多元函数的可微性及其应用论文

多元函数的可微性及其应用

摘 要：本文主要介绍了多元函数可微性的概念及其性质，并讨论了它在实际问题中的简单应用．

关键词：多元函数；可微性；可微性条件；实际应用

Differentiability of Multivariate Functions and Its Applications

Abscract ：In this article ，concepts and nature of differentiability of multivariate functions is introduced and its practical problems in a simple application is discussed ．

Key words ：Multivariate functions; Differentiability; Conditions of differentiability; Practical application

前言

一元函数是只有一个自变量的函数．但很多实际问题往往要牵涉到多个方面的因素，这就是多元函数．一元函数的微分理论能够相应地推广到多元函数〔两个或两个以上自变量的函数〕上来，并且有些微分理论可得到进一步的发展．这种推广，从数学角度来看，不仅是可能的，从实际应用来说，也是必需的．而学习多元函数的可微性是了解多元函数的基础．

1．可微与偏导数的定义

定义1 设D 为一个非空的n 元有序数组的集合，f 为某一确定的对应规则．若对于每一个有序数组()D x x x n ∈,,,21 ，通过对应规则f ，都有唯一确定的实数y 与之对应，则称对应规则f 为定义在D 上的n 元函数．记为()n x x x f y ,,21=．变量n x x x ,,,21 称为自变量y 称为因变量．

（i x ，其中i 是下标．下同）当1=n 时，为一元函数，记为()D x x f z ∈=,；当2=n 时，为二元函数，记为()()D y x y x f z ∈=,,,．二元及以上的函数统称为多元函数．

定义2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，对于()0P U 中的点()()y y x x y x P ∆+∆+=00,,，若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为：

()()0000,,y x f y y x x f z -∆+∆+=∆

=()ρο+∆+∆y B x A . (1)

其中B A ,是仅与0P 有关的常数，22y x ∆+∆=ρ，()ρο是较ρ高阶的无穷小量，则称f 在点0P 可微．并称（1）式中关于y x ∆∆,的线性函数y B x A ∆+∆为函数f 在点0P 的全微分，记作

().,000

y B x A y x df dz

P ∆+∆==

(1)式也可写作

,y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα (2)

这里

()()

()()

.0lim lim 0,0,0,0,==

→∆∆→∆∆βαy x y x

例1 讨论()xy y x f =,在()000,y x P 的可微性． 解 在点()00,y x 处函数f 的全增量为

()()000000,,y x y y x x y x f -∆+∆+=∆

=,00y x y x x y ∆∆+∆+∆ 由于

0→≤∆∆=∆∆ρρ

ρρ

ρ

y

x y

x ()0→ρ

因此()ρο=∆∆y x ，从而函数f 在()00,y x 可微，且.00y x x y df ∆+∆=

定义 3 设()y x f z ,=在2R D ⊂上有定义，()D y x P ∈000,．()0,y x f 在0x 的某邻域内有定义．若()()

x y x f y x x f x ∆-+→∆00000

,,lim

存在，称极限值f 为在0P 关于x 的偏导

数，记作 ()00,y x f x 或

0P x

f

∂∂． 同样可定义f 在0P 关于y 的偏导数()00,y x f y 或

0P y

f

∂∂． 例2 设()3232,y y x x y x f -+=，求()()3,1,3,1y x f f ．

解 先求f 在点()3,1关于x 的偏导数，为此，令3=y ，得到以x 为自变量的函数

()2763,23-+=x x x f ，求它在1=x 的导数，即

()().151233,3,11

21

=+==

==x x x x

x dx

x df f

再求f 在()3,1关于y 的偏导数，为此，先令1=x ，得到以y 为自变量的函数

()321,1y y y f -+=，求它在y=3的导数，得

()().2532,13,13

2

3

-=-==

==y y y y dx

y df f

例3 求三元函数 ()

z e y x u -+=2sin 的偏导数． 解 把y 和z 看作常数，得

()

,cos 2z e y x x

u

-+=∂∂ 把y 和z 看作常数，得

()

,cos 22z e y x y y

u

-+=∂∂ 把x 和y 看作常数，得

()

.cos 2z z e y x e z

u

-+=∂∂ 2．可微性条件

定理1（可微的必要条件） 若二元函数f 在其定义域内()000,y x P 点可微，则函数()y x f z ,=在()000,y x P 的两个偏导数()()00,P f P f y x 必存在，且

()o x y x f A ,0=;().,00y x f B y =

证 如果()y x f z ,=在点()000,y x P 可微，于是在点()000,y x P 的某个领域内的任意一点()

y y x x P ∆+∆+,0'，有()ρο+∆+∆=∆y B x A z 总成立．特别当0=∆y 时，上式仍成立．此时x ∆=ρ，则

()()()x x A y x f y x x f ∆+∆=-∆+ο,,,

上式两边各除以x ∆，再令取极限0→∆x ，得到

()(),,,lim

A x

y x f y x x f x =∆-∆+→∆