晴隆县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

晴隆县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x +=-,且在区间[0,2]上是增函数，则 A 、(25)(11)(80)f f f -<< B 、(80)(11)(25)f f f <<- C 、(11)(80)(25)f f f <<- D 、(25)(80)(11)f f f -<< 2． 设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β
D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α
3． 不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ） A ．a ＜0，△＜0 B ．a ＜0，△≤0
C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
4． 若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是（ ）] A ．1=x B ．1-=x C ．2=x D ．2-=x 5． 已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α
B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α
C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β
D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β
6． 487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3
的系数为（ ）
A ．4320
B ．﹣4320
C ．20
D ．﹣20
7． 已知定义在R 上的可导函数y=f （x ）是偶函数，且满足xf ′（x ）＜0， =0，则满足
的x 的范围为（ ）
A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）
B ．（，1）∪（1，2）
C ．（，1）∪（2，+∞）
D ．（0，）∪（2，+∞）
8． 已知复数z 满足：zi=1+i （i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．﹣i B ．i C ．1
D ．﹣1
9． 为了得到函数y=cos （2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x 的图象上所有的点（ ）
A ．向左平移个单位长度
B ．向右平移个单位长度
C ．向左平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度
10．已知数列，则5是这个数列的（ ） A ．第12项
B ．第13项
C ．第14项
D ．第25项
11．双曲线E 与椭圆C ：x 29＋y 2
3＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
为π，则E 的方程为（ ） A.x 23－y 2
3＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 25－y 2
＝1 D.x 22－y 2
4
＝1
12．若椭圆+
=1的离心率e=
，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．
或
C ．
D ．3或
二、填空题
13．记等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，若a 4•a 5=2，则Π8= ． 14．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 15．观察下列等式 1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49 …
照此规律，第n 个等式为 ．
16．过点（0，1）的直线与x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为 ．
17．过椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则
椭圆的离心率为 ．
18．设,x y 满足条件,
1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩
，若z ax y =-有最小值，则a 的取值范围为 ．
三、解答题
19．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
20．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如下
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．21．斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
22．已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
23．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=ax++b（a＞0）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，求a，b的值．
24．（理）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．
晴隆县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】∵(4)()f x f x +=-，∴(8)(4)f x f x +=-+，∴(8)()f x f x +=， ∴()f x 的周期为8，∴(25)(1)f f -=-，)0()80(f f =，
(11)(3)(14)(1)(1)f f f f f ==-+=--=，
又∵奇函数)(x f 在区间[0,2]上是增函数，∴)(x f 在区间[2,2]-上是增函数， ∴(25)(80)(11)f f f -<<，故选D. 2． 【答案】D
【解析】解：A 不对，由面面平行的判定定理知，m 与n 可能相交，也可能是异面直线；B 不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C 不对，由面面垂直的性质定理知，m 必须垂直交线； 故选：
D ．
3． 【答案】A
【解析】解：∵不等式ax 2
+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，
∴a ＜0，
且△=b 2
﹣4ac ＜0，
综上，不等式ax 2
+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为的条件是：a ＜0且△＜0．
故选A ．
4． 【答案】A 【解析】
试题分析：∵函数)1(+=x f y 向右平移个单位得出)(x f y =的图象，又)1(+=x f y 是偶函数，对称轴方程为0=x ，∴)(x f y =的对称轴方程为1=x .故选A ． 考点：函数的对称性. 5． 【答案】D
【解析】解：在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误； 在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误； 在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；
在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确． 故选：D ．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
6．【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7=﹣+…+﹣1，
∵487被7除的余数为a（0≤a＜7），
∴a=6，
∴展开式的通项为T r+1=，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3，
∴展开式中x﹣3的系数为=﹣4320，
故选：B．.
7．【答案】D
【解析】解：当x＞0时，由xf′（x）＜0，得f′（x）＜0，即此时函数单调递减，
∵函数f（x）是偶函数，
∴不等式等价为f（||）＜，
即||＞，即＞或＜﹣，
解得0＜x＜或x＞2，
故x的取值范围是（0，）∪（2，+∞）
故选：D
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
8．【答案】D
【解析】解：由zi=1+i，得，
∴z的虚部为﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
9．【答案】A
【解析】解：∵，故将函数y=cos2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数y=cos （2x+1）的图象， 故选：A ．
【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】
由题知，通项公式为，令
得
，故选B
答案：B
11．【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
渐近线方程为y ＝±b
a
x ，即bx ±ay ＝0，
由题意得E 的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即
|6b |b 2
＋a
2
＝1，
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝5，
∴E 的方程为x 25－y 2
＝1，故选C.
12．【答案】D
【解析】解：当椭圆+
=1的焦点在x 轴上时，a=，b=
，c=
由e=，得=，即m=3
当椭圆+
=1的焦点在y 轴上时，a=
，b=，c=
由e=，得=，
即m=．
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x 轴和y 轴进行分类讨论．
二、填空题
13．【答案】16．
【解析】解：∵等比数列{a n}的前n项积为Πn，
∴Π8=a1•a2a3•a4•a5a6•a7•a8=（a4•a5）4=24=16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．
14．【答案】BC
【解析】
【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．
【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离
d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集
合，
A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；
C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；
D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，
故本命题不正确．
故答案为：BC．
15．【答案】n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．
【解析】解：观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2
左边的式子的项数与右边的底数一致，
每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，
照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，
故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2
【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．
16．【答案】2
【解析】解：∵x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，
∴点（0，1）到圆心O（0，0）的距离d=1，
∴点（0，1）在圆内．
如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，
∴|AB|min=2=2．
故答案为：2．
17．【答案】
．
【解析】解：由题意知点P 的坐标为（﹣c
，）或（﹣c
，﹣），
∵∠F 1PF 2=60°，
∴
=
， 即
2ac=b 2=
（a 2﹣c 2
）．
∴e 2+2e
﹣=0， ∴
e=
或e=
﹣
（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．
18．【答案】[1,)+∞ 【解析】解析：不等式,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩表示的平面区域如图所示，由z ax y =-得y ax z =-，当01a ≤<时，
平移直线1l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≥时，平移直线2l 可知，在点A 处z 取得最小值；当10a -<<时，平移直线3l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≤-时，平移直线4l 可知，在点A 处z 取得最大值，综上所述，1a ≥．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．
又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，
∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=，
于是在Rt△BEM中，
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．
（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，
事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，
因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，
因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E 共面，所以BG⊂平面A1BE
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且
FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．
由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．
由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：
（C，D）（C，E），（D，E）共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏，是基础题．
21．【答案】
【解析】解：设直线l的倾斜解为α，则l与y轴的夹角θ=90°﹣α，
cotθ=tanα=2，
∴sinθ=，
|AB|==40．
线段AB的长为40．
【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法，解题时要注意公式|AB|=的灵活运用．
22．【答案】
【解析】解：（1）由a n+1=，可得a2==，
a3===，
a4===．
（2）猜测a n=（n∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，
右边==a，猜测成立．
②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，
即a k=．
则当n=k+1时，a k+1==
==
．
故当n=k+1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n∈N*都有a n=成立．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=ax++b≥2+b=b+2
当且仅当ax=1（x=）时，f（x）的最小值为b+2
（Ⅱ）由题意，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，可得：
f（1）=，∴a++b=①
f'（x）=a﹣，∴f′（1）=a﹣=②
由①②得：a=2，b=﹣1
24．【答案】
【解析】解：（1）由f'（x）=ln（x+1）+1≥0得，∴f（x）的增区间为，减区间为
．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax．“不等式f（x）≥ax在x≥0时恒成立”⇔“g（x）≥g（0）在x≥0时恒成立．”g'（x）=ln（x+1）+1﹣a=0⇒x=e a﹣1﹣1．
当x∈（﹣1，e a﹣1﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数．
当x∈（e a﹣1﹣1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．
“g（x）≥0在x≥0时恒成立”⇔“e a﹣1﹣1≤0”，即e a﹣1≤e0，即a﹣1≤0，即a≤1．
故a的取值范围是（﹣∞，1]．。