上海市闵行中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析

上海市闵行中学2020-2021学年高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为，C1与C2的离心率之积为
，则C2的渐近线方程为( )
参考答案：
A
2. 记S n为等比数列{a n}的前n项和.若，，则（）
A. 2
B. －4
C. 2或－4
D. 4
参考答案：
B
【分析】
利用等比数列的前项和公式求出公比，由此能求出结果．
【详解】∵为等比数列的前项和，
，，
∴，解得，
∴，故选B．
【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3. 已知随机变量服从正态分布,若,则（）
A．0.477 B. 0.628 C. 0.954 D. 0.977
参考答案：
C 4. 两个圆C1：x2+y2+2x+y﹣2=0与C2=x2+y2﹣4x﹣2y+4=0的公切线有且仅有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
参考答案：
D
【考点】两圆的公切线条数及方程的确定．
【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．
【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣），（2，1），半径分别是，1；
两圆圆心距离： =＞，说明两圆相离，
因而公切线有四条．
故选：D．
5. 如果抛物线y2=ax的准线是直线x=﹣1，那么它的焦点坐标为（）
A．（1，0）B．（2，0）C．（3，0）D．（﹣1，0）
参考答案：
A
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线y2=ax的准线是直线x=﹣1，知抛物线y2=ax的焦点坐标是（1，0）．
【解答】解：∵抛物线y2=ax的准线是直线x=﹣1，
∴抛物线y2=ax的焦点坐标是（1，0），
故选A．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
6. 已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x），f
（x）=a x?g（x），．令，则使数列{a n}的前n项和S n超过的最小自然数n的值为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
参考答案：
A
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】f（x）=a x?g（x），g（x）≠0，构造h（x）=a x=，又f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x），利用导数可得：函数h（x）单调递减，0＜a＜1．利用，解得a=．令=，利用等比数列的求和公式可得：数列{a n}的前n项和S n=1﹣，由1﹣＞
，解出即可得出．
【解答】解：∵f（x）=a x?g（x），g（x）≠0，
∴h（x）=a x=，又f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x），
∴h′（x）=＜0，∴函数h（x）单调递减，∴0＜a＜1．
．∴a+a﹣1=，解得a=．
令=，
则数列{a n}的前n项和S n==1﹣，
由1﹣＞=1﹣，解得n＞4，
∴使数列{a n}的前n项和S n超过的最小自然数n的值为5．
故选：A．
7. 在极坐标系中，以点（，）为圆心，为半径的圆的方程为（）
A．acos B．asin C．cos=a D．sin=a
参考答案：
B
略8. 设是方程的解，则属于区间（）
A. (0，1）
B. (1，2）
C. (2，3）
D. (3，4）
参考答案：
C
考点：函数零点的定义及运用.
9. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A+C=2B．若a=1，b=，则c等于( ) A．B．2 C．D．
参考答案：
B
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】由A+C=2B，以及三角形的内角和定理求出B的度数，确定出cosB的值，再由a与b的值，利用余弦定理即可求出c的值．
【解答】解：∵A+C=2B，A+B+C=π，
∴B=，即cosB=，
又a=1，b=，
∴由余弦定理得：3=1+c2﹣c，
解得：c=2或c=﹣1（舍去），
则c的值为2．
故选：B．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
10. 已知a，b，c，d是空间中的四条直线，若a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么()
A．a∥b或c∥d B．a，b，c，d中任意两条都有可能平行
C．a∥b，且c∥d D．a，b，c，d中至多有两条平行
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有_____种．
参考答案：
192
试题分析：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有种站法，再取一人站左侧有种站法，余下三人站右侧，有种站法考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是.故答案为.
考点：排列、组合的实际应用.
【方法点晴】本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是理解题中所研究的事件，并正确确定安排的先后顺序，此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁，俗称特殊元素优先法．由于甲必须站中央，故先安排甲，两边一边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数，计数时要先安排乙丙两人，再安排甲左边的第三人，最后余下三人，在甲右侧是一个全排列.
12. 如图所示的程序框图，输出的n的值是．
参考答案：
5
【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的n 的值，当n=5时，满足条件2n＞20，退出循环，输出n的值为5．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可得：
n=0，
执行循环体，n=1，
不满足条件2n＞20，执行循环体，n=2，
不满足条件2n＞20，执行循环体，n=3，
不满足条件2n＞20，执行循环体，n=4，
不满足条件2n＞20，执行循环体，n=5，
满足条件2n＞20，退出循环，输出n的值为5．
故答案为：5
13. 已知双曲线的一条渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率
为
参考答案：
略
14. 公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q= ．参考答案：
3
【考点】等比数列；等差数列．
【分析】设出等差数列的首项为a，公差为d，根据等差数列的通项公式分别表示出第2，3，6项，根据等比数列的性质列出关于a与d的等式，由d不为0得到d与a的关系式，用a表示出d，代入表示出的第2，3，6项，此三项可以用a表示，然后根据等比数列的性质可用第3项除以第2项即可求出公比q的值．
【解答】解：设等差数列的首项为a，公差为d（d不为0），
则等差数列的第2，3，6项分别为a+d，a+2d，a+5d，
则（a+2d）2=（a+d）（a+5d），即d2+2ad=0，
∵d≠0，
∴在等式两边同时除以d得：d=﹣2a，
∴等差数列的第2，3，6项分别为：﹣a ，﹣3a ，﹣9a ，
∴公比q==3．
故答案为：3．
15. 已知AC ，BD 为圆O ：x 2+y 2=9的两条相互垂直的弦，垂足为M （1，），则四边形ABCD 的面积的
最大值为 ．
参考答案：
15
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】由圆的方程找出圆心坐标为（0
，0），半径r=3，设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2，再由M 的坐标，根据矩形的性质及勾股定理得到d 12+d 22
=OM
2，由M 和O 的坐标，利用两点间的距离公式求出OM 2
，进而得到d 1
2+d 22
的值，再由圆的半径，弦心距及弦长的一半，由半径的值表示出|AB|与|CD|的长，又四边形ABCD 的两对角线互相垂直，得到其面积为两对角线乘积的一半，表示出四边形的面积，并利用基本不等式变形后，将求出的d 12+d 22的值代入，即可得到面积的最大值． 【解答】解：∵圆O ：x 2
+y 2
=9， ∴圆心O 坐标（0，0），半径r=3， 设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2， ∵M（1，
），
则d 12+d 22=OM 2=12+（）2=3， 又|AC|=2
，|BD|=2
∴四边形ABCD 的面积S=|AC|?|BD|=2?
≤18﹣（d 12+d 22）=18﹣3=15，
当且仅当d 12
=d 22
时取等号， 则四边形ABCD 面积的最大值为15． 故答案为：15． 16. 设复数
，
，在复平面上所对应点在直线
上，则
= 。

参考答案：
17. 已知奇函数
的图象关于直线
对称，且
，则
．
参考答案：
－3
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在
中，、、分别为内角
的对边，且 (1)求
的大小；
(2)若
，判断
的形状.
参考答案：
解：（1）由正弦定理得
即
∴
,∴
（2）由（1）知，∴
∴
∴
,∴
是等腰三角形
略
19. 已知命题p:不等式x 2
－(2m －1)x+≥0的解集为全体实数；命题q: f(x)=mx 3
－x 在R 上单
调递减。

（1）若p 为真，求实数m 的取值范围； （2）若“
”为真，求实数m 的取值范围。

参考答案：
20. 已知命题
有两个不相等的负根，命题
无实根，若
为假，为真，求实数m的取值范围.
参考答案：
(1,2]
【分析】
根据命题和的真假性，逐个判断.
【详解】因为假，并且为真，故假，而真
即不存在两个不等的负根，且无实根.
所以，即，
当时，不存在两个不等的负根，
当时，存在两个不等的负根.
所以的取值范围是
【点睛】此题考查了常用的逻辑用语和一元二次方程的性质，属于基础题.
18.已知数列{a n}满足，（）．
（1）求，，的值；
（2）证明：数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．
【答案】（1），，（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知结合数列递推式直接求得，，的值；
（2）把原递推式变形，可得，根据等差数列定义可证，再根据等差数列通项公式求结果．
【详解】解：（1）由，，
得，，；证明：（2）当时，由，得，
∴{}是公差为1的等差数列，
又∵，
∴，
则．
【点睛】本题考查数列递推式，考查等差关系定义以及等差数列通项公式的求法，是基础题．
21. 变量x，y满足
(1)设z＝求z的最小值；
(2) 设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
参考答案：
略
22. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF PB交PB于点F
⑴求证：PA//平面EDB
⑵求证：PB平面EFD
⑶求二面角C-PB-D的大小
参考答案：
解：建立空间直角坐标系，如图所示，点D为坐标原点，设DC=1………………1分（1）证明：连接AC，AC交BD于点G，连接EG
依题意得A（1,0,0），P（0,0,1），E（0，）
因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，
故点G的坐标为（，0），
且，所以
即PA//EG，而EG平面EDB，且PA平面EDB，
因此PA//平面EDB……6分
（2）证明：依题意得B（1,1,0），，又
故，所以PB DE
由已知EF PB，且EF DE=E，所以PB平面EFD……9分
（3）解：已知PB EF，由（2）可知PB DF，
故是二面角C—PB—D的平面角
设点F的坐标为（x，y，z），则
因为所以（x，y，z-1）=k（1,1，-1）即x=k，y=k，z=1-k
为，所以（1,1，-1）=k+k-1+k=3k-1=0所以k=，点F的坐标为（，，）
又点E的坐标为（0，），所以
因为cos
所以=60，即二面角C—PB—D的大小为60……14分。