专题10 10月第三次周考第五章 数列-2018年高三文数周

【2018届高三数学优质试卷精品】
第三周 数 列
测试时间：120分钟 班级： 姓名： 分数： 试题特点：本套试卷重点考查数列的概念、等差数列等比数列及其性质、数列通项公式的求法、数列求
和以及数列的综合应用等．在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；注重考查知识的交汇，如第8，11等题考查等差数列与等比数列的综合；取材新颖，如第9题，取材于古典数学．
讲评建议：评讲试卷时应注重等差数列等比数列及其性质的应用（如第1，6，7，10，11等题）、数列
通项公式的求法以及常用数列求和的方法的总结，如裂项相消法：第18，20，22题；错位相减法：第19，20，21题等．试卷中第12，14，19，22各题易错，评讲时应重视．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 【答案】A 【解析】
试题分析：由题已知79416,1a a a +==，则由等差数列性质可得；794121215a a a a a +=+∴= 考点：等差数列的性质．
2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为135,2n S a a +=
，且2454a a +=，则n n
S
a =（ ） A ．1
4n - B ．41n
- C ．1
2n - D ．21n
-
【答案】D 【解析】
试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则2121
5(1)2
5(1)4
⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩a q a q q ，解得1212=⎧⎪⎨=⎪⎩a q ，
11
1(1)1n n n n a q S q a a q ---∴=112(1)2
1
122112()2
n n n -⨯-
-==-⨯．故选D ． 考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前n 项和公式．
3．在等差数列{}n a 中，首项12a = 公差2,32n d a == ，则项数n 为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 【答案】D 【解析】
试题分析：等差数列的通项公式为d n a a n )(11-+=，所以21232⨯-+=)(n ，解得16=n ．故选D ． 考点：等差数列的通项公式．
4．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，那么4a 的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】D 【解析】
试题分析：由1n n n a S S -=-得43443228a S S =-=-=． 考点：数列求和与求通项
5．设}{n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知13,81342==S a a ，则5S 等于（ ） A ． 40 B ． 81 C ． 121 D ． 243 【答案】C 【解析】
考点：等比数列的前n 项和．
6．各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a
的等比中项为27211log log a a +的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
【答案】B 【解析】
试题分析：由等比数列{}n a 中，4a 与14a
的等比中项为4148a a =， 又27211271124142log log log log log 83a a a a a a +====，故选B ． 考点：等比数列的性质及对数的运算．
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3695,15=S S S ==，则（ ） A ．35 B ．30 C ．25 D ．15 【答案】B 【解析】
考点：等差数列的性质．
8．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为5
4
，则5S =（ ）
A ．29
B ．31
C ．33
D ．35 【答案】B 【解析】
试题分析：用基本元的思想，根据题意有2111
36
112522
a q a q a a q a q ⎧⋅=⎪
⎨+=
⎪⎩，解得1116,2a q ==，所以 551161231112
S ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
==-．
考点：等比数列的通项公式与前n 项和公式．
9．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
1
7
是较小的两份之和，问最小1份为（ ）
A ．
53 B ．103 C ．56 D ．116
【答案】A 【解析】
考点：等差数列的性质
10．已知数列{}n a ，若点(,)(n n a n ∈*N )在经过点(8,4)的定直线l 上，则数列{}n a 的前15项和15S = （A ）12 （B ）32 （C ）60 （D ）120 【答案】C 【解析】
试题分析：因为点(,)(n n a n ∈*
N )在经过点(8,4)的定直线l 上，所以数列{}n a 是等差数列，且48=a ，
则数列{}n a 的前15项和为60152
)
(15815115==+=a a a S ；故选C ．
考点：等差数列．
【技巧点睛】本题考查数列的判定、性质以及前n 项和公式的应用，属于中档题；解决本题有两个技巧：一是由点(,)(n n a n ∈*
N )在经过点(8,4)的定直线l 上，得出数列{}n a 是等差数列，且48=a （因为等差
数列的图象是分布在一条直线上的一些孤立的点）；二是利用等差数列的性质（若p n m 2=+，则
p n m a a a 2=+）求等差数列的前n 项和．
11．已知等比数列{}n a 各项都为正数，且6a 为17
23242526272829log log log log log log log a a a a a a a ++++++=（ ）
A ．27
B ．21
C ．14
D ．以上都不对 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得
64
a =
=，
2324252627282923456789log log log log log log log log a a a a a a a a a a a a a a ++++++=
77262log ()log (4)14.a ===选C ．
考点：等比数列性质
12．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且111,1++-==n n n S S a a ，则使2
2
101n
n
S nS +取得最大值时n 的值为（ ） A ．2 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】D 【解析】
1
10n n
=
+
，因为,10210≥+
n n 当且仅当10=n 时取等号，因为n 为自然数，所以根据函数的单调性可从与10=n 相邻的两个整数中求最大值，193
101,31,32
2
=+==n n n S nS S n ，132101,41,42
2
=+==n n n S nS S n ，所以最大值为19
3
，此时3=n ，故本题正确选项为D ． 考点：数列的通项，重要不等式与数列的最值．
二、填空题（每题5分，满分20分）
13．已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = ． 【答案】2 【解析】
试题分析：因为数列{}n a 为等差数列且1233a a a ++=，5679a a a ++=，所以212644=⇒=a a ；故填2．
考点：等差数列的性质．
14．设数列}{n a 的前n 项和为n S 若31=a 且12
1
1+=+n n a S 则}{n a 的通项公式为=n a ． 【答案】⎩⎨⎧≥⋅=-2
,3
41,32
n n n
【解析】
的等比数列，则⎩⎨⎧≥⋅==-2
,341
,32
n n a n n ． 考点：1．n S 与n a 的关系；2．等比数列．
【易错点晴】本题考查的是数列中的由n S 求n a ，属于容易题．本题易错点为：1--=n n n S S a 的使用
条件是2≥n ，所以求出
31
=+n
n a a 时，数列从第二项起时等比数列，必须验证当1=n 时是否成立；当2≥n 时，表示的是以4为首项，3为公比的等比数列，此时234-⋅=n n a ，很多同学会误解为134-⋅=n n a ，
从而出错．
15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，43n n a S =-，则4S = ． 【答案】20
27
【解析】
试题分析：1n =时， 1114343a S a =-=-，解得11a =．2n ≥时， 1143n n a S --=-，
()()()111434344n n n n n n n a a S S S S a ---∴-=---=-=，整理可得()13,2n n a a n -=-≥， ()11,23n n a n a -∴=-≥，{}n a ∴是首相为1公比为13-的等比数列，4
411203127
13S ⎛⎫-- ⎪
⎝
⎭∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 考点：1公式法求n a ；2等比数列的定义；3等比数列的前n 项和．
【方法点晴】本题主要考查的是数列公式()()
11,1,2n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的应用，属中档题．本题重点是应用
()()
11,1,2n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩将已知条件转化为n a 与1n a -间的关系式，根据等比数列的定义证得{}n a 为等比数列即可．
16．已知数列{}n a 满足：11a =，12
n n n a a a +=
+()n N *∈．若11
(2)(1)n n b n a λ+=-⋅+
()n N *∈，
1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】3
2
λ<
． 【解析】
当2n ≥时，由1n n b b +>得1(2)2(12)2n n n n λλ--⋅>--⋅，12n λ+<，综上2
3
λ<． 考点：数列的单调性．
【名师点睛】本题考查数列的单调性．数列作为特殊的函数可以利用函数的性质来研究其单调性，但是数列与函数也有不同，就是数列作为函数时其定义域是*N 或其子集{1,2,
,}n ，数列单调性也有其特
殊的判断法，即由1n n a a +>可判断其是递增的，由1n n a a +<能判断其是递减的，而要求数列的最大项，可以通过解不等式组1
1
n n n n a a a a +-≥⎧⎨
≥⎩得出．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112,0,2n n n n a a a a pS +=≠=+，其中p 为常数． （I ）证明：2n n a a p +-=；
（II ）是否存在p ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由．
【答案】（I ）证明见解析；（II ）存在2p =，使得数列{}n a 为等差数列． 【解析】
试题分析：（I ）11212,2n n n n n n a a pS a a pS ++++=+=+两式相减，即可化为2n n a a p +-=；（II ）由题设
11212,2a a a pS ==+，可得21a p =+．由（I ）知，22a p =+，令2122a a a =+，解得2p =，故22n n a a +-=，再证{}21n a -、 {}2n a 为等差数列，进而{}n a 为等差数列．
试题解析：（I ）由题设，11212,2n n n n n n a a pS a a pS ++++=+=+，两式相减得：()121n n n n a a a pa +++-=，由于10n a +≠，所以n 2n a a p +-=．
考点：1．等差数列的定义；2．公式1(2)n n n a S S n -=-≥的应用．
18．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知132,,S S S 成等差数列，且133a a -=． （I ）求{}n a 的公比q 及通项公式n a ； （II ）n n
n
b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（I ）12q =-；1
142n n a -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
；（II ）()()31213636
n
n n T +-=-
． 【解析】
试题分析：（I ）根据数列
{}
n a 是等比数列， 132,,S S S 成等差数列，可得
()()21111112a a a q a a q a q ++=++，解得1
2
q =-
；又133a a -=，解得1=4a ；代入等比数列的通项公式，得1
142n n a -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
；（II ）由n n n
b a =得()1
24
n n n b --=
，再利用叠加法求得数列的前n 项和n T ．
（II ）()1
24
n n n n n b a --=
=，
+…+n ×（﹣2）n ﹣
1]，
﹣2T n =[1×（﹣2）+2×（﹣2）2+3×（﹣2）3+…+n ×（﹣2）n ]， 两式相减，得：
3T n =[1+（﹣2）+（﹣2）2+…+（﹣2）n ﹣
1﹣n ×（﹣2）n ]=[
]，
∴()()31213636n
n n T +-=-．
考点：等差数列和等比数列的性质；等比数列的通项公式及求和公式的应用．
19．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()12--=n n na S n n ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且3352b T T +=．
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）求数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n M ．
【答案】（I ）4-3n a n =；（II ）n M 111-441n ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
． 【解析】
试题分析：（I ）首先根据已知条件5352b T T +=可求出数列{}n a 的首项，然后运用递推关系
()1-2-n n na S n n =并结合1n n n a S S -=-，即可得出求出的结果；（II ）根据（I ）可知数列
()()1114-341n n a a n n +=+，将其变形可得111-44-34n 1n ⎛⎫
⎪+⎝⎭，然后将其进行求和即可得出数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n M ，进而即可得出证明的结果．
（II ）()()⎪⎭⎫
⎝⎛+=+=+14n 1-3-4141143-41
11n n n a a n n
⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=
∴141-3-41.........131-9191-5151-141n n M n 111-441n ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
． 考点：1、由数列递推公式求数列的通项公式；2、裂项相消法求和．
【方法点睛】本题主要考查由数列递推公式求数列的通项公式和裂项相消法求和，考查学生对数列的基本概念和基本性质的应用，属中档题．其解题的关键有两点：其一是正确地利用递推公式
1n n n a S S -=-求
数列的通项公式，尤其主要首项的求解和验证；其二是合理地对通项进行变形并熟练地运用裂项求和法求出数列的前n 项和．
20．已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若2log n n n b a a =，12n n s b b b =+++，求12500n n s n +-⋅+<成立的正整数n 的最小值．
【答案】（I ）2n n a =；（II ）5． 【解析】
试题分析：（I ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由 3242(2)a a a +=+且23428a a a ++=可列出关于1a 、q 的方程组，解出1a 、q 即可求出{}n a 的通项公式；（II ）由（I ）得22log 22n n n n b n ==⋅，
{}n b 的通项公式是一个等比数列和一个等差数列的积，所以可以用“错位相减求和”来求前n 项和．
试题解析：（I ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，依题意有：3242(2)a a a +=+，代入
23428a a a ++=，得38a = ∴3
112
3120
8a q a q a a q ⎧+=⎪⎨==⎪⎩解之得122a q =⎧⎨=⎩或13212
a q =⎧⎪⎨=⎪⎩又∵{}n a 单调递增，∴12a =，2q =，∴2n n a = ．
由12500n n s n +-⋅+<得1
2
520n +-+<，∴1252n +>．
又当4n ≤时，15223252n +≤=<，当5n ≥时，16226452n +≥=>
故使12500n n s n +-⋅+<成立的正整数n 的最小值为 5．
考点：1、等比数列和等差数列的通项；2、错位相减法求数列的通项．
【方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的通项，属于中档题．一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解， 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．
21．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()12--=n n na S n n ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且3352b T T +=．
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）设数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n M ，求证：4151<≤n M ． 【答案】（I ）4-3n a n =；（II ）()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=+14n 1-3-4141143-4111n n n a a n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=∴141-3-41.........131-9191-5151-141n n M n 4
1141-141<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n ，当1≥n 时，易知n M 为递增数列，51≥
∴n M ，即4151<≤n M ． 【解析】
前n 项和为n M ，进而即可得出证明的结果．
试题解析：（I ）5352b T T +=，5
35432b T b b T +=++∴，54b b =∴ 11=∴a 因为 ()1-2-n n na S n n =，()()()2-1-2-1-,21-1-n n a n S n n n =≥∴，
()()1-4-1--,21-n a n na a n n n n =≥∴ 即2≥n 时，有4-1-=n n a a ，{}n a ∴为等差数列，公差为4，
首项为13-4n a n
=∴．
（II ）()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=+14n 1-3-4141143-4111n n n a a n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=∴141-3-41.........131-9191-5151-141n n M n 4
1141-141<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n 当1≥n 时，易知n M 为递增数列，51≥
∴n M ，即4151<≤n M ． 考点：1、由数列递推公式求数列的通项公式；2、裂项相消法求和．
【方法点睛】本题主要考查由数列递推公式求数列的通项公式和裂项相消法求和，考查学生对数列的基本概念和基本性质的应用，属中档题．其解题的关键有两点：其一是正确地利用递推公式1n n n a S S -=-求数列的通项公式，尤其主要首项的求解和验证；其二是合理地对通项进行变形并熟练地运用裂项求和法求出数列的前n 项和．
22．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其中11a =，且
*1()n n n S a n N a λ+=∈， （Ⅰ）求常数λ的值，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记3n n n
a b =，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求最小的正整数k ，使得对任意的n k ≥，都有31||44n T n
-<成立． 【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）4．
【解析】
1235141,1,1,39
d d d =>=>=结合单调性解不等式：当4n ≥时，恒有1n d <，所以所求的最小正整数k 为4．
试题解析：（Ⅰ）由11,a =及1n n n
S a a λ+=得2311,1a a λλ==+，所以111222λλλ⋅=+⇒= 22,1a d ⇒==，n a n ⇒= （Ⅱ）3n n n b =，用错位相减法求得323443n n n T +=-⋅，要使3231||4434n n n T n +-=<⋅，即(23)13n
n n +<， 记(23)3n n n n d +=，则2111
(1)(25)(23)4250333n n n n n n n n n n n d d ++++++--+-=-=<1n n d d +⇒<即{}n d 单调递减， 又易得1235141,1,1,39d d d =
>=>=故当4n ≥时，恒有1n d <，所以所求的最小正整数k 为4．
考点：错位相减法，等差数列性质，利用数列单调性解不等式．。