颍东区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

颍东区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（ ） A ．1或﹣3 B ．﹣1或3 C ．1或3
D ．﹣1或﹣3
2． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2
cos α的值为（ ）
A ．
12+
B ．12 C. 34 D ．0
3． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（ ）
A ．M ＞N ＞P
B ．P ＜M ＜N
C ．N ＞P ＞M
4． 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程
y=3﹣5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a 必过；④在吸烟
与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某
人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5． 如图，设全集U=R ，M={x|x ＞2}，N={0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A ．{3}
B ．{0，1}
C ．{0，1，2}
D ．{0，1，2，3}
6． 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，
N ，P 的关系（ ）
A ．M P N =⊆
B ．N P M =⊆
C ．M N P =⊆
D ．M P N ==
7． 为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（ ）
A ．向左平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C ．向左平移
个长度单位
D ．向右平移
个长度单位
8． 已知f （x ）=2sin （ωx+φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的表达式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 若函数f （x ）的定义域为R ，则“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f （7）=6，则f （x ）（ ） A ．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6 B ．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6 C ．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6 D ．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
11．已知点F 1，F 2为椭圆
的左右焦点，若椭圆上存在点P 使得
，
则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．（0，）
B ．（0，]
C ．（，]
D ．[，1）
12．已知a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为M ，则“a=0”是“点M 在第四象限”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ． 14．若函数f （x ）=3sinx ﹣4cosx ，则f ′（）= ．
15．下列命题：
①集合{},,,a b c d 的子集个数有16个；
②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；
③2()(21)2(21)f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数； ④A R =，B R =，1
:||
f x x →，从集合A 到集合B 的对应关系f 是映射； ⑤1
()f x x
=
在定义域上是减函数． 其中真命题的序号是 ．
16．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=
，且|ω|=5
，则复数ω= ．
17．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．
18．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()ln R x
f x x a a x =+-∈，若曲线122e e 1
x x y +=+（e 为自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围为__________.
三、解答题
19．.已知定义域为R 的函数f （x ）=是奇函数．
（1）求a 的值；
（2）判断f （x ）在（﹣∞，+∞）上的单调性．（直接写出答案，不用证明）；
（3）若对于任意t ∈R ，不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2
﹣k ）＜0恒成立，求k 的取值范围．
20．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，asinAsinB+bcos 2A=
a ．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若c 2
=b 2
+
a 2，求B ．
21．已知等比数列中，。

（1）求数列的通项公式;
（2）设等差数列中，
，求数列
的前项和
.
22．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （1）求证：//AB EF ；
（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余 弦值．
【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线垂直的判定，二面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想.
23．【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数()(),,x
f x e
g x x m m R ==-∈.
（1）若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求实数m 的值； （2）记()()()h x f x g x =⋅，求()h x 在[]
0,1上的最大值； （3）当0m =时，试比较()
2f x e -与()g x 的大小.
24．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用
7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．
（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；
（Ⅱ）设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望．
颍东区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，
所以=≠，
解得a=﹣3，或a=1．
故选：A．
2．【答案】B
【解析】
考点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.
3．【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，
∴1＜2a＜2，＜5﹣b＜1，＜（）c＜1，
5﹣b=（）b＞（）c＞（）c，
即M＞N＞P，
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．4．【答案】C
【解析】解：对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；
对于②，设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y应平均减少5个单位，②错误；
对于③，线性回归方程y=bx+a必过样本中心点，正确；
对于④，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，
我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病，错误； 综上，其中错误的个数是2． 故选：C ．
5． 【答案】C
【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁M ∩N ， ∵全集U=R ，M={x|x ＞2}，N={0，1，2，3}， ∴∁M ={x|x ≤2}， ∴∁M ∩N={0，1，2}， 故选：C
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键．
6． 【答案】A 【解析】
试题分析：通过列举可知{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±±，所以M P N =⊆.
考点：两个集合相等、子集．1 7． 【答案】A
【解析】解：∵
，
只需将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位得到函数
的图象．
故选A ．
【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．
8． 【答案】 B
【解析】解：∵函数的周期为T==
，
∴ω=
又∵函数的最大值是2，相应的x 值为
∴
=
，其中k ∈Z
取k=1，得φ=
因此，f （x ）的表达式为，
故选B
【点评】本题以一个特殊函数求解析式为例，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、三角函数的图象与性质，周期与相位等概念，属于基础题．
9．【答案】A
【解析】解：由奇函数的定义可知：若f（x）为奇函数，
则任意x都有f（﹣x）=﹣f（x），取x=0，可得f（0）=0；
而仅由f（0）=0不能推得f（x）为奇函数，比如f（x）=x2，
显然满足f（0）=0，但f（x）为偶函数．
由充要条件的定义可得：“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0””的充分不必要条件．
故选：A．
10．【答案】D
【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6，
∵函数f（x）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6，
故选：D
11．【答案】D
【解析】解：由题意设=2x，则2x+x=2a，
解得x=，故||=，||=，
当P与两焦点F1，F2能构成三角形时，由余弦定理可得
4c2=+﹣2×××cos∠F1PF2，
由cos∠F1PF2∈（﹣1，1）可得4c2=﹣cos∠F1PF2∈（，），
即＜4c2＜，∴＜＜1，即＜e2＜1，∴＜e＜1；
当P与两焦点F1，F2共线时，可得a+c=2（a﹣c），解得e==；
综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[，1）
故选：D
【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想，属中档题．
12．【答案】A
【解析】解：若a=0，则z=﹣2i （1+i ）=2﹣2i ，点M 在第四象限，是充分条件，
若点M 在第四象限，则z=（a+2）+（a ﹣2）i ，推出﹣2＜a ＜2，推不出a=0，不是必要条件； 故选：A ．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．
二、填空题
13．【答案】 ﹣2 ．
【解析】解：由（1﹣2i ）（a+i ）=（a+2）+（1﹣2a ）i 为纯虚数，
得
，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
14．【答案】 4 ．
【解析】解：∵f ′（x ）=3cosx+4sinx ， ∴f ′（
）=3cos
+4sin
=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握求导公式是关键，属于基础题．
15．【答案】①② 【解析】
试题分析：子集的个数是2n
，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③()2
41f x x =-为偶函数，故错误.
对于④0x =没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2n
个；对于
奇函数来说，如果在0x =处有定义，那么一定有()00f =，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要根据定义()()()(),f x f x f x f x -=-=-，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A 中任意一个
元素在集合B 中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1 16．【答案】 ±（7﹣i ） ．
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，
∴．
又ω
=
=
=，|ω
|=，
∴
．
把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=
±=±（7﹣i）．
故答案为±（7﹣i）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
17．【答案】30°．
【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则
EG DC=2，
GF AB=1，
故∠GEF即为EF与CD所成的角．
又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．
故答案为：30°
【点评】此题的关键是作出AD的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．
18．【答案】
1
,
e
⎛⎤
-∞
⎥
⎝⎦
【解析】结合函数的解析式：
1
2
2e
e1
x
x
y
+
=
+
可得：
()
()
12
2
2
21
'
1
x x
x
e e
y
e
+-
=
+
，
令y′=0，解得：x=0，
当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0，
则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减，
则当x=0时，取最大值，最大值为e，
∴y 0的取值范围（0，e ]，
结合函数的解析式：()()R lnx
f x x a a x =+-∈可得：()22ln 1'x x f x x
-+=， x ∈（0，e ），()'0f x >， 则f （x ）在（0，e ）单调递增， 下面证明f （y 0）=y 0．
假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0． 同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0． 综上可得：f （y 0）=y 0．
令函数()ln x
f x x a x x =
+-=． 设()ln x g x x =，求导()2
1ln 'x
g x x -=，
当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0， g （x ）在（0，e ）单调递增， 当x =e 时取最大值，最大值为()1g e e
=， 当x →0时，a →-∞， ∴a 的取值范围1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）因为f （x ）为R 上的奇函数
所以f （0）=0即=0，
∴a=1 …
（2）f （x ）=
=﹣1+
，在（﹣∞，+∞）上单调递减…
（3）f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0⇔f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ）=f （﹣2t 2
+k ），
又f （x ）=在（﹣∞，+∞）上单调递减，
∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，
即3t2﹣2t﹣k＞0恒成立，
∴△=4+12k＜0，
∴k＜﹣．…（利用分离参数也可）．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2
AsinB+sinBcos2A=sinA，
即sinB（sin2
A+cos2A）=sinA
∴sinB=sinA，=
（Ⅱ）由余弦定理和C2
=b2+a2，得cosB=
由（Ⅰ）知b2
=2a2，故c2=（2+）a2，
可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=
所以B=45°
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．
21．【答案】
【解析】
解：（1）设等比数列的公比为
由已知，得，解得
（2）由（1）得
设等差数列的公差为，则，解得
22．【答案】
【解析】
∵BG ⊥平面PAD ，∴)0,3,0(=GB 是平面PAF 的一个法向量，
23．【答案】（1）1m =-；（2）当1e m e <-时，()()max 1h x m e =-；当1
e m e ≥-时，()max h x m =-；（3）()
()2f x e
g x ->.
【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m 的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．
试题解析：（1）设曲线()x
f x e =与()
g x x m =-相切于点()00,P x y ， 由()x
f x e '=，知0
1x e
=，解得00x =，
又可求得点P 为()0,1，所以代入()g x x m =-，得1m =-.
（2）因为()()x
h x x m e =-，所以()()()()
[]1,0,1x x x
h x e x m e x m e x =+-=∈'--.
①当10m -≤，即1m ≤时，()0h x '≥，此时()h x 在[]
0,1上单调递增， 所以()()()max 11h x h m e ==-；
②当011m <-<即12m <<，当()0,1x m ∈-时，()()0,h x h x '<单调递减， 当()1,1x m ∈-时，()()0,h x h x '>单调递增，()()()0,11h m h m e =-=-.
（i ）当()1m m e -≥-，即21
e
m e ≤<-时，()()max 0h x h m ==-； （ii ）当()1m m e -<-，即11
e
m e <<-时，()()()max 11h x h m e ==-；
③当11m -≥，即2m ≥时，()0h x '≤，此时()h x 在[]0,1上单调递减，
所以()()min 0h x h m ==-. 综上，当1
e
m e <-时，()()max 1h x m e =-； 当1
e
m e ≥
-时，()max h x m =-. （3）当0m =时，()
()2
2,x f x e e
e g x x --==， ①当0x ≤时，显然()()2
f x e
g x ->；
②当0x >时，()
()2
22ln ln ,ln ln x f x e
x e e e g x x ---===，
记函数()2
21
ln ln x x x e
x e x e
φ-=-=
⨯-， 则()2
2111x x x e e e x x
φ-=⨯-=-'，可知()x φ'在()0,+∞上单调递增，又由()()10,20φφ''知，()x φ'在
()0,+∞上有唯一实根0
x ，且012x <<，则()020010x x e x φ--'==，即02
1x e x -=（*）， 当()00,x x ∈时，()()0,x x φφ'<单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x φφ'>单调递增， 所以()()02
00ln x x x e x φφ-≥=-，
结合（*）式02
1
x e
x -=
，知002ln x x -=-， 所以()()()2
200000000
1211
20x x x x x x x x x φφ--+≥=+-==>， 则()2
ln 0x x e x φ-=->，即2ln x e x ->，所以2
x e e x ->.
综上，()
()2f x e
g x ->.
试题点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小． 24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A ，B ， ∵
甲队第5，6
场获胜的概率均为，第7
场获胜的概率为
， ∴
，
，
∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为和．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7，
∴，P（X=6）=，P（X=7）=，∴随机变量X的分布列为
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．。