人教中考数学培优易错试卷(含解析)之二次函数

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=5
2
时，四边形AOPE面积最大，最大值为
75
8
.（3）P
点的坐标为：P13+515
2
-
），P2（
35
2
，
1+5
2
），P3（
5
2
，
1+5
2
），
P455
-15
-
.
【解析】
分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，
∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，
=1
2
×3×3+
1
2
PG•AE，
=9
2
+
1
2
×3×（-m2+5m-3），
=-3
2
m2+
15
2
m，
=32（m-52）2+758， ∵-
32＜0， ∴当m=52
时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，
∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，
易得△OMP ≌△PNF ，
∴OM=PN ，
∵P （m ，m 2-4m+3），
则-m 2+4m-3=2-m ，
解得：m=5+5或55-， ∴P 的坐标为（
5+5，1+5）或（55-，15-）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，
同理得△ONP ≌△PMF ，
∴PN=FM ，
则-m 2+4m-3=m-2，
解得：x=3+5或352； P
的坐标为（3+5，152-）或（352，1+52
）； 综上所述，点P 的坐标是：（
5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+5，15-）或（352，1+5）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
2．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．
（1）求点B ，C 的坐标；
（2）判断△CDB 的形状并说明理由；
（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；
(Ⅲ)22333(0)221933(3)2
22t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】
【分析】
（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标．
（2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：
①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32
＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】
解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()2
1y x c =--+上， ∴()2
011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()2
14y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；
令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .
(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：
由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.
如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，
则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.
过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=；
在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=；
在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =
+=+=.
∵222BC CD BD +=，
∴CDB ∆为直角三角形.
(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，
∵()()3,0,0,3B C ，
∴303k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得1,3k b =-=，
∴3y x =-+，
直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，
∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；
设直线BD 的解析式为y mx n =+，
∵()()3,0,1,4B D ，
∴304
m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+.
连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 在COB ∆向右平移的过程中：
(1)当302
t <≤时，如答图2所示：
设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.
设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩
， ∴()3,2F t t -.
111222
QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222
t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332
t <<时，如答图3所示：
设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .
∵CQ t =，
∴KQ t =，3PK PB t ==-.
直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-，
∴(),62J t t -.
1122
PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322
t t t =---- 219322
t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：22333022193332
22t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.
3．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .
（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4
D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.
【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102
b <<时，12y y >；②当12b =
时，12y y =；③当1425
b <<时，12y y < 【解析】
【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)
又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =
∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+
∴当0y =时，得15=x ，21x =-
∴(5,0)A
代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-
（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，
∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+
解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴点421(,)55
E ，(0,1)
F ∵点M 在AOB ∆内，∴405
b << 当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b -
=-，∴12b =
且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上
综上：①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y <.
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.
4．如图1，在矩形ABCD 中，DB ＝6，AD ＝3，在Rt △PEF 中，∠PEF ＝90°，EF ＝3，PF ＝6，△PEF （点F 和点A 重合）的边EF 和矩形的边AB 在同一直线上．现将Rt △PEF 从A 以每秒1个单位的速度向射线AB 方向匀速平移，当点F 与点B 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，解答下列问题：
（1）如图1，连接PD ，填空：PE ＝ ，∠PFD ＝ 度，四边形PEAD 的面积是 ；
（2）如图2，当PF 经过点D 时，求△PEF 运动时间t 的值；
（3）在运动的过程中，设△PEF 与△ABD 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围．
【答案】（1）300，
9+932
；（233）见解析. 【解析】 分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE 的长，再根据梯形的面积公式求解.
（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得3
（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t 3时，3＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可.
详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6
∴sin ∠P=
1=2
EF PF ∴∠P=30°
∵PE ∥AD
∴∠PAD=300，
根据勾股定理可得
所以S 四边形PEAD =12×（+3）×3=92
+； （2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，
在Rt △ADF 中，由AD=3，得 ；
（3）分三种情况讨论：
①当0≤t PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，t ，∴S=122
；
②＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴-t ，S △ABD ，
∵∠FBK=∠FKB
，∴，KH=KF×sin600,∴S=S △ABD ﹣S △FBK
=292t +
③当PE 与BD 交O ，PF 交BD 于K ，∵AF=t ，∴AE=t-3，
-t+3，OE=BE×tan300=3+，∴S=2336-1224
--++． 点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.
5．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m ．
①当∠MBA ＝∠BDE 时，求点M 的坐标；
②过点M 作MN ∥x 轴，与抛物线交于点N ，P 为x 轴上一点，连接PM ，PN ，将△PMN 沿着MN 翻折，得△QMN ，若四边形MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值．
【答案】（1）（1，4）（2）①点M坐标（﹣1
2
，
7
4
）或（﹣
3
2
，﹣
9
4
）；②m的值
为317
±
或
117
±
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①根据tan∠MBA=
223
3
m m
MG
BG m
-++
=
-
，tan∠BDE=
BE
DE
=
1
2
，由∠MBA=∠BDE，
构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-
m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.
【详解】
（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得到
930
{
3
b c
c
-++=
=
，解得
2
{
3
b
c
=
=
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标（1，4）；
（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），
∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，
∴tan∠MBA=
223
3
m m
MG
BG m
-++
=
-
，
∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，
∵B （3，0）， ∴BE=2，
∴tan ∠BDE=BE DE =1
2
， ∵∠MBA=∠BDE ，
∴
223
3m m m
-++-=
12
， 当点M 在x 轴上方时，
2233m m m
-++- =1
2， 解得m=﹣1
2
或3（舍弃）， ∴M （﹣
12，7
4
）， 当点M 在x 轴下方时，
2233m m m
--- =1
2， 解得m=﹣
3
2
或m=3（舍弃）， ∴点M （﹣
32，﹣9
4
）， 综上所述，满足条件的点M 坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣9
4
）； ②如图中，∵MN ∥x 轴，
∴点M 、N 关于抛物线的对称轴对称， ∵四边形MPNQ 是正方形，
∴点P 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，即OP=1， 易证GM=GP ，即|﹣m 2+2m+3|=|1﹣m|， 当﹣m 2+2m+3=1﹣m 时，解得317
±， 当﹣m 2+2m+3=m ﹣1时，解得m=117
2
±， ∴满足条件的m 317±117
±.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
6．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；
（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围； （3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】
（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．
（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】
（1）证明：∵()()()2
2
2454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.
（2）解：由（1）()2
7m ∆=-，根据求根公式可知，
方程的两根为：x =
即121
6x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+
1<?m 3∴<
(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）
由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：
6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】
本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．
7．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .
(1)求m
n 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线
AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.
(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形
与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）2
65y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时
3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，. 【解析】
分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；
（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．
详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）．
∵y =﹣x 2
+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：6
5b c =⎧⎨=-⎩
，则二次函数解
析式为y =﹣x 2+6x ﹣5；
（2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM 2，PN 24﹣m ），
∴S△MPN=1
2PM•PN=
1
2
×
2
2
m×
2
2
（4﹣m）=﹣
1
4
m2﹣m=﹣
1
4
（m﹣2）2+1，∴当
m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）；
（3）存在，易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论：
①当△ABD∽△DAQ时，AB
DA
=
BD
AQ
，即
32
4
=
4
AQ
，解得：AQ=
82
3
，由两点间的距离
公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=128
3
，解得：x=
7
3
，此时Q（
7
3
，﹣
8
3
）；
②当△ABD∽△DQA时，BD
AQ
=1，即AQ=10，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：
x=2，此时Q（2，﹣3）．
综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（7
3
，﹣
8
3
）．
点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．
8．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（，
）或（1，2）．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结
论； （2）当
时，点N 在x 轴的上方，则NP 等于点N 的纵坐标，只需求出AB ，就
可得到S 与t 的函数关系式；
（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO ．而PO=
，需分
和0＜t ＜2两种情况
讨论，由PN=2PO 得到关于t 的方程，解这个方程，就可得到答案． 试题解析：（1）设抛物线的解析式为
，把C （0，1）代入可得：
，∴，∴抛物线的函数关系式为：
，即
；
（2）当时，
＞0，∴NP=
==
， ∴S=AB•PN=
=；
（3）∵△OPN ∽△COB ，∴，∴
，∴PN=2PO ． ①当时，PN=
=
=
，PO==
，∴，整
理得：
，解得：=
，=
，∵＞0，＜
＜0，∴t=
，此时点N 的坐标为（，）；
②当0＜t ＜2时，PN==
=
，PO=
=t ，∴
，整理得：
，解得：=，=1．∵
＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N 的坐标
为（1，2）．
综上所述：点N 的坐标为（
，
）或（1，2）．
考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．
9．已知抛物线213
22
y x x =-
-的图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为 ．
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）213222y x x =-
-+；（2）△ABC 是直角三角形；（3）存在，302，⎛⎫
- ⎪⎝⎭
、311222⎛-+ ⎝⎭，、311222⎛-- ⎝⎭
，． 【解析】 【分析】
（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A ，B ，C 的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况，可得关于n 的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】
（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：y 12=-x 23
2
-x +2． 故答案为y 12=-
x 23
2
-x +2； （2）当y =0时，12-
x 23
2
-x +2=0，解得：x 1=﹣4，x 2=1，即B （﹣4，0），A （1，0）． 当x =0时，y =2，即C （0，2）．
AB =1﹣（﹣4）=5，AB 2=25，AC 2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC 2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）
2
=20．
∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形； （3）y 12=-
x 232-x +2的对称轴是x 32=-，设P （32-，n ），AP 2=（132
+）
2
+n 2254=
+n 2，CP 29
4
=+（2﹣n ）2，AC 2=12+22=5.分三种情况讨论： ①当AP =AC 时，AP 2=AC 2，254
+n 2
=5，方程无解； ②当AP =CP 时，AP 2=CP 2，254+n 294=+（2﹣n ）2，解得：n =0，即P 1（3
2-，0）； ③当AC =CP 时，AC 2=CP 2，94+（2﹣n ）2=5，解得：n 1=211+，n 2=211-，P 2（32-
，2112+），P 3（32-，211
2
-）． 综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，点P 的坐标（32-，0），（32-，211+），（32-，211
-）． 【点睛】
本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n 的方程，要分类讨论，以防遗漏．
10．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C ，顶点M 在直线BC 上．
（1）证明四边形ABCD 是菱形，并求点D 的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式；
（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）2
2y x 4x 85
=
-+
（3）详见解析 【解析】 【分析】
（1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC ，根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标．
（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，根据待定系数法可求M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式． （3）分点P 在CD 的上面下方和点P 在CD 的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标： 设P 22x,
x 4x 85⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
, 当点P 在CD 的上面下方，根据菱形的性质，知点P 是AD 与抛物线2
2y x 4x 85
=-+的交点，由A,D 的坐标可由待定系数法求出AD 的函数表达式:1
y x 32
=+,二者联立可得P 1（
529
,48
）； 当点P 在CD 的上面上方，易知点P 是∠D 的外角平分线与抛物线2
2y x 4x 85
=
-+的交点，此时，∠D 的外角平分线与直线AD 垂直，由相似可知∠D 的外角平分线PD 的斜率等于－2，可设其为y 2x m =-+，将D （10，8）代入可得PD 的函数表达式:y 2x 28=-+,与抛物线2
2y x 4x 85
=-+联立可得P 2（﹣5，38）． 【详解】
（1）证明：∵A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），
∴AB=6+4=10，AC 10==．∴AB=AC ．
由翻折可得，AB=BD ，AC=CD ．∴AB=BD=CD=AC ．∴四边形ABCD 是菱形． ∴CD ∥AB ．
∵C （0，8），∴点D 的坐标是（10，8）．
（2）∵y=ax 2﹣10ax+c ，∴对称轴为直线10a
x 52a
-=-
=． 设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，
∴4k b 0b 8+=⎧⎨=⎩，解得k 2b 8=-⎧⎨=⎩
．
∴直线BC 的解析式为y=﹣2x+8．
∵点M 在直线y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2． ∴M （5，，－2）.
又∵抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C 和M ，
∴25a 50a c 2c 8-+=-⎧⎨=⎩，解得2a 5c 8
⎧=⎪
⎨⎪=⎩．
∴抛物线的函数表达式为2
2y x 4x 85
=
-+． （3）存在．点P 的坐标为P 1（
529
,48
），P 2（﹣5，38）。