f x x x y =. 所以()()000012000012,,...,,0,,...,,i x n y np f x x x y xf x x x yiy =-=所以()()000012000012,,...,,,,...,,i j x x n y np f x x x y x x f x x x yi jy=-. 由n 元显函数极值存在的条件即引理2 知,a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值;c) 当()()0ij nn H p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极值.其中 ()()()000012000012,,...,,,,1,2,...,,,...,,i x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=2.5.2 多变量函数的极值举例例1 求由方程 22212122880x x y x y y +++-+= 所确定的隐函数()12,y f x x =的极值.解令()22212121,,2288F x x y x x y x y y =+++-+, 由12122221214804022880x x F x y F x x x y x y y ⎧=+=⎪==⎨⎪+++-+=⎩得驻点()12168,0,,2,0,177p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ,而122111220,4x x x x x x x x F F F F ==== , ()()1215,15y y F p F p ==- ,所以()()1244001515,44001515H p H p ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 而()1H p 为负定矩阵, ()2H p 为正定矩阵,由定理2知函数()12,y f x x = 在0116,07p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 处取得极大值1168,077y f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭;在()022,0p -处取得极小值()22,01y f =-=.对某些条件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决.例2 求()444123123,,f x x x x x x =++ 在条件1231x x x = 下的极值.解: 将1231x x x = 代入f 的表达式, 得()44121244121,f x x x x x x =++. 令 ()44844812121212,,1F x x f x x f x x x x =---.解得:12347438121212348347121212448488121212484104480410x x F x x f x x x x F x x f x x x x x x f x x x x ⎧=---=⎪⎪=--=⎨⎪---=⎪⎩. 得驻点()()()()12341,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3p p p p ---- .而11246428121212125612,x x F x x f x x x x =-- 22428248121212121256,x x F x x f x x x x =-- 12337337121212163232,x x F x x f x x x x =-- 4412f F x x =.所以()11132x x F p =- ()12116x x F p =- ()22132x x F p =-,()1 1.f F p =()132161632H p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,且2212320,32160∆=>∆=->. 即()1H p 是正定矩阵.所以()44121244121,f x x x x x x =++在点()011,1p =处取得极小值3. 又由1231x x x = 得()31,11x =,所以在条件1231x x x =下,及()011,1p = 对应的点为()111,1,1p =.所以原函数()444123123,,f x x x x x x =++在条件1231x x x =下,在点()111,1,1p =处取得极小值,且()1,1,13f =.同理可知函数()123,,f x x x 在点()()()1112341,1,1,1,1,1,1,1,1p p p ------ 处均取得极小值且极小值为3.3多元函数极值实际应用3.1 最大值和最小值问题如果()f x y在D上必定能取得最大值和最,,f x y在有界闭区域D上连续,则()小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上. 我们假定, 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数()f x y在D内的,所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数(),f x y的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数()f x y在D上的最大值(最小,值).3.2 多元函数极值的实际应用的思路[8]3.2.1 实际问题的提出在学习导数应用时, 我们经常遇到一道经典的导数应用题目是“做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器, 问应当如何设计, 才能使用料最省, 这时圆柱的直径和高之比为多少?”我们知道易拉罐的主体部分是正圆柱体, 因此把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.经过计算可得出圆柱的直径和高之比为1: 1时, 用料最省.但是从我们的实际感受和具体测量可知, 这只是一种近似的结果, 那实际的可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的易拉罐的包装究竟设计成什么样子? 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 它们的形状为什么是这样的?通过测量得到（表格转下一页）:说明尺寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体部分半径正圆柱部分的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量，根据以上数据我们对部分数据近似取值为: 小数点后两位.3.2.2分析和假设3.2.2.1 假设除易拉罐的顶盖外(顶盖的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,记作b.3.2.2.2 假设硬度体现在同样材料的厚度上, 记顶盖的厚度为 (测量得知,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).注: 以上假设是模型讨论过程中的全局性的假设, 在以后的分布讨论中, 我们可能引入新的局部性假设.3.2.3 模型建立及求解3.2.3.1 明确变量和参数设饮料罐的半径为r (直径2d r =),罐的高为h ,罐内体积为V ,b 为除顶盖外的材料的厚度.其中r ,h 是自变量, 所用材料的体积S 是因变量,而b 和V 是固定参数,a 是待定参数.S 和V 分别为：()()222,212S r h rh r a r b b a r rh ππππ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦2V r h π=,2/h V r π=注意,饮料罐侧面的体积应为()2222h r b hr rbh hb ππππ+-=-因为b r << ,所以2hb π可以忽略.3.2.3.2 建立模型记()2,g r h r π=- (),0min ,r o h S r h >> ()..,0s t g r h =其中S 是目标函数,(),0g r h =是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定) ,即要在体积一定的条件下求表面积最小的r, h 和a 使得r, h 和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.3.2.3.3 模型的求解从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题从()2,0g r h r V π=-=解出2/h V r π= 代入S,使原问题化为:求/d h 使S 最小,即求r 使()()()22,1V S r h r b a r r π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦最小. 令其导数为零得()()()222222110ds V b B a r a r V sr r r ππ⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦ 解得驻点为r =因此()11V h a a π⎡⎛⎫⎡⎢ ⎪⎢==+=+ ⎪⎢⎢⎣⎝⎭⎣测量数据为/4h r = ,即41,3a a =+=,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.为验证这个r 确实使S 达到极小.计算''S ，()''324210V S b a r π⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦.0r ∴>,因此,这个r 确实使S 达到局部极小,因为驻点只有一个,因此也是全局极小.✧ 应用算术几何平均值不等式(当23n =，时有明显的几何意义, 即周长相等的矩形中正方形的面积最大,三棱长相等的长方体中正方体的体积最大).11n i i a n =≥∑, 0,1,...i a i n >=,当且仅12...n a a a ===时等号成立.令 ()21233,,1V n a r ra a a π====+ ,于是有()22216V b a b r r π++≥当且仅当()21V a r r π=+时等号成立,即r =结果相同. ✧ Lagrange 乘数法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)求函数(),z x y =在条件(),0x y ϕ=下的极值，设二元函数(,)z f x y =和(),x y ϕ在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且()',x x y ϕ,()',y x y ϕ不同时为零，求函数(,)z f x y =在约束条件(),0x y ϕ=下的极值，按以下方法进行：a) 构造辅助函数()()(),,,,F x y f x y x y λλϕ=+其中λ称为拉格朗日乘数.b) 求(),,F x y λ的偏导数，并建立方程组c) 解该方程组，得,x y 及λ，则(),x y 是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法.引入参数0γ≠ ,令()()()22,,21L r h b rh a r r h V λπλπ⎡⎤=++--⎣⎦()()()22212202200L b b r h rh r L br r r b r hL r V ππλπλππλπλ∂⎧=++-=⎡⎤⎣⎦⎪∂⎪∂⎪=-=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩从第2, 3式解得2V h rπ= ，2b r λ=,代入第1式得3210.V br a r ππ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦()1r h a ==+和前面的结果相同. 3.2.4 验证和进一步分析由数据计算体积为2612339.3355V π=⨯≈< ,即装不下那么多饮料,为什么? 实际上,饮料罐的形状是上图左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.通过测量重量或容积来验证,可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是留有10立方厘米的空间余量.而饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.6/10.20.647=非常接近黄金分割比0.618.3.2.5 一种细化模型(考虑实际所用材料)此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为30.40.2 3.6++=平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3, 这保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)牢固、耐压.实际上,顶盖的半径为厘米,而正圆柱的高为厘米.因此()()()22230.620.44 4.4 1.082S r r r h b r r rh b πππππππ=++++=+++.22,VV r h h r ππ==问题化为:当V 固定时,求:d h 使S 最小.由于365V =立方厘米,即()22.9,365/13.8r h r π==≈所以, : 2.4h d ≈, 高是直径的2.4倍!3.3 多元函数极值的实际应用例1[9] [冻果汁的定价]一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分.店主估计，如果当地牌子的每听卖x 美分，外地牌子的每听卖y 美分，则每天可卖出7054x y -+听当地牌子的果汁,()8067x y +-听外地牌子的果汁.问:店主每天以什么价格卖两种牌子的冻果汁可取得最大收益？解：既然总收益为当地牌子的果汁收益及外地牌子的果汁收益之和，所以每天总收益为二元函数()()()()(),307054408067f x y x x y y x y =--++-+-于是求每天的最大总收益，就是求二元函数(),f x y 的最大值.求二元函数(),f x y 的偏导数，得101020010142400f x y x f x y y∂⎧=-+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩ 则有驻点53,55x y ==. 所以当53x =美分，55y =美分时，小店可取得最大收益.例2[3] 要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为218m 元/，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？解：设水槽的长、宽、高分别为,,x y z ，则容积为()0,0,0V xyz x y z =>>>，由题设知86(22)216xy xy yz ++=即32()36xy z x Y ++=解出z ，得 3633122()2xy xy z x y x y--==⋅++…………………………….① 将①式代入V xyz =中，得二元函数223122xy x y V x y-=⋅+……………………………………..② 求V 对,X Y 的偏导数：()2222(122)(12)32()y xy x y xy x y V x x y -+--∂=⋅∂+，()2222(122)(12)32()x x y x y xy x y V y x y -+--∂=⋅∂+.令，0,0V V x y ∂∂==∂∂得方程组 222222(122)()(12)0(122)()(12)0y xy x y xy x y x x y x y xy x y ⎧-+--=⎪⎨-+--=⎪⎩ 解之，得2, 2.x y == 再代入 ① 式中得3z = .由问题的实际意义得知，函数(,)V x y 在0,0x y >> 时确有最大值，又因为(,)V V x y = 可微，且只有一个驻点，所以取长为2m ，宽为2m ，高为3m 时，水槽的容积最大.例3[14] 某公司通过电台和报纸做某商品的销售广告，据统计销售收入R (万元)及电台广告费1x (万元)和报纸广告费2x (万元)的函数关系式2212121212(,)1514328210R x x x x x x x x =++--- 求：（1）在不限广告费时的最优广告策略；（2）在仅用1.5万元做广告费时的最优广告策略.解：（1）最优广告策略，即用于电台、报纸的广告费为多少时，可使商品的利润12(,)L x x 最大，故目标函数为利润函数；另据题意，知这是一个二元函数无条件极值问题.记电台和报纸的广告费之和为12(,)C x x ，则1212(,)C x x x x =+，于是()2212121212121212(,)(,)(,)153********,0L x x R x x C x x x x x x x x x x =-=++--->>令211122138********L x x x L x x x ∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=⎪∂⎩，解得120.751.25x x =⎧⎨=⎩ 所以在不限广告费的最优广告策略是用于电台和报纸的广告费分别为0.75万元和1.25万元.据题意这是一个条件极值问题，约束条件为12 1.5x x +=，一般的从这一约束条件中解出121.5x x =-，带入利润函数()()()2212222222222(,)1513(1.5)3181.521.510301240 1.5L x x x x x x x x x x =+-+-----=+-≤≤于是将条件极值问题转化为一元函数的普通极值问题.由于()'2212800 1.5L x x =-≥≤≤，这表明L 关于变量2x 是单调增加的，从而L 在2 1.5x =时取最大值.因此用1.5万元做广告费的条件下，相应的最优广告策略是将其全部用及报纸广告费用，而不做电台广告.或构造辅助函数()221212121513318210 1.5F x x x x x x λ=+----++-2111122212138403182001.50F x x x F x x x F x x λλλ∂⎧=--+=⎪∂⎪∂⎪=--+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩，解得1201.5x x =⎧⎨=⎩有同样的结果.结语函数的极值判定条件的深入分析是微积分课程教学中的一项基础性理论工作.近年来,有不少文章对二元函数极值的判定进行了讨论.从教科书中的满足20xx yy xy f f f ∆=->的二阶连续可导的函数(),z f x y =的驻点()00,x y 是极值点的基本判定定理出发,建立了一系列不同的或更细致的判别方法.利用一阶偏导数的连续性及去心邻域内点的方向导数的同号性等方法给出了光滑性不好的点的极值判定定理.另一方面,对于光滑性较好的驻点在0∆=的临界情形下的极值判定也有许多结论.给出了非零最低阶偏导数是奇数阶时驻点非极值点的结果,并建立了一、二、三阶偏导数全为零时利用四阶导数判断极值的一种方法;建立了临界情形下,二阶偏导不全为零时非极值点的判定条件,并利用关于二元四次齐次多项式的正定性的充要条件,直接给出了四阶导数判断极值的简明方法. 这不仅需要比较多元函数极值理论及一、二元函数极值理论的相同点，而更重要的是要突出二者的不同点，如此才能正确掌握多元函数极值的理论，对极值问题有一个全面的了解，从而更好的服务于人的生活和生产.参考文献[1] 陈传璋. 数学分析 [M] .编高等教育出版社，1990.[2] 张禾瑞、郝丙新. 高等代数〔M〕. 高等教育出版社，1991.[3] 数学分析习题集题解BI吉米多维奇. 山东科学杜术出版，1983.[4] 韩伯棠. 管理运筹学〔M〕. 北京:高等教育出版社，2003.[5] 魏国华、傅家良、周仲良. 实用运筹学〔M〕. 北京:清华大学出版社，2000.[6] 胡运权、郭耀煌. 运筹学教程〔M〕. 清华大学出版社, 2002.[7] 邓成梁. 运筹学的原理和方法(第二版)〔M〕. 华中科技大学出版社, 2002.[8] 余兴无、李旭东. 确定性存储基本模型的几个推广〔J〕. 甘肃科学学报, 2002[9] 同济大学函授数学教研室高等数学第二版[下] 上海同济大学出版社.[10] 仉志余. 大学数学应用教程[M ]. 北京: 北京大学出版社, 2005.[11] 叶其孝. 最优化———导数的应用教学单元[J]. 工程数学学报, 2005, (8).[12] James Stewart著. 白峰衫主译. 微积分[M]. 北京:高等教育出版社, 1998.[13] 黄忠霖、黄京. Matlab符号运算及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2004.[14] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M] . 北京: 高等教育出版社, 1993.[15] 王荷芬等. 高等数学汇解 [M] . 上海:同济大学出版社, 1990.[16] 汪荷仙. 高等数学解题方法指导 [M] . 成都:成都科技大学出版社, 1995.[17] G.B. Folland.Real Analysis(Second Editor),1999.致谢首先感谢我的导师老师，我的这篇学位论文是在我的导师老师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．杨老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们等人，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，老师和同学给予我很多指导和帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！。

多元函数可导与可微的关系

多元函数可导与可微的关系在微积分学中，函数的可导性和可微性是两个非常重要的概念。

对于单变量函数，这两个概念是等价的，但对于多元函数，它们之间存在着微妙的关系。

本文将探讨多元函数可导与可微的关系及其在实际问题中的应用。

一、多元函数的偏导数在多元函数中，偏导数是描述函数在某一点上沿着某个坐标轴的变化率。

对于一个$n$元函数$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，它的偏导数可以表示为：$$frac{partial f}{partial x_i}=lim_{hrightarrow0}frac{f(x_1,x_2,cdots,x_i+h,cdots,x_n)-f(x_1,x_2,cdots,x_n )}{h}$$其中$i=1,2,cdots,n$，$h$是一个趋近于$0$的实数。

偏导数的概念可以扩展到多个变量同时变化的情况下，即偏导数矩阵。

对于一个$n$元函数$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，它的偏导数矩阵可以表示为：$$begin{pmatrix}frac{partial f}{partialx_1}&frac{partial f}{partial x_2}&cdots&frac{partialf}{partial x_n}end{pmatrix}$$二、多元函数的可导性对于一个$n$元函数$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，如果它在点$(x_1,x_2,cdots,x_n)$处的偏导数矩阵存在且连续，那么我们称$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$在点$(x_1,x_2,cdots,x_n)$处可导。

多元函数的可导性可以通过以下定理来判断：定理：如果一个$n$元函数$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$在点$(x_1,x_2,cdots,x_n)$处可导，那么它在该点处的偏导数矩阵存在且连续。

这个定理告诉我们，如果一个多元函数在某一点处可导，那么它的偏导数矩阵一定存在且连续。

浅谈多元函数的持续及可微

浅析多元函数的持续及可微
摘要：在学习多元函数以前，咱们关于一元函数的熟悉都是超级熟悉的，对一元函数持续、可微之间的关系也都超级清楚.而多元函数是一元函数的推行，它具有比一元函数更复杂的性质.就一样的二元函数来讲，学习数学分析以后，咱们明白当二元函数的两个偏导数都持续时，函数可微.第一证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数持续时，函数可微.然后考虑了一样的多元函数的情形，取得了当多元函数的某个偏导数持续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，要紧研究二元函数的持续性，偏导存在性，可微性等概念和它们之间因果关系.在了解本文以后，读者会对多元函数有更深刻的熟悉！
关键词：可微; 偏导数; 持续。

多元函数的连续性与可微性

多元函数的连续性与可微性多元函数的连续性与可微性是微积分的重要概念。

在解析几何中，我们经常需要研究多元函数的性质，而连续性与可微性是我们理解和分析多元函数的基础。

在本文中，我将讨论多元函数的连续性与可微性的概念、定义以及它们在实际问题中的应用。

首先，我们来定义多元函数的连续性。

假设有一个定义在某个区域D上的多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量。

我们称函数f在某点(a1, a2, ..., an)处连续，如果当自变量x1, x2, ..., xn逐渐接近(a1, a2, ..., an)时，函数值f(x1, x2, ..., xn)也逐渐接近f(a1, a2, ..., an)。

用数学语言表达，即：lim┬(x→a) ⁡f(x) = f(a)其中，lim表示极限的概念。

如果函数f在集合D的每个点都连续，我们称函数f在D上连续。

那么，多元函数的可微性又是什么意思呢？我们称多元函数f(x1,x2, ..., xn)在某点(a1, a2, ..., an)处可微，如果该函数在该点附近的某个区域内有一个线性逼近函数。

这个线性逼近函数被称为多元函数的导数。

用数学语言表达，即：f(x1, x2, ..., xn) ≈ f(a1, a2, ..., an) + ∑┬(i=1)ⁿ ∂f/∂xi (a1, a2, ..., an)(xi - ai)其中，∂f/∂xi表示函数f对自变量xi的偏导数，xi - ai表示自变量与其对应的变化量。

连续性与可微性是密切相关的，一般来说，可微性是连续性的强化形式。

根据数学定义，若一个函数在某点可微，那么它在该点也是连续的。

而连续函数并不一定可微。

多元函数的连续性与可微性在数学中具有广泛的应用。

例如，在物理学中，我们经常需要利用多元函数来描述物体的运动轨迹、能量分布等。

通过研究函数的连续性，我们可以了解物体在不同时刻的位置、速度以及加速度等信息。

多元函数的可微性

多元函数的可微性摘要：多元函数微分学是一元函数微分学的推广，也保留了一些一元函数微分学的许多性质。

但是由于自变量的增加使之产生了某些本质上是新的内容。

关键词：可微、多元函数、偏导在一元函数中,可微性与可导性是等价的,但在多元函数中可微可以保证各偏导数都存在,而各偏导数都存在并不能保证可微,即偏导数都存在只是可微的必要条件而非充分条件。

本文总结了一些可微的必要条件而非充分条件和充要条件。

一、全微分的定义：函数(,)u f x y =在点(,)x y 全微分的定义为：若函数(,)u f x y =的全改变量u ∆可以表示为(,)(,)u f x x y y f x y A x B y ο∆=+∆+∆-=∆+∆+且其中A 、B 与x ∆，y ∆无关而仅与,x y 有关，则称函数(,)f x y 在点(,)x y 可微，并称A x B y ∆+∆为(,)f x y 在点(,)x y 的全微分，记为du 或(,)df x y 。

可微的判别方式：0()lim 0ρορρρ→==(,)f x y 在点(,)x y 可微。

二、可微的必要条件而非充分条件：定理1：若(,)f x y 在点P (,)x y 可微，则(,)f x y 在点(,)x y 的偏导存在，且(,)x f x y A =、(,)y f x y B =。

证明：(,)(,)u f x x y y f x y A x B y ο∆=+∆+∆-=∆+∆+且0(,)(,)(,)lim x x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆0lim x A x A xο∆→∆+==∆ 同理：(,)y f x y B =定理2：若(,)u f x y =在点P (,)x y 可微，则必在该点连续。

证明：因为(,)u f x y =在点(,)x y 可微，所以有(,)(,)u f x x y y f x y ∆=+∆+∆-(),A x B y ορρ=∆+∆+其中由此立即可得00lim 0x y u ∆→∆→∆=所以(,)u f x y =在点P (,)x y 连续。

多元函数的连续性与可微性分析

多元函数的连续性与可微性分析多元函数是一个与多个自变量相关的函数，其在数学和应用领域中具有重要的意义。

在研究多元函数的性质时，连续性和可微性是两个基本概念。

本文将对多元函数的连续性和可微性进行分析，并介绍这两个概念的重要性和应用。

1. 多元函数的连续性：连续性是指函数在某个区间上的连续性质。

对于多元函数而言，连续性的概念与一元函数类似，即函数在某一点上的极限存在且与该点的函数值相等。

形式化地说，设函数f(x, y)定义在某个区域D上，对于D内的任意一点P0(x0, y0)，如果满足以下条件，则称函数f(x, y)在P0处连续：1) f(x0, y0)存在；2) 当(x, y)趋向于P0时，函数值f(x, y)趋向于f(x0, y0)。

连续性保证了函数的稳定性和可计算性。

连续函数在数学分析、物理学、经济学等领域具有广泛的应用。

通过研究函数的连续性，可以得到函数在某个区域内的性质和行为。

2. 多元函数的可微性：可微性是指函数在某个点上存在全部偏导数，且这些偏导数在该点上连续。

对于二元函数而言，函数的可微性可以通过一阶偏导数来判断。

形式化地说，设函数f(x, y)定义在某个区域D上，对于D内的任意一点P0(x0, y0)，如果满足以下条件，则称函数f(x, y)在P0处可微：1) f(x, y)在P0处存在偏导数；2) 偏导数在P0处连续。

可微性是连续性的更严格要求，可微函数不仅在某个点上连续，而且具备了切线和法平面的概念。

可微函数在微积分、优化等领域有重要的应用。

通过研究函数的可微性，可以得到函数的局部性质和最优解等信息。

多元函数的连续性和可微性是函数分析的基础，它们在数学和应用中发挥着重要的作用。

通过这两个概念，我们可以了解函数的局部变化、极值点和极值等信息。

在数学分析中，我们可以使用极限的性质和一阶导数测试一个函数的连续性和可微性。

对于多元函数的连续性，我们可以通过极限的定义和极限的性质判断函数在某点的连续性。

函数的连续性和可微性论文

目录引言 (1)1．一元函数的连续性和可微性 (1)1.1一元函数的连续性 (1)1.1.1 定义 (1)1.1.2 定理 (2)1.1.3 间断点及其分类 (4)1.2 一元函数的可微性 (8)1.2.1 可微的定义 (8)1.2.2微分的运算法则 (9)1.2.3 可导、可微以及连续之间的关系 (9)2.二元函数的连续性和可微性 (11)2.1二元函数的连续性 (11)2.1.1 定义 (11)2.1.2 定理 (11)2.2二元函数的可微性 (13)2.2.1 二元函数可微性的定义 (13)2.2.2 偏导数的定义 (13)2.2.3 定理 (14)2.2.4 微分的几何应用 (15)2.2.5 偏导数的连续性、函数可微性、可偏导性与函数连续性的关系. (17)结束语 (24)参考文献 (25)致谢 (26)引言连续性和可微性是函数的重要特性，从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标系上的图像是一条连续不断的曲线，下面就简单的介绍一元函数的连续性和可微性和二元函数的连续性和可微性.对一元函数，连续性和可微性是等价的，它是函数增量与自变量增量之间关系的另一种表达式，函数的微分是函数增量的线性主要部分，可微和可导是等价的，因而求一元函数的导数和微分的方法是相同的.一元函数的可导性是比连续性更强的性质，可导必连续，而连续未必可导.微积不但是数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域的基本数学工具，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的.函数的连续性、可导性与可微性是高等数学中最基本、最重要的概念，这三个概念是微积分的重要组成部分，本文在对比函数连续性、可导性与可微三个概念的基础上，深入讨论了三者之间的联系与区别，为学生深入理解和学习微积分学理清了思路.一元函数连续性、可导性与可微性的概念连续函数是高等数学中重点讨论的一类函数.连续性是函数的一个重要特性，它反映了许多自然现象的一种共同特征.而多元函数是一元函数的推广，它具有比一元函数更复杂的性质.就一般的二元函数来说，连续性和可微性是不等价的，学习数学分析之后，我们知道当二元函数的两个偏导数都连续时，函数可微.首先证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数连续时，函数可微.然后考虑了一般的多元函数的情形，得到了当多元函数的某个偏导数连续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，主要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系，在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后,再将它推广到一般的多元函数中去.1．一元函数的连续性和可微性1.1一元函数的连续性1.1.1 定义定义1 设函数f 在某0()U x 内有定义，若0lim ()()x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续．由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可以直接用εδ-方式来叙述，即：若对任给的0ε>，使得当0x x δ-<时有0()()f x f x ε-<，则称f 在点0x 连续．若f 在区间上的每一点都连续，则称f 为上的连续函数．定义2 设函数f 在某()()()00U x U x +-内有定义.若()()()()0000lim lim x x x x f x f x f x f x +-→→⎛⎫== ⎪⎝⎭，则称f 在点0x 右（左）连续.1.1.2 定理定理1 函数f 在0x 连续的充要条件是：f 在点0x 既是左连续，又是右连续. 定理2（局部有界性）若函数f 在点0x 连续，则f 在某0()U x 内有界.定理3（局部保号性）若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<)，则对任何正数0()r f x <（或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切0()x U x ∈，有()(())f x r f x r ><-或．例1.1 “()f x 在x a =连续”是()f x 在点x a =处连续的（）条件（Ａ）必要非充分（Ｂ）充分非必要（Ｃ）充要（Ｄ）既非充分又非必要解：()f x 在x a =连续，()f x ⇒在x a =连续，()f x 在x a =连续⇒()f x 在x a =连续，如，1,()1,x af x x a ≥⎧=⎨-<⎩，()1f x =，()f x 在x a =连续，但()f x 在x a =间断.故选（B ）定理4（四则运算）若函数f 和g 在点0x 连续，则g f ±，f g ⋅，/f g （这里0)(0≠x g ）也都在点0x 连续.定理5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，)(00x f u =，则复合函数f g 在点0u 连续.证由于g 在点0u 连续，对于任给的，存在10δ>，使得当01u u δ-<时有()()0g u g u ε-< （1.1）又由()00u f x =及()u f x =在点0x 连续，故对上述10δ>，存在0δ>，使得当0x x δ-<时有()()001u u f x f x δ-=-<.联系（1）得：对任给的0ε>，存在0δ>，当01u u δ-<时有()()()()0g f x g f x ε-<.这就证明了f g 在点0u 连续.例1.2 设()f x 在x a =处连续，()g x 在x a =处间断，又()0f a ≠，则（）．（Ａ）[]()g f x x a =在处间断，（Ｂ）[]()f g x x a =在处间断，（Ｃ）[]2()g x x a =在处间断，（Ｄ）()()g x x a f x =在处间断．解：分析一连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故（A ），（B ）不对.不连续函数的相乘可能连续，故（C ）也不对，因此，选（D ）.分析二 ()f x 在x a =处连续，()g x 在x a =处间断，又()0f a ≠，⇒()()g x x a f x =在处间断，若不然，⇒()(),()()g x g x f x f x =在x a =连续，与已知矛盾，选（D ）. 定理6（最大、最小值定理）若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值和最小值.推论（有界性定理）若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界. 定理7（介值性定理）若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且)()(b f a f ≠，若μ为介于)(a f 与)(b f 之间的任何实数，则至少存在一点()b a x ,0∈，使得μ=)(0x f ．推论（根的存在定理）若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且)(a f 与)(b f 异号（即()()0f a f b <，则只是存在一点()b a x ,0∈，使得0()0f x =，即方程()0f x =在(,)a b 内至少有一个根.例1.3 证明：若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得0nx r =（0x 称为 r 的n 次正根（即算术根），记作0x =）．证先证存在性.由于当x →+∞时有n x →+∞，故必存在正数a ，使得n a r >，因()n f x x =在[]0,a 上连续，并有(0)()f r f a <<，故由介值性定理，至少存在着一点()00,x a ∈，使得00()nf x x r ==．再证唯一性.设正数1x 使得1n x r =，则有()()12101010011...0n n n n n x x x x x x x x ----=-+++=．由于第二个括号内的数为正数，所以只能010x x -=，即01x x =．定理8（反函数的连续性）若函数f 在[]b a ,上严格单调并连续，则反函数1-f 在其定义域[][])(),()(),(a f b f b f a f 或上连续.例 1.4 由于sin y x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上严格单调且连续，故其反函数1sin y x -=在区间[]1,1-上连续.定理9 （一致连续性定理）若函数f 在闭区间[],a b 上连续，则f 在[],a b 上一致连续.定理10 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数. 定理11 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.1.1.3 间断点及其分类定义 2 设函数f 在某00()U x 内有定义，若f 在点0x 无定义，或f 在点0x 有定义而不连续，则称点0x 为函数f 间断点或不连续点.若0x 为函数f 间断点，则必出现下列情形之一：（ⅰ）f 在点0x 无定义，或极限0lim ()x x f x →不存在.（ⅱ）f 在点0x 有定义，极限0lim ()x x f x →存在，但00lim ()()x x f x f x →≠.据此，我们可对函数的间断点作如下分类：（１）可去间断点若lim ()x x f x A →=．而f 在点0x 无定义，或有定义但0()f x A ≠，则称0x 为f 的可去间断点.（２）跳跃间断点若函数f 在点0x 的左、右极限都存在，但lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→≠．则称0x 为f 的跳跃间断点.（３）函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为第二类间断点.图1.1 可去间断点图1.2图1.3 跳跃间断点判断函数连续性的方法：（１）若是初等函数，则在它的定义域区间上处处连续. （２）用连续性运算法则.（３）分别判断左右连续性或按定义判断.例1.5 设有定义在(),-∞∞上的函数()f x ：（A ）1,0(),0sin x f x x x x=⎧⎪=≠⎨⎪⎩（B ）sin ,0()cos 1,0x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩（C ）1(1),0()1,0x x x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩ （D ）11(1),0()1,0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩（1)在定义域上连续的是（），(2)函数()f x 以0x =为第二类间断点的是（）．解（1） 00x x <>与时上述()f x 均分别与某初等函数相同，故连续．只需在考察哪个函数()f x 在0x =处连续.注意到(),0()(),0g x x f x h x x ≤⎧=⎨>⎩,其中()g x 在(],0-∞连续，()h x 在[)0,+∞连续，因(]()()(,0)()f x g x x f x =∈-∞⇒在0x =左连续，若又有(0)(0)g h =[)()()(0,)()f x h x x f x ⇒=∈+∞⇒在0x =右连续，因此()f x 在0x =连续.(B)的()f x 满足0sin (cos 1),x x xx ===-又sin ,cos 1x x -均连续()0f x x ⇒=在连续，因此，（B ）中的()(),f x -∞+∞在连续，应选（B ）．（２）关于（A ）：由00sin sin lim ()lim 1,lim ()lim 1,x x x x x xf x f x x x++--→→→→====-- ⇒ 0x =是()f x 的第一类间断点（跳跃间断点）.关于（C ）：由1lim ()lim(1)(0)xx x f x x e f →→=+=≠，⇒ 0x =是()f x 的第一类间断点（可去间断点）．已证（B ）中()f x 在0x =连续，因此选（D ），我们也可以直接考察（D ），由111ln(10001lim ()lim(1)lim =+x x x x x x f x e x++++→→→=+=∞）， ⇒ 0x =是()f x 的第二类间断点．例1.6 设(),()f x g x 在0x x =均不连续，则在0x x =处（）. （Ａ）()()f x g x +吗，()()f x g x ⋅均不连续.（Ｂ）()()f x g x +不连续，()()f x g x ⋅的连续性不确定. （Ｃ）()()f x g x +的连续性不确定，()()f x g x ⋅不连续．（Ｄ）()()f x g x +，()()f x g x ⋅的连续性均不确定．解：如：1,0()0,0x f x x ≥⎧=⎨<⎩，0,0()1,0x g x x ≥⎧=⎨<⎩，在0x =均不连续，但()()1f x g x +=．()()0f x g x ⋅=在0x =均连续.又如：1,0()0,0x f x x ≥⎧=⎨<⎩，2,0()0,0x g x x ≥⎧=⎨<⎩，在0x =均不连续，而3,0()()0,0x f x g x x ≥⎧+=⎨<⎩，2,0()()0,0x f x g x x ≥⎧⋅=⎨<⎩在0x =均不连续，因此选（D ）．例1.7 讨论下列函数的连续性并判断其间断点的类型.（１）21()(1)arctan 1f x x x =++，（２）ln(1),0()10x x x f x x x +⎧>⎪⎪=⎪-≤<⎪⎩，(３) sin 201sin cos ,0()0,0xt dt x x f x x x ⎧⎪⎪≠=⎨⎪=⎪⎩⎰解：（１）这是初等函数，它在定义域（20x ≠）上连续，因此1x ≠±时均连续，1x =±时，2101lim (1)arctan()2()12x x x ππ→++=⨯-=--， 2101lim (1)arctan()2()12x x x ππ→-+=⨯+=-，故1x =是第一类间断点（跳跃间断点），又10lim 0x y →-+=，10lim 0x y →--=，故1x =-也是第一类间断点（可去间断点）.（２）在区间()0,+∞，[)1,0-上，函数y 分别与某初等函数相等，因而连续，在0x =处无定义，而ln(1)lim lim 1x x x y x++→→+==，0lim lim lim 1x x x y x---→→→===， 0x ⇒=是第一类间断点（可去间断点）．（３) 记sin 20()cos x g x t dt =⎰，又变限几分的性质及复合函数的连续性，知()g x 是连续函数，再由连续函数的运算法则，知0x ≠时()1()sin g x f x x x=连续，由于 200()limlimcos(sin )cos 10x x g x x x x→→==≠，而01lim sin x x →±不存在，所以0()1limsin x g x x x→±不存在，即0x =是()f x 的第二类间断点． 1.2 一元函数的可微性1.2.1 可微的定义设函数()y f x =，当自变量0x x =有增量x ∆时，若存在于x ∆无关的常数0()A x ，使得函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-可表为0()()y A x x o x ∆=∆+∆ (0)x ∆→，则称()f x 在0x x =处可微，0()A x x ∆称为()f x 在0x x =处的微分，记为00()()x x x x dyA x x dfA x x ===∆=∆或．微分的几何意义： 00()()y f x x f x ∆=+∆-是曲线()y f x =在点0x x =处相应于自变量增量x ∆的纵坐标0()f x 的增量，微分0x x dy=是曲线()y f x =在点()000,()M x f x 处的切线相应于自变量增量x ∆的纵坐标的增量.如下图所示图1.4定理1 函数f 在点0x 可微的充要条件是函数f 在点0x 可导，而且上式中0()A x 等于)(0x f '，即'()dy f x dx =．1.2.2微分的运算法则[()()]()()d u x v x du x dv x ±=± [()()]()()()()d u x v x v x du x u x dv x =+ 2()()()()()()()()u x v x du x u x dv x d v x v x -= dx x g u f x g f d )()())((''= ，其中()u g x =例1.8 求22ln cos y x x x =+的微分解：2222(ln cos )(ln )(cos )dy d x x x d x x d x =+=+ ()222ln ()ln (cos )xd x x d x d x =++ 2(2ln 12sin )x x x dx =+-．1.2.3 可导、可微以及连续之间的关系一元函数的可导性与可微性是等价的，函数的可导性是比可微性更强的性质，可导必连续，连续未必可导，例如，13y x y x ==与在0x =连续，但不可导.例1.9 设0()0f x ≠，()f x 在0x x =连续，则()f x 在0x x =可导是()f x 在0x x =可导的（）．（Ａ）充分非必要（Ｂ）充分必要（Ｃ）必要非充分（Ｄ）非充分非必要解：由0()0f x ≠00()0()0f x f x ⇒><或，因()f x 在0x x =连续，则()f x 在0x 某邻域是保号的，即0δ∃>，当0x x δ-<时，00000()()00()0()()0()0(),()0f x f x f x f x x x f x f x f x f x δ⎧>>>⎧⎪⇒-<=⎨⎨<<-<⎩⎪⎩，，时，，，因此选（B ）．例1.10 设()00x f x x ≥=<，则（）．（Ａ）()f x 在0x =处不连续（Ｂ）(0)f '存在（Ｃ）(0)f '不存在，曲线()y f x =在点()0,0处不存在切线（Ｄ）(0)f '不存在，曲线()y f x =在点()0,0处存在切线解：由()()0lim 00x f x f →==，故()f x 连续()()000limlim x x f x f x++→→-==+∞， ()()000limlim x x f x f x --→→-==-∞． ()y f x =的图形如图1.5所示，()f x 在0x =的左右极限都不存在，因此）（0f '不存在． ()y f x =存在切线0x =，选（D ）．例1.11 讨论函数2202(1cos ),0()1,01cos ,0xx x x f x x t dt x x -⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰在0x =的连续性和可导性.解：我们可先讨论函数在0x =的可导性，因为当()f x 在0x =可导或)0(+'f ,)0(-'f 均存在但不相等时，均可得()f x 在0x =连续，由()f x 分段定义的具体形式，可按定义求出)0(+'f ,)0(-'f 来讨论）（0f '是否存在. 222'020000cos 1()(0)cos 2sin (0)lim limlim lim 022xx x x x t dt f x f x x x x f xx x +++→→→→----=====⎰， 2'320000()(0)2(1cos )2(sin )2cos 1(0)lim lim lim lim 0332x x x x f x f x x x x x f x x x x---→→→→-----=====，因此，0)0()0(='='-+f f ，即()f x 在0x =可导，因而也必连续.2.二元函数的连续性和可微性2.1二元函数的连续性2.1.1 定义设f 为定义在点集2D R ∈上的二元函数，0P D ∈（它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0;P U P D δ∈，就有0()()f P f P ε-<，则称f 关于集合D 在点0P 连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.2.1.2 定理定理1（复合函数的连续性）设函数(),u x y ϕ=和(),v x y φ=在xy 平面上点()000,P x y 的某邻域内有定义，并在点0P 连续；函数(),f u v 在uv 平面上点()000,Q u v 的某邻域内有定义，并在点0Q 连续，其中()000,u x y ϕ=，()000,v x y φ=.则复合函数()()(),,,,g x y f x y x y ϕφ=⎡⎤⎣⎦在点0P 也连续.证由f 在点0Q 连续可知：任给正数ε，存在相应正数η，使得当0u u η-<，0v v η-<时有()()00,,f u v f u v ε-<，又由,ϕφ在点0Q 连续可知：对上述正数η，总存在正数δ，使得当0x x δ-<，0y y δ-<时，都有()()000,,u u x y x y ϕφη-=-<， ()()000,v v x y x y φφη-=--<，综合起来，当0x x δ-<，0y y δ-<时，便有()()()()0000,,,,g x y g x y f x y f x y ε-=-<，所以说复合函数()()(),,,,g x y f x y x y ϕφ=⎡⎤⎣⎦在点0P 连续.定理2（有界性与最大、最小值定理）若函数f 在有界闭区域2D R ∈上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值.定理3（一致连续性定理）若函数f 在有界闭区域2D R ∈上连续，则f 在D 上一致连续.即对任何0ε>，总存在只依赖于ε的正数δ，使得对于一切点P 、Q ，只要(),P Q ρδ<，就有()()f P f Q ε-<．定理4（介值性定理）设函数f 在有界闭区域区域2D R ∈上连续，若1P ，2P 为D 中任意两点，且()()12f P f P <，则对任何满足不等式()()12f P f P μ<<，的实数μ，必存在点0P D ∈，使得()0f Pμ=．定理5（有界性与最大值最小值定理）若函数f 在有界闭区域区域2D R ∈上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值．证先证则f 在D 上有界.倘若不然，则对每个正整数n ，必存在点n P D ∈，使得 (),1,2,n f P n n >=⋅⋅⋅ （2.1）于是得到一个有界点列{}n P D ⊂，且总能使{}n P 中有无穷多个不同的点.由聚点定理的推论，有界无限点列{}2n P R ⊂必存在收敛子列{}k n P，设0lim k n k P P →∞=，且因D 是闭区域，从而0P D ∈.由于f 在D 上连续，当然在点0P 也连续，因此有()()0lim k n k f P f P →∞=，这与不等式（2）相矛盾，所以f 是D 上的有界函数.下面证明f 在D 上能取得最大值、最小值.为此设()()inf ,sup m f D M f D ==，可证必有一点Q D ∈，使()f Q M =（同理可证存在D Q ∈'，使m Q f =')(）.如若不然，对任意P D ∈，都有()0M f P ->.考察D 上的连续函数()()1F P M f P =-，由前面的证明知道，在D 上有界.又因F 不能在D 上达到上确界M ，所以存在收敛点列{}n P D ⊂，使()lim n n f P M →∞=，于是有lim n →∞=+∞，这导致与F 在D 上有界的结论想矛盾.从而证得f在D 上能取得最大值.2.2二元函数的可微性2.2.1 二元函数可微性的定义设函数(),z f x y =在点()000,P x y 的某邻域()0U P 内有定义，对于()0U P 中的点()()00,,P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为：()()000,,o z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-()A x B y o ρ=∆+∆+ （2.2）其中,A B 是仅与点0P 有关的常数，ρ=()ορ是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 可微，并称（1）式中关于,x y ∆∆的线性函数A x B y =∆+∆为函数f 在点0P 的全微分，记作()000,P dzdf x y A x B y ==∆+∆ （2.3）由（2.1）、（2.3）可见dz 是z ∆的线性主部，特别当,x y ∆∆充分小时，全微分dz 可作为全增量z ∆的近似值，即()()()()0000,,f x y f x y A x x B y y ≈+-+-.全微分的几何意义：函数(),z f x y =在点()000,P x y 的全微分在几何上表示曲面(),z f x y =在点()()0000,,,x y f x y 处切平面上点的竖坐标的增量.2.2.2 偏导数的定义设函数(),z f x y =，(),x y D ∈，若()00,x y D ∈，且()0,f x y 在0x 的某邻域内有定义，则当极限()()()00000000,,,limlim x x x f x y f x x y f x y x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆，存在时，称这个极限为函数f 在点()00,x y 关于x 的偏导数，记作()00,x f x y 或()00,x y fx∂∂．若(),z f x y =在点()000,P x y 存在()00,f x y x ∂∂与()00,f x y y∂∂，称(),z f x y =在点()000,P x y 可偏导.偏导数的几何意义：()00,f x y x∂∂即曲面(),z f x y =与平面0y y =的交线在点()()00000,,,M x y f x y 处的切线对x 轴的斜率；()00,f x y y∂∂即曲面(),z f x y =与平面0x x =的交线在点()()00000,,,M x y f x y 处的切线对y 轴的斜率.2.2.3 定理定理1（可微的必要条件）若二元函数在其定义域内一点()00,x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且（1）式中的()00,x A f x y =，()00,y B f x y =．依此函数f 在点()00x y 的全微分可唯一地表示为()()()000000,,,x y x y dff x y x f x y y =⋅∆+⋅∆．与一元函数类似，由于自变量的增量等于自变量的微分，即x dx ∆=， y dy ∆=．所以全微分又可以写为()()0000,,x y dz f x y dx f x y dy =+．定理2（可微的充分条件）若函数(),z f x y =的偏导数在点()00,x y 的某邻域内存在，且x f ，y f 在点()00,x y 处连续，则函数f 在点()00,x y 处可微.证我们把全增量z ∆写作()()0000,,z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-()()()()00000000,,,,f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 在第一个括号里，它是函数()0,f x y y +∆关于x 的偏增量；在第二个括号里，则是函数()0,f x y 关于y 的偏增量.对它们分别用一元函数的拉格朗日中值定理，得()()01000212,,,0,1x y z f x x y y x f x y y y θθθθ∆=+∆+∆∆++∆∆<< (2.4)由于x f 与y f 在点()00,x y 连续，因此有()()01000,,x x f x x y y x f x y θα+∆+∆∆=+ （2.5）()()00200,,y y f x y y f x y θβ++∆=+ （2.6）其中当()(),0,0x y ∆∆→时，0,0αβ→→，将（4），（5）带入（3）式，则得()()0000,,x y z f x y x f x y y x y αβ∆=∆+∆+∆+∆，故函数f 在点()00,x y 可微.定理 3 设函数在点()00,x y 的某邻域内存在偏导数，若(),x y 属于该邻域，则存在()010x x x ξθ=+-和()020y y y ηθ=+-，120,1θθ<<，使得()()()()()()00000,,,,x y f x y f x y f y x x f x y y ξη==-+-．定理4 曲面(),z f x y =在点()()00000,,,P x y f x y 存在不平行于z 轴的切平面∏的充要条件是函数f 在点()000,P x y 可微.求分段函数在分段点的全微分１用定义求),(00y x f x '，),(00y x f y '，即求xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+='→∆),(),(lim),(0000000和yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+='→∆),(),(lim),(0000000，若偏导不存在，则不可微，若存在，则２．２计算22),),(limyx yf x f y x f y y x x f pyf x f f y x y x ∆+∆∆'-∆'--∆+∆+=∆'-∆'-∆→（ρ，若极限为0，则可微，否则不可微，可微时，dy y x f dx y x f dz y x ）0000,(),('+'=．2.2.4 微分的几何应用1空间曲面的且平面与法线若空间曲面S 的方程为(),,0F x y z =，()0000,,M x y z 是S 上的一点，则S 在0M 点的且平面方程为()()()()()()0000000F M F M F M x x y y z z x y z∂∂∂-+-+-=∂∂∂．法线方程为()()()()()()000000x x y y z z F M F M F M xyz ---==∂∂∂∂∂∂．其中(),,F x y z 在点M 处有连续偏导数且()()()2220000F M F M F M x y x ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≠ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭．例2.1 试求抛物面22z ax by =+在点()0000,,M x y z 处的切平面方程与法线方程. 解因为()000,2x f x y ax =，()000,2y f x y by =，过M 的切平面方程为()()0000022z z ax x x by y y -=-+-，由于22000z ax by =+，化简为000220ax x by y z z +--=．过M 的法线方程为00000221x x y y z z ax by ---==-． 2 空间曲线的切线去法平面若空间曲线Γ的参数方程为()x x t =，()y y t =，()z z t =()t αβ≤≤，又()()()()()0000000,,,,M x y z x t y t z t =是Γ上的一点，则Γ在点0M 的切线方程为)(()(000t z z z t y y y t x x x '-='-='-）．法平面方程为0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x ．其中，()x t ，()y t ，()z t 在0t t =可导且0)()()020202≠'+'+'t z t y t x （.3 近似计算例2.2 求 3.961.08的近似值．解设(),y f x y x =，令01x =，04y =，0.08x ∆=，0.04y ∆=-，则有()3.96001.08,f x x y y =+∆+∆ ()()()1,41,41,4x y f f x f y ≈+∆+∆ ()4140.081ln10.04=+⨯+⨯⨯-10.32 1.32=+=．2.2.5 偏导数的连续性、函数可微性、可偏导性与函数连续性的关系.可以从可微性的定义看出，函数在可微点处必连续，但在函数的连续点处不一定存在偏导数，更不能保证函数在该点连续.如下图所示图1.6定理5 如果函数).(y x f z =的偏导数yzx z ∂∂∂∂、在点),(y x 连续，则函数在该点可微分．证明：因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在点),(y x P 连续，就含有偏导数在该点的某一领域内必然存在的意思．设点),(y y x x ∆+∆+为这领域内任意一点，考察函数的全增量)],(),([)],(),([),(,(y x f y y x f y y x f y y x x f y x f y y x x f z -∆++∆+-∆+∆+=-∆+∆+=∆）在第一个方括号内的表达式，由于y y ∆+不变，因而可以看做是x 的一元函数),(y y x f ∆+的增量．于是，应用拉格朗日中值定理，得到xy y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+),(),(),(1θ )10(<<θ又依假设，),(y x f x 在点),(y x 连续，所以上式可写为xx y x f y y x f y y x x f x ∆+∆=∆+-∆+∆+1),(),(),(ε （2.7）其中1ε为y x ∆∆、的函数，且当0,0→∆→∆y x 时，01→ε．同理可证第二个方括号内的表达式可写为y y y x f y x f y y x f y ∆+∆=-∆+2),(),(),(ε （2.8）其中2ε为y ∆的函数，且当002→→∆ε时，y ．由（2.7）、（2.8）两式可见，在偏导数连续的假定下，全增量z ∆可以表示为y x y y x f x y x f z y x ∆+∆+∆+∆=∆21),(),(εε容易看出2121εερεε+≤∆+∆yx ，它是随着0)0,0()→→∆∆ρ即，（y x 而趋于零的.这就证明了).(y x f z =在点),(y x P 是可微分的.定理6如果函数).(y x f z =在点),(y x 可微分，那么函数在该点必定连续证明：由全微分定义可知：函数).(y x f z =在点),(y x 的全增量）ρο(),(),(+∆+∆=∆-∆+∆+=∆y B x A z y x f y y x x f z可得0lim 0=∆→z ρ.从而),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ因此函数).(y x f z =在点),(y x 处．定理7如果函数).(y x f z =在点),(y x 可微分，则函数在点),(y x 的偏导数yzx z ∂∂∂∂、必定存在，且函数).(y x f z =在点),(y x 的全微分为y yzx x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 证明：设函数).(y x f z =在点),(y x P 可微分．于是，对于点P 的某个领域内的任意一点),(y y x x P ∆+∆+'，式子(2.9)总成立)(ρο+∆+∆=∆y B x A z (2.9)特别当0=∆y 时，（2.9）式也应成立，这时x ∆=ρ，所以（2.9）式成为)(),(),(x x A y x f y x x f ∆+∆⋅=-∆+ο．上式两边各除以,x ∆在令0→∆x 而取得极限，就得A xy x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim，从而偏导数xz∂∂存在，且等于A.同样可证B y z =∂∂.所以该定理得证．例2.3 下列函数在()0,0处不连续的是（）(A)()()()()(),0,0,0,,0,0x y f x y x y ≠==⎩(B)()()()()()3322,,0,0,0,,0,0x y x y x yf x y x y ⎧-≠⎪+=⎨⎪=⎩(C)()()()()(),0,0,0,,0,0x y f x y x y ≠==⎩(D)()()()()()221,,0,0,0,,0,0x y x y f x y x y =+=⎪=⎩解（A ）中， (),f x y x =≤=，故有，（A ）连续.(B)中，()3333222222,x y x y f x y x y x y x y x y-=≤+≤++++，则有()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →==,(),f x y 在点()0,0连续(C ），当(),x y 沿直线y x =趋于()0,0时，()()2,0,00f x y f ==≠=，因此，(),f x y 在点()0,0不连续.(D)，221sinx y +有界，⇒ ()()()()(()22,0,0,0,01lim ,lim 00,0x y x y f x y f x y →→===+ ⇒(),f x y 在点()0,0连续.例2.4 设函数(),f x y 在点()00,P x y 的两个偏导数'x f 和'y f 都存在，则（） (A)()0lim ,y y x x f x y →→存在(B)()00lim ,x x f x y →及()00lim ,y y f x y →都存在(C)(),f x y 在P 点必连续 (D)(),f x y 在P 点必可微解函数()0,f x y 和()0,f x y 已成为一元函数，二元函数(),f x y 在点()00,P x y 对x 的偏导数等于一元函数()0,f x y 在0x 点倒数，因为偏导数'x f 在点P 存在，所以()0,f x y 在0x x =处必连续，从而()00lim ,x x f x y →存在，同理()00lim ,y y f x y →存在.选(B).如上例中，()()()()()22,,0,0,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，(),f x y 在P 点不连续.例2.5 讨论函数()()()()()22,,0,0,0,,0,0xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，(),f x y 在点()0,0处的连续性，并判断偏导是否存在.解先判断(),f x y 在点()0,0处是否可偏导，由于()()()()000000,,0,00,0limlim 0x x f x x y f x y f x f x x∆→∆→+∆-+∆-==∆∆ 即()0,00fx∂=∂，同理()0,00f y∂=∂，因此偏导数都存在，考察(),f x y 在点()0,0的连续性，令y kx =，则 ()022220lim ,lim (1)(1)x y kx x kx kf x y k x k →=→==++，即当(),x y 沿不同直线y kx =趋于()0,0时(),f x y 有不同的极限，因此(),f x y 在点()0,0不连续.例2.6 设()()()()()2222,,0,0,0,,0,0x y x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，讨论(),f x y 在()0,0处的连续性和可微性，并求()0,0df.解当()(),0,0x y ≠时，2322222222()f xy x y x x y x y ∂=-∂++，当()(),0,0x y =时，因()(),00f x x =∀，于是()0,0f x∂=∂()()0,00,0lim0x f x f x∆→+∆-=∆.同理可得，当()(),0,0x y ≠时，2232222222()f x y x y y x y x y ∂=-∂++，()0,00f y ∂=∂.考察f x ∂∂，fy∂∂在()0,0的连续性，注意到 2221x x y ≤+，2221y x y ≤+，2322222222()f xy x y x x y x y ∂=-∂++，故4fx x ∂≤∂， 4f y y ∂≤∂,()()()0,0,0,0lim0x y f fx x →∂∂==∂∂，()()()0,0,0,0lim0x y f fy y →∂∂==∂∂即f x ∂∂，fy∂∂在点()0,0处均连续，因此(),f x y 在点()0,0可微.于是()()()0,00,00,00f f dfdx dy xy∂∂=+=∂∂例2.7证明函数z =()0,0连续但偏导数不存在. 证明因为()((),0,0lim00,0x y z →==，所以z =()0,0连续，又()()0,00,0xz x z x x∆+∆-=∆∆，当0x ∆→时，极限不存在，因此()0,0x z 不存在.同理可得，()0,0y z 也不存在.例2.8 证明函数()222222()sin 0,0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+≠⎩在点()0,0连续且偏导存在，但偏导在()0,0不连续，而f 在原点()0,0可微.证明要证明(),f x y 在()0,0连续，即证()()()(),0,0lim,0,0x y f x y f →=，由()()()()22,0,0lim00,0x y x y f →+==，所以(),f x y 在()0,0连续.当220x y +=时 ()()()000,00,01lim lim sin 00,0x x x f x f x f x x∆→∆→+∆-=∆==∆∆ 当220x y +≠时(),2sin x f x y x = 而()(),0,0lim 20x y x →=，()(,0,0limx y →不存在，因此()()(),0,0lim,x x y f x y →不存在，从而(),x f x y 在点()0,0不连续.同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续. 然而()(,0,00,00,0limx y f f x f y∆∆→∆-∆-∆()(22,0,0lim0x y ∆∆→==所以f 在原点()0,0可微.例2.9证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=⎪⎪+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义:000lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .同理可求得0)0,0(=x f .下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则应是较22y x ∆+∆=ρ的高阶无穷小量，为此考察极限220limy x yx ∆+∆∆∆→ρ.当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)limlim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++. 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.结束语以上就是本文所讨论的函数的连续性和可微性，深刻的掌握其定义和用法很重要，掌握其解法能够简化或解决很多问题，这不仅可以体现在理论研究中，而且在处理许多实际问题时也别具特色.函数连续性和可微性的应用贯穿于初高等数学各部分的内容中，对其整理归纳可以提高我们分析问题和解决问题的能力.由于可微性在社会科学和自然科学的许多方面都有应用，它的解法灵活多样，因此本文的重点是能够运用初高等数学的相关知识灵活地解决实际问题；但有些题目只能用一些固定的方法来解决，这些方法有一定的局限性,因此本文的难点是掌握求积分的一些特殊的解法.本文主要是对函数连续性和可微性问题的类型和相应的解题方法进行较深入地探讨，以形成较完整的理论体系.通过本文的论述，我们可以更全面地了解连续性和可微性以及他们之间的联系，具有一定的应用价值.另外，熟练掌握此部分内容对数学的学习也大有帮助.在这一过程中，我们更系统地分析了连续性可微性问题的类型和解决方法，使我们更能体会到前人探索的艰辛，以及获得成功时的喜悦之情，从而激发了我们对数学的兴趣，当然由于多元函数连续性和可微性关系复杂，证明的方法也很多，加之我们的专业知识有限以及研究方法不成熟，文中难免出现不足之处.例如：对问题类型的讨论不够深刻和全面，由于求解解法的灵活性，本文只是归纳了部分连续性和可微性问题类型和解法，因此不能囊括所有的问题.总之，这篇论文还有很多地方值得商榷，望老师和同学们提出宝贵的意见.参考文献[1] 张禾端，高等代数（第三版），北京：高等教育出版社，1992年4月第九版[2] 马小土，硕士研究生入学考试1000题，第三版，北京：中国人民大学出版社，2000，4[3] 华东六省工科数学系列教材编委会.高等数学学习指导书[M].沈阳：辽宁科学技术出版社，1991[4] 李永乐，数学复习全书（理工类）.高等数学[M].北京：国家行政学院出版社，2011[5] 徐森林，薛春华.数学分析（第二册）[M].北京：清华大学出版社，2006[6] 裴礼文.数学分析中的典型问题和解题方法[M].北京：高等教育出版社，1993[7] 清华大学数学科学系《微积分》编写组.微积分[M].北京：清华大学出版社，2004[8] 电子科技大学应用数学系编.微积分[M].成都：电子科技大学出版社，2000[9] 童武.全国硕士研究生入学考试历年试题精解（数学三）[M].北京：北京大学出版社，2004[10] 同济大学应用数学系编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2004，12[11] 同济大学应用数学系编.高等数学习题集[M].上海：上海财经大学出版社.2006，9[12] 童雪耐，对称区域上的积分，数学通报，1991[13] 刘玉链，数学分析讲义（下册，第三版），北京：高等教育出版社，1996[14] 张志军，熊德之.微积分及其应用[M].北京：科学出版社.2007[15] 华东师范大学数学系编.数学分析（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社.1991致谢逝者如斯，不舍昼夜，四次春去春又来，岁月稍纵即逝.此时，回头想想这段短暂的求学路，时而喜悦，时而惆怅.在这个美丽的校园里，原本天真幼稚的我如今已蜕变成一个睿智、沉稳的青年，感谢命运的安排，让我有幸结识了许多良师益友，是他们教我如何品味人生，让我懂得如何更好的生活！人生处处是驿站，已是挥手作别之时，在此，向所有帮助过我的人献上我最诚挚的谢意！本学位论文是在我的指导老师宋强的亲切关怀与细心指导下完成的.从课题的选择到论文的最终完成，宋老师始终都给予了细心的指导和不懈的支持，并且在耐心指导论文之余，宋老师仍不忘拓展我们的文化视野，让我们感受到了‘可微性’的美妙与乐趣.值得一提的是，宋老师宅心仁厚，不慕荣利，对学生认真负责，在他的身上，我们可以感受到一个学者的严谨和务实，这些都让我们获益菲浅，并且将终生受用无穷.毕竟“经师易得，人师难求”，希望借此机会向宋老师表示最衷心的感谢！此外，本文最终得以顺利完成，也是其他同学的帮助分不开的，虽然他们没有直接参与我的论文指导，但在开题时也给我提供了不少的意见，提出了一系列可行性的建议，在此向他们表示深深的感谢！。

浅谈多元函数的连续及可微-转载1

浅析多元函数的连续及可微摘要：在学习多元函数以前，我们对于一元函数的认识都是非常熟悉的，对一元函数连续、可微之间的关系也都非常清楚.而多元函数是一元函数的推广，它具有比一元函数更复杂的性质.就一般的二元函数来说，学习数学分析之后，我们知道当二元函数的两个偏导数都连续时，函数可微.首先证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数连续时，函数可微.然后考虑了一般的多元函数的情形，得到了当多元函数的某个偏导数连续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，主要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系.在了解本文之后，读者会对多元函数有更深刻的认识！关键词：可微; 偏导数; 连续目录1引言 (1)2多元函数的连续、偏导数及可微........................... ... (1)2.1多元函数的连续性 (1)2.2 多元函数的偏导数 (3)2.3多元函数的可微性 (4)2.4多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系 (7)2.4.1二元函数连续性与偏导存在性间的关系 (7)2.4.2二元函数的可微性与偏导存在性间的关系 (8)2.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系 (10)3小结.................................... .. (11)参考文献 (12)致谢辞 (13)1 绪论在中学时，我们着重学习了一元函数，对于函数()y f x =在0x 极限存在、连续、可微，这三个概念的关系是很清楚的.比如说：可微一定连续，但连续不一定可微，连续一定有极限，但有极限不一定连续等一些性质.简单表示为：可微⇒连续⇒极限存在(且不可逆).在什么条件下可逆，我们也都曾经学习过.对于多元函数而言，主要是讲二元函数，它既不同于一元函数有可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但对于二元函数的可微性，是可以证明的.从二元函数的一些性质中，我们可以看到：若二元函数(,)z f x y =在点0p (0x ,0y )可微，则函数(,)f x y 在点0p （0x ，0y ）连续，偏导存在；若二元函数(,)z f x y =的两个偏导数'x f （x,y ）与'y f (x,y)在点0p （0x ，0y ）连续，则函数(,)f x y 在0p （0x ，0y ）可微.因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列蕴涵关系：偏导连续⇒可微⇒(连续，偏导存在);它们反方向结论不成立.当然，其可逆也是需要一定条件的.本文主要是就他们之间的关系作简单的分析.大家都知道，多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有某些差异，而且情况也更复杂一些.在我们研究多元函数的连续、偏导、可微之间的相互关系时，需要注意许多方面的问题.下面我们分别从多元函数的可微性、偏导存在性、连续性，进而到它们之间的关系进行具体的探讨.2多元函数的连续、偏导数及可微性2.1 多元函数的连续性一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续.但对于二元函数(,)f x y 来说，即使它在某点000(,)p x y 既存在关于x 的偏导数00(,)x f x y ，又存在关于y 的偏导数00(,)y f x y ，(,)f x y 也未必在000(,)p x y 连续.甚至，即使在000(,)p x y 的某邻域0()U p 存在偏导数(,)x f x y （或(,)y f x y ），而且(,)x f x y （或(,)y f x y ）在点000(,)p x y 连续，也不能保证(,)f x y 在000(,)p x y 连续.如函数(,)f x y =21sin ,00,0x y y y ⎧⎛⎫+≠⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪=⎩关于具体验算步骤不难得出.不过，我们却有如下的定理.定理1 设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 内有定义，若0(,)f x y 作为y 的一元函数在点y=0y 连续，(,)x f x y 在0()U p 内有界，则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续.证明任取00(,)x x y y ++ 0()U p ∈，则0000(,)(,)f x x y y f x y ++-00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y y f x y y f x y =++-+++- （1）由于(,)x f x y 在0()U p 存在，故对于取定的0y y + ，0(,)f x y y + 作为x 的一元函数在以0x 和0x x + 为端点的闭区间上可导，从而据一元函数微分学中的Lagrange 中值定理，存在(0,1)θ∈，使0000(,)(,)f x x y y f x y y ++-+ = 00(,)x f x x y y x θ++将它代入（1）式得0000(,)(,)f x x y y f x y ++-000000(,)(,)(,)x f x x y y x f x y y f x y θ=++++- （2）由于00(,)x x y y θ++ 0()U p ∈，故00(,)x f x x y y θ++ 有界，因而当(,)(0,0)x y → 时，有00(,)0x f x x y y x θ++→又，据定理的条件知，0(,)f x y 在0y y =连续，故当(,)(0,0)x y → 时，又有0000(,)(,)0f x y y f x y +-→所以，由（2）知，有00000lim (,)(,)y x f x x y y f x y →→++- =0这说明(,)f x y 在00(,)x y 连续. 同理可证如下的定理定理2 设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 有定义，(,)y f x y 在0()U p 内有界，0(,)f x y 作为x 的一元函数在点0x x =连续，则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续. 定理1和定理2可推广到更多元的情形中去.定理 3[5] 设函数12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅在点000012(,,,)n p x x x ⋅⋅⋅的某邻域0()U p 内有定义， 12(,,)i x n f x x x ⋅⋅⋅在0()U p 有界{}0111(1,2,),(,,,,)i i i n i n f x x x x x -+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅作为111,,,i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的n-1元函数在点0000111(,,,)i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续，则 12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅在点000012(,,,)n p x x x ⋅⋅⋅连续. 证明任取00001122(,,,,,)i i n n x x x x x x x x ++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ 0()U p ∈，则 000000111(,,,,)(,,)i i n n i n f x x x x x x f x x x +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =00011(,,,,)i i nn f x x x x x x +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ 00000111111(,,,,,)i i i i i n n f x x x x x x x x x --++-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+000000001111111(,,,,,)(,,,)i i i i i n n i n f x x x x x x x x x f x x x --++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅由于1(,,,i x i n f x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）在0(U p ）内存在，故对于固定的{}0(1,2,,j j x x j n +∈⋅⋅⋅ \{}),i 0000111111(,,,,,,)i i i i i n n f x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 作为i x 的一元函数在以01x 和0i i x x +为端点的闭区间上可导，从而据一元微分学中的Lagrange 中值定理，存在(0,1)θ∈，使00000111111(,,,,,)i i i i i i n n f x x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ -00000111111(,,,,,)i i i i i nn f x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=00000111111(,,,,,)i x i i i i i i nn i f x x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 由于00000111111(,,,,,)i i i i i i n n x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 0()U p ∈故00000111111(,,,,,)i x i i i i i i n n f x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 有界因而，当111(,,,,,,)(0,,0)i i i n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅→⋅⋅⋅ 时，00000111111(,,,,,)0i x i i i i i i n n i f x x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+→ .又，据定理的条件知，0111(,,,,,)i i i n f x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅作为111,,,,i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的1n -元函数在点0111(,,,,)oi i nx x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续，故当111(,,,,,,)(0,0,0)i i i n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅→⋅⋅⋅ 时，有00000111111(,,,,,)i i i i i n n f x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 00000111(,,,,,)0i i i nf x x x x x -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅→ 所以，由（3）知，当111(,,,,,,)(0,0,0)i i i n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅→⋅⋅⋅ 时，有00000111111(,,,,,)i i i i i i n n f x x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 00000111(,,,,,)0i i i n f x x x x x -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅→ 这说明111(,,,,,,)i i i n f x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅在点000000111(,,,,,)i i i np x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续. 证毕.2.2多元函数的偏导数我们知道高等数学及数学分析教材中有：////0000(,)(,)xyyx f x y f x y =此式成立的条件为：偏导数//xy f 和//yx f 在00(,)x y 都连续.下面给出一个更若条件下二元混合偏导数求导次序无关的条件.定理4 若函数(,)f x y 在0p 00(,)x y 的某邻域内偏导数/x f ，/y f 及//yx f 存在，且//yx f 在0p 对y 连续，则偏导数//xy f 在0p 存在，且 ////0000(,)(,)xyyx f x y f x y = 证明不妨设000(,)p x y 的邻域为：{}000()(,)(,),(,)U p x y x U x y y δδ=∈∈ 又设x在0x 有增量x 00(0,(,))x x x U x δ≠+∈ ，y在0y 有增量y 00(0,(,))y y y U y δ≠+∈ ，则要证极限////0000000(,)(,)(,)lim x x xyy f x y y f x y f x y y→+-= （1）存在且值为//00(,)xyf x y . 因为/x f 在0()U p 存在，所以/0000000(,)(,)(,)limx x f x x y y f x y y f x y y x→++-++=及 /0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x→+-=都存在，将其代入（1）式右端得//00(,)xy f x y 00lim limy x →→= [][]00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y y f x x y f x y y x++-+-+- （2）作辅助函数 (,)(,)(,)x y f x x y f x y ϕ=+-因为/y f 在0()U p 存在，所以///(,)(,)(,)yy y x y f x x y f x y ϕ=+- 在0()U p 存在，故对函数0(,)x y ϕ，在以0y 和0y y + 为端点的区间上应用Lagrange 中值定理，得/000000(,)(,)(,)y x y y x y x y y y ϕϕϕθ+-=+ (01)θ<<而由(,)x y ϕ的构造可知，上式即[]0000(,)(,)f x x y y f x y y ++-+ []0000(,)(,)f x x y f x y -+-//0000(,)(,)y y f x x y y f x y y θθ⎡⎤=++-+⎣⎦ y (01)θ<<将其代入（2）式右端得//0000//0000(,)(,)(,)lim lim y y xy y x f x x y y f x y y y f x y y xθθ→→⎡⎤++-+⎣⎦=//000000(,)(,)lim limy y y x f x x y y f x y y xθθ→→++-+= (0)y ≠又因为//yx f 在0()U p 存在，所以//00000(,)(,)limy y x f x x y y f x y y xθθ→++-+ //00(,)yx f x y y θ=+//////0000000(,)lim (,)(,)xy yx yx y f x y f x y y f x y θ→=+= （//yx f 在0p 对y 连续）定理得证.2.3 多元函数的可微性考察函数的可微性时，如果知道偏导数连续，则函数一定可微.但是偏导数连续性条件常常不满足，或不易判断.熟知函数在点0p 可微的必要条件是各个偏导数在0p 处存在.如果函数(,)z f x y =在0p 处的全增量可表示为：z=A x+B y+()ορ则常数A 与B 一定为A=x f (0p ) B=y f (0P ) 且函数在0P 处可微.于是验证函数可微性的一个方法是检验极限：0limρ→00()()x y Z f p f p yρ-- 是否等于零,然而这先要求偏导数A=0()x f p 和B=0()y f p .有无可能不求偏导数，而设法判断可微性？例1 考虑函数Z=()()22221()sin ,0,00,,0,0x y x y x y x y ⎧+≠⎪+⎪⎨⎪⎪=⎩在（0，0）处的可微性.由 Z =22221()()sin()()x y x y ⎡⎤+⎣⎦+ 知22221limlim ()()sin0()()Zx y x y ρρρ→→=+=+ 能否判定此函数在（0，0）可微？事实上，上式极限等价于()Z o ρ= 或写成00()Z x y o ρ=++ 由全微分定义即知此函数在（0,0）可微，(0,0)(0,0)0x y f f ==且(0,0)dz =0这个例子启示我们有可能通过考察极限0limZρρ→ 判断某些函数的可微性.我们可以证明如下的定理定理5[2] 设n 元函数()z f p =在0p 的某个邻域内有定义，且极限0lim Zρρ→ 存在，记为α(1) 若0α≠，则函数()z f p =在0p 处不可微；(2) 若α=0，则函数在0p 处可微且00dz p =，其中221()()n x x ρ=+⋅⋅⋅+ . 我们以二元函数为例证明.证明（1）反证.设函数(,)z f x y =在000(,)p x y =处可微，则()Z A x B y o ρ=++由0lim0zραρ→=≠ 及上式可得220A B +≠ 考察等式()A xB yZo ρρρρ+=-两边的极限.令cos ,sin ,02x y ρθρθθπ==≤< ，则左=0limlim(cos sin )A x B yA B ρρθθρ→→+=+ 极限不存在（220A B +≠）右=0lim0Zραρ→=≠ 矛盾.故函数(,)z f x y =在0p 处不可微.（2）若0lim0Zρρ→= 即()Z o ρ= 则有 00()Z x y o ρ=++故z=f(x,y)在0p 处可微.且00dz p = 这时有0000(,)(,)0x y f x y f x y == 需要说明的是，0limZρρ→ 不存在时，函数()z f p =在0p 点的可微性不确定.我们熟知如果一个多元函数的所有偏导数在某一点都存在并连续，则它一定在该点可微.那么是不是非得满足这一条件才可微呢？以下我们介绍一个较弱条件小关于多元函数可微的定理.定理6[3] 若n+1元函数1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅关于y 的偏导数对n+1个变量连续，关于1,n x x ⋅⋅⋅可微（即把1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅中的y 看成常数后可微），则n+1元函数1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅可微.证明因为1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅关于1,n x x ⋅⋅⋅可微，所以1//111(,,)(,,)n x n x n n f a a b x f a a b x ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 1111(,...,)(,...,)()n n n f a x a x b f a a b ορ++-+ （1）其中2211()()n x x ρ=+⋅⋅⋅ 有因为1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅关于y 有连续的偏导数，有Lagrange 中值定理，在b 与b+y 之间存在ζ满足/11(,,)y n n f a x a x y ζ+⋅⋅⋅+=1111(,,)(,,)n n n n f a x a x b y f a x a x b +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+由连续性有//1110lim (,)(,,)y n n y n f a x a x f a a b ρζ→+⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅其中2221()()()n x x y ρ=+⋅⋅⋅++ ，所以//111(,,)(,,)()y n y n n f a a b y f a x a x y o ζρ⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=1111(,,)(,,)()n n n n f a x a x b y f a x a x b o ρ+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++ （2）（1）+（2）得1///1111(,,)(,,)(,,)n x n x n n y n f a a b x f a a b x f a a b y ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=1111(,,)(,,)()()n n n f a x a x b y f a a b o o ρρ+⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅++因为10ρρ≤≤，所以1()()o o ρρ=，即1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅可微.推论若n(n ≥2)元函数1(,,)n f x x ⋅⋅⋅的偏导数存在，且至多有一个偏导不连续，则1(,,)n f x x ⋅⋅⋅可微.证明对n 作数学归纳.当n=2时，不妨设2/x f 连续，而由一元函数可导与可微的关系知12(,)f x x 关于1x 可微，由定理12(,)f x x 可微.设n=k 时结论成立，则当n=k+1时，不妨设11(,,)k k f x x x +⋅⋅⋅关于1k x +有连续偏导数，此时1//,k x x f f ⋅⋅⋅仍最多有一个不连续，由假设11(,,)k k f x x x +⋅⋅⋅关于1,k x x ⋅⋅⋅可微.所以11(,,)k k f x x x +⋅⋅⋅可微.2.4 多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系. 2.4.1 二元函数连续性与偏导存在性间的关系(1) 函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例 2证明函数(,)f x y 22x y =+在点(0,0)连续偏导数不存在. 证明：因为22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y x y f →→=+==，故函数22(,)f x y x y =+在点(0,0)连续.由偏导数定义：2001,0(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f x f x x x →→>⎧+-===⎨-<⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.(2)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 偏导存在，但不一定连续.例 3 函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+=⎪=⎨⎪≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→→+-=== 同理可求得(0,0)0y f =因为22(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+=⎪=⎨⎪≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 2.4.2 二元函数的可微性与偏导存在性间的关系(1) 可微与偏导存在定理7 （可微的必要条件）若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)p x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，及二元函数(,)f x y 在点000(,)p x y 处的偏导即使存在，也不一定可微.例 4 证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→+--=== 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[]22(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y x y f df f x y f f dx f dy x y⎡⎤-=++--+=⎣⎦+应是较22x y ρ=+ 的高阶无穷小量，为此考察极限220limlimf dfx y x y ρρρ→→-=+当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)limlim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.(2) 偏导连续与可微定理8 （可微的充分条件）若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)p x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)p x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)p x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.例5 证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在点（0，0）处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在（0，0）点却间断.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有222222121(,)2sin cos x x f x y x x y x y x y =-+++ 222222121(,)2sincos y y f x y y x y x y x y=-+++ （1）当y=x 时，极限22111lim (,)lim(2sincos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在（0，0）点间断.同理可证(,)y f x y 在（0，0）点间断.（2）因200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x →→-=== 200(0,)(0,0)1(0,0)limlim sin 0y y y f y f f y y y→→-=== 则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→-===即函数(,)f x y 在点（0，0）可微. 2.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系类似于一元函数的连续性与可微性间的关系，即二元函数(,)f x y 在000(,)p x y 可微则必然连续，反之不然.例6 证明函数(,)f x y xy =在点（0，0）连续，但它在点（0，0）不可微.证明（1）因为00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.（2）因为(0,0)(0,0)f f x y f x y =++-=(0,0)(0,0)0x y df f dx f dy =+=所以2222limlim lim x x y y x y x y f dfx yx yρρ→→→→→-==++当动点(,)x y 沿着线y x = 趋于(0,0)时，有221lim 02x y x y x y →→=≠+即0lim0f dfρρ→-≠ ，故(,)f x y 在原点(0,0)不可微.综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：3 小结对于多元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系的研究，是多元微分学中的一个难点.本文在分别给出了一系列关于多元函数可微、可偏导，可连续的定理之后，主要以二元函数为例，通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的关系进行了一些探讨.和一元微分学相比，尽管多元微分学有许多和一元微分学情形相似，但一元函数到多元函数确有不少质的飞跃，而从二元到三元以上的函数，则只有技巧上的差别，而无本质上的不同.学习多元微分学就要紧紧抓住这两个特点，既看到它们的相同之处，又要注意不同之点.偏导连续可微连续偏导存在参考文献：[1] 同济大学应用数学系，高等数学.（第五版，下册）[M] 北京：高等教育出版社，2002，6.[2] 刘波,李晓楠.关于多元函数可微性的一个注记[J]高等数学研究，2008.3：36—38.[3] 汪明瑾 . 一个关于多元函数可微的定理[J] 高等数学研究，2001.3：8.[4] 李晓芬 . 关于混合偏导求导次序无关的条件[J] 山西师大学报（自然科学版）1996.6：1—2.[5] 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论[J] 韶关学院学报（自然科学版）2002.6:1－4.[6] 华东师范大学数学系.数学分析（三版）[M]北京：高等教育出版社，2004，5.[7] 张鸿,门艳红. 讨论二元函数连续性、偏导存在性、及可微性间关系[J] 哈尔滨师范大学自然科学学报，2006.1：32—34.[8] 周良金,王爱国.偏导数存在、函数连续及可微间的关系[J]高等函授学报（自然科学版），2005，10：34—40.[9] 刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（三版）[M]北京：高等教育出版社，2001，2.[10] 刘玉琏，等．数学分析讲义学习辅导书（二版）[M]北京：高等教育出版社，2004，7.谢辞经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的.在这里首先要感谢我的论文指导老师张璐老师.张老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从选题到查阅资料，论文提纲的确定，中期论文的修改，后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导.除了敬佩张老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作，在此谨向张老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位师长表示感谢！。

多元函数的可导和可微关系

多元函数的可导和可微关系多元函数是数学中重要的研究对象，它通过不同自变量的取值来描述现实世界中的问题。

在多元函数中，可导和可微是两个常用的概念，它们在数学和物理学等领域中发挥着重要的作用。

本文将讨论多元函数的可导和可微关系，并探讨它们之间的联系和区别。

首先，我们来看可导和可微的定义。

在一元函数中，可导性是指函数在某点上存在切线，而在多元函数中，可导性则是指函数在某点上存在线性逼近。

与一元函数类似，我们可以通过求导数来判断多元函数是否可导。

如果在某一点上所有偏导数都存在且连续，那么该点上的函数就是可导的。

而可微性则是可导性的更强条件，即函数在某点上可导，则在该点上必然可微。

可微性可以理解为可导性的一种特殊情况，反之则不一定成立。

然而，多元函数的可导和可微之间并非简单的等价关系。

一方面，可导不一定可微，即函数在某一点上所有偏导数都存在且连续，但该点上的函数并非可微。

这种情况发生在函数在某点上的偏导数存在但不连续或者存在偏导数的偏导数的情况。

另一方面，可微则必然可导，并且在可微的点上的所有偏导数存在且连续。

这意味着可微函数在某一点上的线性逼近是唯一的。

因此，可微性是一种更强的性质。

为了更深入地理解多元函数的可导和可微关系，我们可以从几何和物理两个角度来分析。

从几何角度看，函数的可导性意味着函数在某点上有切平面，而可微性则意味着函数在某点上有切平面，并且该平面是函数在该点上的最佳线性逼近。

从物理角度看，可导性可以理解为函数在某点上的瞬时变化率存在，而可微性则表示函数在某点上的瞬时变化率可以用线性函数来近似。

在实际问题中，多元函数的可导和可微性质往往与问题的解的存在性和唯一性有密切关系。

例如，在优化问题中，可导函数的驻点往往对应于函数的极值点。

在微分方程中，可微性意味着解的存在性和唯一性。

因此，研究多元函数的可导和可微性质对于求解实际问题具有重要意义。

总之，多元函数的可导和可微是数学中常用的概念，它们描述了函数在某点上的变化和逼近性质。

多元函数微分学的应用

多元函数微分学的应用引言多元函数微分学是微积分的一个重要分支，通过研究多元函数的极限、连续性、可微性、偏导数、全微分以及二阶偏导数等概念和性质，为解决实际问题提供了强大的工具和方法。

本文将介绍多元函数微分学在实际应用中的一些案例和方法。

1. 函数的极限多元函数的极限是多元函数微分学的基础，它描述了函数在某一点处的趋近性。

在实际应用中，我们常常需要确定一个多元函数在某一点的极限，以便对问题进行分析和计算。

对于给定的多元函数f(x,y)，如果当点(x,y)趋近于某一点(a,b)时，f(x,y)趋近于一个常数L，则称f(x,y)在点(a,b)处有极限，记为$\\lim_{(x, y) \\to (a, b)} f(x, y) = L$。

2. 函数的连续性函数的连续性是多元函数微分学的另一个重要概念。

一个多元函数f(x,y)在某一点(a,b)处连续，意味着在点(a,b)的任意一个邻域内，函数值和点(a,b)的距离趋近于零。

连续函数在实际应用中具有重要的意义，因为它们能够准确地描述函数的行为和性质。

3. 偏导数与全微分在实际问题中，我们常常需要计算多元函数的偏导数和全微分，以便分析函数的变化率和方向导数。

对于一个多元函数f(x,y)，它的偏导数$\\frac{\\partialf}{\\partial x}$和$\\frac{\\partial f}{\\partial y}$分别表示函数在x方向和y方向上的变化率。

全微分df表示函数的微小变化量，它可以用偏导数表示为$df =\\frac{\\partial f}{\\partial x}dx + \\frac{\\partial f}{\\partial y}dy$。

4. 高阶偏导数在多元函数微分学中，我们还可以计算多元函数的高阶偏导数。

高阶偏导数描述了函数的高阶变化率和曲率性质。

例如，一个二阶偏导数$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}$表示函数在x方向上的曲率，而一个二阶偏导数$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}$表示函数在x和y方向上的变化率的关系。

多元函数连续、可导和可微性关系的相关探讨

多元函数连续、可导和可微性关系的相关探讨摘要：函数的连续性、可导性和可微分性及其内在联系在高等数学和数学分析课程中都具有十足轻重的作用.本文主要通过相关概念及几何意义研究多元函数极限、连续、偏导数和微分之间的关系，旨在帮助学习者理清概念，更好地掌握这部分的知识.关键词：多元函数；连续性；偏导数；微分引言函数微分学和积分学是高等数学和数学分析课程的非常核心的内容，在多元函数微分学学习过程中，很多同学对多元函数的极限存在、函数连续性、函数偏导数存在与函数的可微性之间的关系认识比较迷糊，从而导致后续课程的学习很吃力；同时，该部分知识也是数学相关专业考研的必考科目，其重要性不言而喻；针对这一问题，本文从多元函数（以二元函数为例）出发讨论函数这几个概念之间存在的联系与区别，在难以理解的地方通过给予实例说明，同时结合相关该男的几何意义对概念之间的关系做直观描述，最后与一元函数相关概念关系进行对比，以便加深学习者对该部分知识的深入理解.1 多元函数重极限与累次极限的关系从多元函数重极限与累次极限的定义可知，二者的存在性没有必然的蕴含关系，也就是说无法由其中一种极限判断另一种极限是否存在以及极限值的情况，但在一定的条件下，二者也是有联系的.首先，如果重极限与某个累次极限都存在的话，二者必相等，也可以说如果重极限与两个累次极限都存在的话，三者也必然相等，这也说明了如果两个累次极限都存在但不相等时，可以判断重极限一定是不存在的.2 多元函数极限存在与连续性的关系函数在某点极限存在与否不能判断函数在该点是否连续.这是因为判断函数在某点极限是否存在的前提是该点为函数定义点集的聚点，而连续性没有这一要求，这样的话即使函数在该点极限不存在也可能在该点连续，如孤立点，同时，函数在该点的极限值即使存在也未必是函数在该点的函数值，所以也未必连续.函数在某点是否连续也不能判断函数在该点是否极限存在.也就是说连续点可以是聚点也可以是孤立点，由定义可知孤立点是连续点但极限不存在，但如果连续点是聚点的话一定极限存在.总的来说，函数在该点极限是否存在不能判断在该点是否连续（聚点的话由极限值是否等于函数值决定），函数在该点是否连续也不能判断函数在该点极限的存在性(如孤立点).3 多元函数连续性与偏导数存在之间的关系多元函数连续与否无法判断偏导数是否存在，如函数在点（0,0）连续但偏导数不存在，但在点（0,0）连续且偏导数存在.函数在点（0,0）不连续但偏导数存在.同时多元函数偏导数存在与否也无法判断函数是否连续，如上述函数在点（0,0）偏导数存在且连续，而函数在点（0,0）偏导数存在但不连续.总的来说，函数在该点连续与否不能判断函数在该点偏导数是否存在，按一元函数理论，函数偏导数存在则在该方向是连续的，但多元函数的连续要求在任意方向都是连续的，这也解释了多元函数连续性与偏导数存在性的关系.需要注意的是,虽然偏导数存在无法判断函数是否连续，但如果函数偏导数存在且有界的话，就能判断函数是连续的.4 多元函数连续性与可微性的关系由可微性定义易知，函数在某点可微则在该点一定是连续的，但函数在某点连续无法判断函数在该点是否可微，如3中函数在点（0,0）连续，但在该点不可微；但函数在点（0,0）连续且可微.总的来说，函数在某点可微一定连续，反之不一定成立.5 多元函数偏导数存在与可微性之间的关系由函数可微性定义可知，如果函数在某点可微则偏导数一定存在,但偏导数存在无法判断函数的可微性，如3中函数在点（0,0）偏导数存在且可微，而函数在点（0,0）偏导数存在但不可微.从几何意义来讲，多元函数在某点可微，则曲面在该点存在不平行于z轴的切平面，但偏导数存在只能保证该点处沿某个别方向切线存在，不能保证切平面存在，这也解释了多元函数在一点可微与偏导数存在的关系.总的来说，函数在某点可微偏导数一定存在，反之不一定不成立.需要注意的是，虽然偏导数存在无法判断函数可微，但如果函数偏导数存且偏导数连续的话，就能判断函数是可微的.结束语对于一元函数而言，函数在某点可微分函数在该点可导函数在该点连续函数在该点极限存在，反过来都不一定成立.但对于多元函数而言，除了函数在某点可微分函数在该点偏导数存在、函数在某点可微分函数在该点连续外，其它关系都不一定成立.通过以上分析，明确了多元函数极限、连续、偏导数和可微几个重要概念的关系，也给出了多元函数与一元函数本质上的区别和联系，对于容易弄不清的关系通过反例给出了解释，但对函数连续性与一致连续性的关系没有提及，同时函数连续性、可微性的充分条件还有待进一步的研究.参考文献[1] 华东师范大学数学科学学院.数学分析下[M].北京：高等教育出版社，2022:89-106.[2] 金少华，徐勇等. 关于多元函数可微性教学的一个注记[J].高师理科学刊,2018(2):61-62.[3] 王霞，谢孔锋. 二元函数连续、偏导数、可微分与方向导数之间的关系及举例[J].贵阳学院学报（自然科学版）,2014,9(4):1-2,40.[4]齐小忠.浅谈二元函数中六大重要概念间的关系 [J].喀什师范学院报,2013,34(3):23-25.作者简介：宋玲珍，1980.01，女，河南滑县人，汉，硕士，讲师，研究方向：图像处理。

多元函数的可微性

摘要对于多元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念和它们之间因果关系的研究是多元微分学中的一个难点.此文在分别给出了一系列关于多元函数可微、连续，偏导存在的定理之后，本文主要以二元函数为例，通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的关系进行了一些研究.多元函数微分学和一元微分学相比，虽然多元微分学有许多和一元微分学情形相似，但多元函数确也有不少质的飞跃，而从二元到三元以上的函数，则只有技复杂程度上的差别，而无本质上的不同.学习多元微分学就要抓住这两个特点，我们要看到它们的相同之处，又要分清它们不同之处.关键词连续性偏导存在性可微性AbstractFor continuous multivariate function, the existence of partial derivation, differentiability of concept and Research on the causal relationship between them, is a difficult problem in multivariate differential science. In this paper respectively gives a series on the differentiability of multivariate function, can be partial to guide, after the continuous theorem, mainly two unary as a function of example, through concrete examples for some discussion on the relations of several important concepts of differential calculus of differential calculus. And compared, although there are many multivariate differential calculus and differential calculus similar, but a function of many qualitative leap has multiple functions, and from two unary to three unary, function above, only the skills of the differences, but not essentially different. Study of differential calculus to seize these two characteristics, only to see their similarities, pay attention to different points again.KeywordsContinuity the existence of partial derivation differentiability内蒙古财经学院本科毕业论文多元函数的可微性作者姚淑艳系别统计与数学学院专业数学与应用数学年级 09 级学号 902091125指导教师王君导师职称一、绪论在这里我们讨论多元函数的可微性，多元函数是一元函数的推广，所以它保留着一元函数的一些性质，由于自变量有一个增加多个，就有了某些新的内容.以前学习的时候，我们主要学习了一元函数，对于函数()0y f x =在x 极限存在、连续、可微，以及这三个概念之间的关系.例如它们之间有一些性质：可微必连续，但连续不一定可微，连续必有极限，但有极限不一定连续.多元函数微分学是我们在大学时学习中的一个重点和难点，它涉及的内容是微积分学在多元函数中的体现，有关多元函数的连续性，可微性及偏导数存在之间的关系是我们在学习中容易发生模糊和不易把握的一个知识点. 在学习的时候容易混淆它们之间的关系。

多元函数可微的几何意义

多元函数可微的几何意义一、引言多元函数可微的几何意义是指当一个多元函数可以微分，其微分的几何意义有何作用。

本文将主要讨论多元函数可微的几何意义以及界定极值的几何意义，最后以坐标系函数的一般性的画象来总结微积分学的几何解释。

二、多元函数可微的几何意义1. 关于可微的几何意义，可以从以下几个方面来讨论：（1）对于函数的微分是求取函数在某点发生“瞬时变化”的率。

也就是说，当给定某一点的坐标时，如果我们把变量的取值按微小的步长一点点增加，函数的取值也将按着一定的规律在该点一点点发生变化。

函数的瞬时变化率就是该函数在该点处的微分，即可微函数在该点处的切线斜率。

（2）微分还可以表示函数的图像在某一点附近的倾斜程度，也就是曲线在该点附近的弯曲程度，这又等同于函数的瞬时变化率。

简而言之，函数的微分就是表示函数的变化率。

（3）函数可微的意义也可以从多元函数的角度来看，一个多元函数的函数值能够在一个点上被定义，所以它的梯度（也叫做函数可微程度）也在该点可以被定义。

在这里，梯度指的是函数在该点的切线斜率，该切线斜率是多元函数在某一点发生瞬时变化的率。

2. 界定极值的几何意义界定极值的几何意义可以分为两类：（1）在第一类情况下，函数在某一点变化率为0，这意味着函数在该点处发生的变化率比较小，也就是曲线在该点处的弯曲程度比较小，从而在该点处可能存在着极值。

（2）在第二类情况下，函数在某一点处的变化率接近于无穷大或是无穷小，这意味着函数在该点处变化率增加的速度接近于无穷大或是无穷小，也就是曲线在该点处的弯曲程度极大，从而在该点处也可能存在极值。

三、坐标系函数的一般性的画象在微积分学的几何解释中，坐标系函数可以用一般性的象来表示，即在每一点的函数取值与其坐标之间构成多元函数。

图形化表示函数与坐标的关系，可以让我们更加清楚地认识到多元函数可微的意义，以及其微分的曲率及其与极值的关系。

可以说，函数可微的几何意义与坐标系函数的一般性画象相辅相成，从而使微积分学更加形象地被表达出来。

多元函数可微,连续,偏导数存在的关系证明

多元函数可微,连续,偏导数存在的关系证明多元函数的可微性、连续性和偏导数存在性是研究多元函数的三个重要的性质。

它们之间存在着一定的联系和关系。

本文将证明多元函数的可微性、连续性和偏导数存在性的相关性。

一、多元函数的可微性多元函数的可微性是指，若函数f(x1,x2,…,xn) 在点P0(x10,x20,…,xn0) 处的偏导数存在，且它在这一点处有连续的增量（即对任意小的增量Δ x1, Δ x2, …, Δ xn，都存在有限的增量Δ f 与它们的乘积之比趋于常数），则f(x1,x2,…,xn) 在 P0 处可微。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指，若函数f(x1,x2,…,xn) 在点P0(x10,x20,…,xn0) 处连续，即对于任意的以 P0 为中心、半径为ε 的球面区域，都存在一个正数δ，使得当 |x1–x10|, |x2–x20|, …, |xn–xn0| 均小于δ 时，有|f(x1,x2,…,xn)–f(x10,x20,…,xn0)|<ε，则f(x1,x2,…,xn) 在 P0 处连续。

三、多元函数的偏导数存在性多元函数的偏导数存在性是指，若函数f(x1,x2,…,xn) 在点P0(x10,x20,…,xn0) 处的偏导数均存在，则f(x1,x2,…,xn) 在 P0 处的偏导数存在。

四、证明多元函数可微性和连续性的关系假设多元函数f(x1,x2,…,xn) 在点P0(x10,x20,…,xn0) 处显然是可微的，则其在 P0 处的偏导数存在，即：∂f/∂x1 = lim(Δf/Δx1)∂f/∂x2 = lim(Δf/Δx2)…∂f/∂xn = lim(Δf/Δxn)其中Δf 为函数值在 P0 和P1(x1,x2,…,xn) 处的差，Δx1,Δx2, …, Δxn 为x1, x2, …, xn 在 P0 和 P1 处的差。

对于可微的f(x1,x2,…,xn)，由定义可知：Δf = ∂f/∂x1 Δx1 + ∂f/∂x2 Δx2 + … + ∂f/∂xn Δxn +ε1(Δx1)^2 + ε2(Δx2)^2 + … + εn(Δxn)^2其中ε1, ε2, …, εn 为小量，且当Δx1, Δx2, …, Δxn 无限趋近于 0 时，它们趋近于 0。

多元函数连续,可导,可微之间的关系

多元函数连续,可导,可微之间的关系函数在数学中占据着重要地位，它是数学中的基本概念，可以实现从一种值到另一种值的变换。

它们还可以在实际工程中得到广泛的应用，比如机械，电子学，电力，控制系统等领域。

其中，函数的连续性，可导性和可微性是非常重要的概念，它们在许多领域的应用中起着至关重要的作用。

下面我们将对多元函数连续,可导,可微之间的关系进行更深入的研究。

首先，我们来讨论多元函数的连续性。

它是指函数中从一个点到另一个点没有断点或缺口的特性。

即使在一个非常小的间隔中，函数的值也始终是连续变化的。

在一般情况下，多元函数也是连续的，即自变量在某一给定区间上的所有值都属于函数的定义域。

另外，函数的连续性也可以用变分法或常微分系统来检验。

接下来，我们讨论多元函数的可导性。

它是指函数在某一点存在梯度，若梯度不为零，则此函数在此点可导。

一般而言，多元函数可以在任何给定的定义域内存在梯度，也可以检查函数的可导性。

用另一种说法，函数的可导性是指函数的切线是否存在，以及函数在相邻点的变化量之间的关系。

最后，我们来看看多元函数的可微性。

它是指函数是否可以被微分，若函数可以被某些常量多重微分，那么它就是可微的。

这种特性主要可以用来计算函数的极值点，从而可以对相关问题进行深入分析。

此外，可微性还可用来判断函数在某一点处的极大值和极小值。

总之，多元函数连续，可导，可微之间的关系是非常重要的，它们有助于我们深入研究多元函数，从而帮助我们解决复杂的实际问题。

研究多元函数连续，可导，可微性的重要性，可以给函数的研究者提供一个良好的基础，从而更好地理解函数的特性与行为。

多元函数连续,可导,可微之间的关系

多元函数连续,可导,可微之间的关系“多元函数连续,可导,可微之间的关系”是数学中一个重要的概念，有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨这三者之间的关系，以及它们在实际工作中的应用。

首先，在讨论多元函数连续，可导，可微之间的关系之前，我们需要先了解这些概念。

什么是多元函数连续？它是指在一定区间上，函数的值从左至右的变化是连续的。

在函数的定义域上，函数的值从左至右的变化是连续的。

这就是连续性。

可导指的是函数的函数导数是存在的，而且可以求出来的。

这就是函数的可导性。

可微是指在某一点上，函数的变化率是存在的，而且可以求出来的。

这就是函数的可微性。

多元函数连续，可导，可微之间存在着一定的联系。

首先，连续性是可导性和可微性的前提，也就是说，函数必须具有连续性，才能说明函数具有可导性和可微性。

可导性是可微性的充分必要条件，也就是说，函数只有在可导的情况下，才可以说明函数具有可微性。

在实际工作中，这三者之间的关系也具有重要的意义。

首先，多元函数连续，可导，可微之间的关系，可以为我们提供一定的参考标准，以便我们能够更好地理解函数的特性。

另外，这些关系还可以为我们提供有用的信息，例如，我们可以通过可导性来推断函数的可微性，而通过可微性来推断函数的可导性。

此外，这些关系也可以帮助我们更好地解决实际问题。

例如，我们可以利用可导性来判断函数在某一点上是否存在极值；我们也可以利用可微性来判断函数的变化率，进而判断函数的极值是否存在。

综上所述，我们可以看出，多元函数连续，可导，可微之间的关系在实际工作中具有重要的意义，在数学中也有着重要的应用。

因此，我们要特别关注它们之间的关系，以便能够更好地理解数学中的知识，从而更好地解决实际问题。

多元函数可微,连续,偏导数存在的关系

多元函数可微,连续,偏导数存在的关系微积分是一门处理关于函数及其变化规律的科学，它解决着如何利用某个函数的规律对另一个函数做出有用的计算，多元函数可微、连续、偏导数存在的关系也是微积分的重要内容之一，本文将介绍多元函数的可微性，连续性，偏导数存在的关系。

1、多元函数的可微性首先，要理解多元函数的可微性，必须先了解什么是微分。

微分是一种用来衡量函数的变化量的技术，它可以用来确定函数在某一点的值，以及函数多久发生了改变。

多元函数的可微性是指该函数在某一点处是可微或者不可微的，可以用偏导数来表示。

可微函数指的是函数在某点处可以用其偏导数来近似表示，这意味着该函数在这一点处的变化量可以通过该函数的偏导数来计算。

而不可微函数指的是函数在某点处无法用其偏导数来近似表示，这意味着该函数在这一点处的变化量无法通过该函数的偏导数来计算，一个函数如果想要可微，就要满足函数及其偏导数在该点处连续。

2、多元函数的连续性其次，要弄清楚多元函数的连续性，要明白什么是连续。

连续是指函数在某一区间内没有断点，即函数是一个不间断的实数域，在该区间内没有跳跃的现象，只有在该函数的端点处可能存在跳跃现象，而且还要满足函数和其偏导数在该点处一致。

如果一个函数是可微的，那么它的连续性就可以被确定，即该函数要满足非偏导出的原子性，在这一点上，该函数的连续性可以被确定，而且可以推出这个函数在某一点是可微的。

3、多元函数偏导数存在的关系最后，要理解多元函数偏导数存在的关系，要了解什么是偏导数。

偏导数是表示函数变化量大小的量，它可以用来描述函数在某一点处的变化量，偏导数表示的是函数在某一点处的微小变化量，其形式可以表示为dy/dx或者y/x，是函数的变化量的一个比值。

多元函数的偏导数存在的关系，就是它们在某一点处的变化量是由该函数的偏导数来表示的，而这个偏导数与函数及其连续性有关，如果函数是连续的，那么它的偏导数也是连续的，从而可以计算函数在这一点处的变化量。

多元函数极值及应用--毕业论文

【标题】多元函数极值及应用【作者】黎明凤【关键词】多元函数极值条件极值二次型正定负定【指导老师】杨天标【专业】数学与应用数学【正文】引言在管理科学,经济学和许多工程、科技问题中,常常需要求一个多元函数的最大值或最小值,他们统称为最值问题。

通常我们称实际问题中出现的需要求最值的函数为目标函数，该函数的自变量称为决策变量,相应的问题在数学上可称为优化问题,在经济管理科学中非常重要的运筹学。

最值（最优化）问题占有较大比重。

最值问题涉及工业、农业、交通运输、军事、商品经济等诸方面，与人们的生活息息相关。

多元函数的最值与极值有密切的关系，所以我们通过简单的多元函数（二元、三元函数）的极值来加强对多元函数极值的应用。

2. 多元函数极值的求法2．1 多元函数极值的相关理论1.多元函数极值的定义：设：多元函数的定义域为D ，如果D内存在某个点M（）的邻域满足，对于此领域内的任意一点M（）：（1）当，则称为极小值，M（）为的极小值点。

（2）当，则称为极大值，M（）为极大值点。

2. 定理：（极值与最值的关系）假定在开区域D内有有限个极值，且在D内有最大值（最小值），则最大值（最小值）就是极值中的最大（最小）。

3. 定理：（极值与最值的关系）假定在闭区域A的内部有有限个极值，且在A 上有最大值（最小值），则最大值（最小值）就是A内部极值和A的边界上的最值中的最大（最小）。

与一元函数相似，多元函数的最值点与可能极值点有着密切联系，闭区域上的连续函数必有最大值和最小值，多元函数的最值既可能在闭区域内部取得，也可能在闭区域的边界上取得，我们假定函数在闭区域D上连续，在D内可微，且只有限个驻点，这样如果函数在D内部取得最值，那么这个最值显然也是函数的极值，所以在上述假定下求得多元函数的最值可仿照一元函数求最值的方法。

先求出函数在D 内所有驻点，再将这些驻点处的函数值与区域D边界的最值加以比较就行了。

例如: 求函数f(x,y,z)在曲面g(x,y,z)=0一有界闭域D上的可能极值点，是通过比较f(x,y,z)在D上可能极值点的函数值与f(x,y,z)在D边界线上的最值得到的，特别地，对于封闭曲面g(x,y,z)=0，若f(x,y,z)在该曲面上连续，比较可能极值点的函数值，就能求得f(x,y,z)在附加条件g(x,y,z)=0下的最值。

讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系祁丽梅学院数学与统计学院， 024000摘要:本文先是对二元函数连续性、偏导数存在及可微之间的关系就具体实例进行了讨论，然后推广到多元函数由此来总结有关多元函数微分学中关于上述三个概念之间的关系，并通过二元函数具体的实例详细加以证明。

关键词:二元函数；多元函数；连续；偏导数；存在；可微一、引言多元函数微分学是数学学习中的重要容,是微积分学在多元函数中的具体体现，多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系是学生在数学学习中易发生的概念模糊和难以把握的重要知识点。

尽管它与一元函数的微分学有许多共同点，但它们之间也同样有一些差异，这些差异是由“多元”这一特殊性引起的。

二、二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系1、若二元函数f 在其定义域某点可微，则二元函数f 在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。

可微的必要条件：若二元函数在()000,y x p 可微，则二元函数()y x f z ,=在()000,y x p 存在两个偏导数，且全微分y B x A dz ∆+∆=中的A 与B 分别是()00,y x f A x '=与()00,y x f B y '=其中y x ∆∆,为变量y x ,的改变量，则dy y dx x =∆=∆,，于是二元函数的全微分为()()dy y x f dx y x f dz y x 0000,,'+'=类似的n 元函数()n x x x f u ,,,21 =在点()n x x x Q ,,,21 的全微分为nndx x fdx x f dx x f dx x f du ∂∂++∂∂+∂∂+∂∂=222211我们知道一元函数的可微与可导是等价的，但通过上述情况可以知道二元函数可微一定存在两个偏导数，反之二元函数存在两个偏导数却不一定可微。

例1函数()xy y x f =,在原点()0,0存在两个偏导数，由偏导数定义有()()()00lim 0,00,lim0,000=∆=∆-∆='→∆→∆x xf x f f x x x ()()()00lim 0,0,0lim0,000=∆=∆-∆='→∆→∆yy f y f f y y y 两个偏导数都存在，但()xy y x f =,在原点()0,0不可微证明：假设它在原点可微()()00,00,0=∆'+∆'=y f x f df y x()()y x f y x f f ∆⋅∆=-∆+∆+=∆0,00,0()()22y x ∆+∆=ρ特别地，取y x ∆=∆有x x y x f ∆=∆=∆⋅∆=∆2()()()x x y x ∆=∆=∆+∆=22222ρ于是0212limlim≠=∆∆=-∆→∆→xx dff x ρρ 即dx f -∆比ρ不是高阶无穷小()0→ρ。