麻山区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

麻山区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知向量=（1，），=（
，x ）共线，则实数x 的值为（ ）
A ．1
B ．
C ．
tan35°
D ．tan35°
2． 设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）
A ．-2或-1
B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-1
3． 一个算法的程序框图如图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（ ）
A ．i ≤5？
B ．i ≤4？
C ．i ≥4？
D ．i ≥5？
4． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：
“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为
1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈
B ．5立方丈
C ．6立方丈
D ．8立方丈
5． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，
=（2，4），=（1，3），则等于（ ）
A ．（2，4）
B ．（3，5）
C ．（﹣3，﹣5）
D ．（﹣2，﹣4）
6． 已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣y 的最小值为（ ）
A ．﹣2
B ．5
C ．6
D ．7
7． 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（ ） A ．90种 B ．180种
C ．270种
D ．540种
8． 在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22
ABC AA BC BAC π
=∠=，，,此三棱
柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A ．
323π B ．16π C.253π D ．312
π
9． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大
值为O 的体积为（ ）
A ．81π
B ．128π
C ．144π
D ．288π
【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
11．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或 B ． {}
|3003x x x -<<<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ． {}
|303x x x <-<<或
12．经过两点
，
的直线的倾斜角为（ ）
A ．120°
B ．150°
C ．60°
D ．30°
二、填空题
13．在（1+x ）（x 2+）6的展开式中，x 3的系数是 ． 14．在复平面内，复数与
对应的点关于虚轴对称，且
，则
____．
15．定义)}(),(min{x g x f 为)(x f 与)(x g 中值的较小者，则函数},2min{)(2x x x f -=的取值范围是
16．若
与
共线，则y= ．
17．若函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a的取值范围是．
18．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为．
三、解答题
19．有编号为A1，A2，…A10的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：
编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10
直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47
其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．
（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个．
（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率．
20．（1）直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；（2）已知A（﹣2，4），B（4，0），且AB是圆C的直径，求圆C的标准方程．
21．在平面直角坐标系xOy中．己知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；
（2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求∠AOB的值．
22．已知，且．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）若，求sinβ的值．
23．已知椭圆，过其右焦点F且垂直于x轴的弦MN的长度为b．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知点A的坐标为（0，b），椭圆上存在点P，Q，使得圆x2+y2=4内切于△APQ，求该椭圆的方程．
24．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为120°．
（1）求及|+|；
（2）设向量+与﹣的夹角为θ，求cosθ的值．
麻山区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵向量=（1，），=（
，x ）共线，
∴x==
==
，
故选：B ．
【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题．
2． 【答案】D 【解析】
试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以
422
2
4==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.
考点：等比数列的性质.
3． 【答案】 B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 i=1，sum=0，s=0
满足条件，i=2，sum=1，s=
满足条件，i=3，sum=2，s=+
满足条件，i=4，sum=3，s=++
满足条件，i=5，sum=4，s=
+
+
+
=1﹣+﹣+﹣+﹣=．
由题意，此时不满足条件，退出循环，输出s 的，则判断框中应填入的条件是i ≤4． 故选：B ．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
4． 【答案】 【解析】解析：
选B.如图，设E 、F 在平面ABCD 上的射影分别为P ，Q ，过P ，Q 分别作GH ∥MN ∥AD 交AB 于G ，M ，交DC 于H ，N ，连接EH 、GH 、FN 、MN ，则平面EGH 与平面FMN 将原多面体分成四棱锥E -AGHD 与四棱锥F -MBCN 与直三棱柱EGH -FMN .
由题意得GH ＝MN ＝AD ＝3，GM ＝EF ＝2，
EP ＝FQ ＝1，AG ＋MB ＝AB －GM ＝2，
所求的体积为V ＝13（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝13×（2×3）×1＋1
2×3×1×2＝5立方丈，故选B.
5． 【答案】C
【解析】解：∵，
∴=
=（﹣3，﹣5）．
故选：C ．
【点评】本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力．
6． 【答案】A
【解析】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件
的可行域，
由
得A （3，5），
当直线z=x ﹣y 平移到点A 时，直线z=x ﹣y 在y 轴上的截距最大，即z 取最小值， 即当x=3，y=5时，z=x ﹣y 取最小值为﹣2． 故选A ．
7．【答案】D
【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42=540种．故选D．
8．【答案】A
【解析】
考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 9． 【答案】A
【解析】解：几何体如图所示，则V=
，
故选：A ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．
10．【答案】D
【解析】当OC ⊥平面AOB 平面时，三棱锥O ABC -的体积最大，且此时OC 为球的半径．设球的半径为R ，
则由题意，得211sin 6032R R ⨯⨯︒⋅=6R =，所以球的体积为34
2883
R π=π，故选D ． 11．【答案】B 【解析】
试题分析：因为()f x 为奇函数且()30f -=，所以()30f =，又因为()f x 在区间()0,+∞上为增函数且()30f =，所以当()0,3x ∈时，()0f x <，当()3,x ∈+∞时，()0f x >，再根据奇函数图象关于原点对称
可知：当()3,0x ∈-时，()0f x >，当(),3x ∈-∞-时，()0f x <，所以满足()0x f x ⋅<的x 的取值范围是：()3,0x ∈-或()0,3x ∈。

故选B 。

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。

12．【答案】A
【解析】解：设经过两点，
的直线的倾斜角为θ，
则tan θ=
=﹣
，
∵θ∈[0°，180°）， ∴θ=120°． 故选：A ．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】20．
【解析】解：（1+x）（x2+）6的展开式中，
x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；
又（x2+）6的展开式中，
通项公式为T r+1=•x12﹣3r，
令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意；
令12﹣3r=2，解得r=，不合题意，舍去；
所以展开式中x3的系数是=20．
故答案为：20．
14．【答案】-2
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】由题知：
所以
故答案为：-2
-∞
15．【答案】(],1
【解析】
试题分析：函数(){}2
=-的图象如下图：
min2,
f x x x
观察上图可知：()f x 的取值范围是(],1-∞。

考点：函数图象的应用。

16．【答案】 ﹣6 ．
【解析】解：若与
共线，则2y ﹣3×（﹣4）=0
解得y=﹣6 故答案为：﹣6
【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y 的方程，是解答本题的关键．
17．【答案】 {a|或} ．
【解析】解：∵二次函数f （x ）=x 2
﹣（2a ﹣1）x+a+1 的对称轴为 x=a ﹣，
f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，
∴a ﹣≥2，或a ﹣≤1，∴a ≥，或 a ≤，
故答案为：{a|a ≥，或 a ≤}．
【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．
18．【答案】 70 ．
【解析】解：根据题意二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，
则n=8，
所以二项式
=
展开式的通项为
T r+1=（﹣1）r C 8r x 8﹣2r 令8﹣2r=0得r=4 则其常数项为C 84
=70
故答案为70．
【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个．
设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P（A）==；
（Ⅱ）（i）一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6．
从这6个一等品零件中随机抽取2个，
所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，
{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，
{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}共有15种．
（ii）“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B
B的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，
{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．
∴P（B）=．
【点评】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．
20．【答案】
【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；
当a≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a﹣2），（，0）．
∵直线l在两坐标轴上的截距相等，
∴a﹣2=，解得a=2或a=0；
（2）∵A（﹣2，4），B（4，0），
∴线段AB的中点C坐标为（1，2）．
又∵|AB|=，
∴所求圆的半径r=|AB|=．
因此，以线段AB为直径的圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴直线l的普通方程为．
∵曲线C的极坐标方程是ρ=4，∴ρ2=16，
∴曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=16．
（2）⊙C的圆心C（0，0）到直线l：+y﹣4=0的距离：
d==2，
∴cos，
∵0，∴，
∴．
22．【答案】
【解析】解：（1）将sin+cos=两边平方得：（sin+cos）2=sin2+2sin cos+cos2=1+sinα=，
∴sinα=，
∵α∈（，π），
∴cosα=﹣=﹣；
（2）∵α∈（，π），β∈（0，），
∴α+β∈（，），
∵sin（α+β）=﹣＜0，
∴α+β∈（π，），
∴cos（α+β）=﹣=﹣，
则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=+=．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设F（c，0），M（c，y1），N（c，y2），
则，得y1=﹣，y2=，
MN=|y1﹣y2|==b，得a=2b，
椭圆的离心率为：==．
（Ⅱ）由条件，直线AP、AQ斜率必然存在，
设过点A且与圆x2+y2=4相切的直线方程为y=kx+b，转化为一般方程kx﹣y+b=0，
由于圆x2+y2=4内切于△APQ，所以r=2=，得k=±（b＞2），
即切线AP、AQ关于y轴对称，则直线PQ平行于x轴，
∴y Q=y P=﹣2，
不妨设点Q在y轴左侧，可得x Q=﹣x P=﹣2，
则=，解得b=3，则a=6，
∴椭圆方程为：．
【点评】本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．
24．【答案】
【解析】解：（1）=；
∴=；
∴；
（2）同理可求得；
；
∴=．
【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，根据求的方法，以及向量夹角余弦的计算公式．。