(福建专用)2019高考数学一轮复习课时规范练33基本不等式及其应用理新人教A版

课时规范练33　基本不等式及其应用
一、基础巩固组
1.设0<a<b ,则下列不等式正确的是( )
A.a<b<
B.a<<b ab <
a +
b 2ab <
a +b
2C.a<<b< D.<a<<b
ab a +b 2ab a +b
22.(2017山东枣庄一模)若正数x ,y 满足
=1,则3x+4y 的最小值是( )1y +3x A.24
B.28
C.25
D.26
3.已知a>0,b>0,a ,b 的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n 的最小值是( )
1a 1
b A.3
B.4
C.5
D.6
4.函数y=
(x>-1)的图象的最低点的坐标是( )
x 2
+2x +2
x +1A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2)
5.(2017山东日照一模)已知圆x 2+y 2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,
则
的最小值为( )1a +4
b A.8 B.9 C.16 D.18
6.要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
7.若两个正实数x ,y 满足
=1,并且x+2y>m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是( )2x +1
y A.(-∞,-2)∪[4,+∞)
B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-2,4)
D.(-4,2)
8.设x ,y ∈R ,a>1,b>1,若a x =b y =3,a+b=2,则的最大值为( )31x +
1
y A.2 B. C.1 D.321
2
9.若直线
=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 . x a +y b 10.若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线y=1+sin πx (0<x<2)的对称中心,则
的最小值为 1a +2
b .
11.(2017山西临汾二模)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/千克、
b 元/千克,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋,家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠) .(在横线上填甲或乙即可)〚导学号21500548〛
12.设a ,b 均为正实数,求证:+ab ≥2.
1
a
2
+
1
b 22
二、综合提升组
13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x +对任意实数x ,y 都成立,则实数a 的最小值为( )a
2x
A.1
B.2
C.3
D.4
14.(2017天津河东区一模,理13)已知x>0,y>0,lg 2x +lg 8y =lg 2,则的最小值是
x +y
xy .
15.如果a ,b 满足ab=a+b+3,那么ab 的取值范围是 .
16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本为C (x )(单元:万元),当
年产量不足80千件时,C (x )=x 2+10x (单位:万元).当年产量不少于80千件时,C (x )=51x+
-1310 000
x 1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L (x )(单位:万元)关于年产量x (单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
〚导学号21500549〛
三、创新应用组
17.若正实数x ,y 满足x+y+=5,则x+y 的最大值是( )
1x +
1y A.2 B.3C.4 D.5
18.(2017山东德州一模,理8)圆:x 2+y 2+2ax+a 2-9=0和圆:x 2+y 2-4by-1+4b 2=0有三条公切线,若
a ∈R ,
b ∈R ,且ab ≠0,则的最小值为( )
4
a
2
+
1
b 2A.1 B.3C.4
D.5
〚导学号21500550〛
课时规范练33　基本不等式及其应用
1.B ∵0<a<b ,∴a<<b ,故A,C 错误;-a=)>0,即>a ,D 错误,故选B .
a +b
2ab a (b ‒a ab 2.C ∵正数x ,y 满足
=1,1y +3x ∴3x+4y=(3x+4y )=13+13+3×2
=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.(1y +
3
x )
3x y +12y x ≥x y ·4y x ∴3x+4y 的最小值是25.故选C .
3.B 由题意知ab=1,则m=b+=2b ,n=a+=2a ,
1a 1
b ∴m+n=2(a+b )≥4=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.
ab 4.D ∵x>-1,∴x+1>0.∴y==(x+1)+2,当且仅当x+1=,即x=0时等号成立,即
(x +1)2
+1
x +11x +1≥
1x +1当x=0时,该函数取得最小值2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2).5.B 由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.
所以(a+b )=5+5+4=9,当且仅当,即2a=b=时等号成立,故选B .1a +4b
=(1a +
4
b )
b a +4a b ≥b a =4a b 236.C 设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4(m 2).容器的总造价为20ab+2(a+b )×10=80+20(a+b )≥80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.
ab 7.D x+2y=(x+2y )=2++2≥8,
(2x +
1
y )
4y x +x y 当且仅当
,即x=2y=4时等号成立.4y x =x y 由x+2y>m 2+2m 恒成立,
可知m 2+2m<8,即m 2+2m-8<0,解得-4<m<2.
8.C 由a x =b y =3,
1x +1y =1log a 3+1log b 3=lga +lgb lg3=lg (ab )lg3.因为a>1,b>1,所以ab =3,≤
(a +b 2)
2所以lg(ab )≤lg 3,从而
=1,当且仅当a=b=时等号成立.1x +1y ≤lg3lg339.8　∵直线=1过点(1,2),x a +y b =1.
∴1a +
2b ∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b )=4+4+2
=8.(1a +2b )(b a +4a
b )
≥
b a ·4a b 当且仅当b=2a 时等号成立.
10.3+2　由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1+sin πx (0<x<2)的对称中心为(1,1),故a+b=1.
2
则(a+b )=3+3+2=3+2,1a +2b
=(1a +
2
b )
b a +2a b ≥b a ·2a b 2当且仅当,即a=-1,b=2-时等号成立,b a =2a b 22此时
的最小值为3+21a +2b 2.11.乙　甲购买产品的平均单价为,乙购买产品的平均单价为3a +3b 6
=
a +b
220
10a +10b =
2ab
a +b
.0,∵a +b 2‒2ab a +b =(a -b )22(a +b )≥
且两次购买的单价不同,∴a ≠b ,>0,
∴a +b 2‒
2ab a +b ∴乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙.12.证明 因为a ,b 均为正实数,
所以2,1a
2+1
b 2≥1a 2·1b 2=2ab 当且仅当,即a=b 时等号成立,1a
2
=1b 2又因为+ab ≥2=2,
2
ab 2ab ·ab 2当且仅当=ab 时等号成立,
2
ab 所以+ab +ab ≥2,1a
2
+1b 2≥2ab 2当且仅当即a=b=时等号成立.
{1a 2=1b 2,2
ab =ab ,
4213.D 令f (y )=|y+4|-|y|,
则f (y )≤|y+4-y|=4,即f (y )max =4.
∵不等式|y+4|-|y|≤2x +对任意实数x ,y 都成立,
a
2x
∴2x +f (y )max =4,
a
2x
≥
∴a ≥-(2x )2+4×2x =-(2x -2)2+4恒成立;令g (x )=-(2x )2+4×2x ,
则a ≥g (x )max =4,∴实数a 的最小值为4.
14.2+4　x>0,y>0,lg 2x +lg 8y =lg 2,可得x+3y=1.
3+4≥2
+4=2+4.x +y xy =(x +y )(x +3y )xy =x 2+3y 2+4xy xy =x y +
3y
x x y ·3y x 3当且仅当x=y ,x+3y=1,即y=,x=时等号成立.33-363-1
2的最小值是2+4.
x +y
xy 3
15.(-∞,1)∪(9,+∞)　∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b )2=(ab-3)2.
∵(a+b )2≥4ab ,∴(ab-3)2≥4ab ,
即(ab )2-10ab+9≥0,故ab ≤1或ab ≥9.
16.解 (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元,依题意得,
当0<x<80时,L (x )=(0.05×1 000x )-x 2-10x-250=-x 2+40x-250;
1313当x ≥80时,L (x )=(0.05×1 000x )-51x-+1 450-250=1 200-,
10 000
x (
x +
10 000x )
则L (x )=
{
-13
x 2
+40x -250,0<x <80,1 200-(x +10 000
x
)
,x ≥80.
(2)当0<x<80时,L (x )=-(x-60)2+950,
1
3此时,当x=60时,L (x )取得最大值L (60)=950.
当x ≥80时,L (x )=1 200-(x +
10 000x )
≤1 200-2
=1 200-200=1 000,x ·
10 000
x 当且仅当x=时,即x=100时,L (x )取得最大值1 000.10 000
x 因为950<1 000,
所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1 000万元.
17.C ∵x>0,y>0,xy ,
≤
(x +y )2
4,即,
∴1xy ≥4(x +y )2,x +y xy ≥4x +y 1x +1y ≥4x +y ∴x+y+x+y+即x+y+5.
1x +1y ≥4x +y .4x +y ≤设x+y=t ,则t>0,∴t+5,得到t 2-5t+4≤0,解得1≤t ≤4,
4t ≤∴x+y 的最大值是4.
18.A 由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a )2+y 2=9,x 2+(y-2b )2=1,
圆心分别为(-a ,0),(0,2b ),半径分别为3和1,故有a 2+4b 2=16,(a 2+4b 2)=(8+8)=1,
∴4a 2+1b 2=116(4a 2+1b 2)
·116(8+16b 2a 2+a 2b 2)
≥116当且仅当,即a 2=8,b 2=2时,等号成立,故选A .16b 2a
2
=a 2
b 2。