苏科版八年级数学上册暑假《1-3探索三角形全等的条件》自学能力提升训练1(答案)

苏科版八年级数学上册暑假《1.3探索三角形全等的条件》自学能力提升训练1
（答案）
2021年苏科版八年级数学上册《1.3探索三角形全等的条件》暑假自学
能力提升训练1（附答案）
1．下列说法正确的是（）
A．周长相等的两个三角形全等
B．如果三角形的三个内角满足∠A：∠B：∠C＝1：2：3．则这个三角形是直角三角形C．从直找外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
2．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
3．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；
②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（）
A．BC＝B′C′B．∠A＝∠A′C．∠C＝∠C′D．∠B＝∠B′＝90°5．如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（）
A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B 6．如图，点C，F，B，E在同一直线上，∠C＝∠DFE＝90°，添加下列条件，仍不能判定△ACB与△DFE全等的是（）
A．∠A＝∠D，AB＝DE B．AC＝DF，CF＝BE
C．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E
7．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等．以下给出的条件适合的是（）
A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC
8．如图，已知等腰△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AB＝BC＝4，则线段DF的长度为（）
A．2B．2C．4﹣2D．
9．∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（）
A．x＝d或x≥a B．x≥a C．x＝d D．x＝d或x＞a 10．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE＝．
11．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝cm．
12．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝°．
13．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．
14．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走m时，△CAP与△PQB全等．
15．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝13cm，CF＝7cm，则BD＝cm．
16．如图，∠BAC＝90度，AB＝AC，AE⊥AD，且AE＝AD，AF平分∠DAE交BC于F，若BD＝6，CF＝8，则线段AD的长为．
17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝8，则CE＝．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B（9，0），且∠ACB＝90°，CA ＝CB，则点C的坐标为．
19．已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC，垂足为点E，CD⊥AB，垂足为点D，且BD＝CE．求证：∠ABC＝∠ACB．
20．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，求证：AC＝AE．
21．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
22．如图，线段AC交BD于O，点E，F在线段AC上，△DFO≌△BEO，且AF＝CE，连接AB、CD，求证：AB＝CD．
23．如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD 与AB之间的关系，并证明你的结论．
24．如图，AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，证明：△ABE≌△CBF．
25．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A ＝∠D．求证：AB＝CD．
26．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，图中AE、BD有怎样的大小和位置关系？试证明你的结论．
参考答案
1．解：A、周长相等的两个三角形，不一定全等，说法错误，不符合题意；
B．三角形三个内角的比是1：2：3，则这个三角形的最大内角的度数是×180°＝90°，即这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意；
C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到该直线的距离，说法错误，不合题意；
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题．两直线不平行，没有这个性质．不符合题意；
故选：B．
2．解：破玻璃保留了原来三角形的两个角和一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，故选：B．
3．解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C．AE＝AF．
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；
∴CM＝BN，
由于条件不足，无法证得②CD＝DN；
综上所述，正确的结论是①③④，共有3个．
故选：C．
4．解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），
不符合题意．
B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），
不符合题意．
C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），
符合题意．
D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合题意．
故选：C．
5．解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴2∠DFE＝180°﹣∠FGC，
故选：C．
6．解：A、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠C＝∠DFE＝90°，根据AAS判定△ACB与△DFE 全等，不符合题意；
B、∵CF＝BE，可得，BC＝EF，AC＝DF，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根据SAS判
定△ACB与△DFE全等，不符合题意；
C、∵AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根据HL判断Rt△ACB与Rt△DFE全
等，不符合题意；
D、∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠E，∠C＝∠DFE＝90°，由AAA不能判定△ACB与△DFE
全等，符合题意；
故选：D．
7．解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本选项符合题意；
D．根据∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴BD＝AD，
∵∠CAD+∠AFE＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠AFE＝∠BFD，
∴∠AFE＝∠C，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠C＝∠BFD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝CD，
∵AB＝BC＝4，
∴BD＝2，
∴DF＝CD＝4﹣2，
故选：C．
9．解：过B作BD⊥AM于D，
∵点B到射线AM的距离为d，
∴BD＝d，
①如图，
当C点和D点重合时，x＝d，此时△ABC是一个直角三角形；
②如图，
当d＜x＜a时，此时C点的位置有两个，即△ABC有两个；
③如图，
当x≥a时，此时△ABC是一个三角形；
所以x的范围是x＝d或x≥a，
故选：A．
10．解：∵CA＝CB，∠ACB＝50°，
∴∠CAB＝∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝65°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA＝∠CEB，
∴点D，点H，点C，点E四点共圆，
∴∠CHE＝∠CDE，
∵∠DCE＝50°，CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣∠DCE）＝65°，∴∠CHE＝65°，
故答案为：65°．
11．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE
∴∠E＝∠ADC＝90°
∴∠DAC+∠DCA＝90°
∵∠ACB＝90°
∴∠BCE+∠DCA＝90°
∴∠DAC＝∠BCE
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE
∴BE＝CD＝0.5（cm），EC＝AD＝2（cm）
DE＝CE﹣CD＝1.5（cm），
故答案为1.5
12．解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠D＝∠B，
∵∠B＝130°，
∴∠D＝130°，
故答案为：130．
13．解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝10时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝20时，
在△ABC和△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：10或20．
14．解：设P点每分钟走xm．
①若BP＝AC＝4，此时AP＝BQ＝8，△CAP≌△PBQ，
∴t＝＝4，
∴x＝＝1．
②若BP＝AP＝6，AC＝BQ＝4，△ACP≌△BQP，
∴t＝＝2，
∴x＝＝3，
故答案为1或3．
15．解：∵AB∥CF，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵∠AED＝∠FEC，E为DF的中点，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF＝7cm，
∵AB＝13cm，
∴BD＝13﹣7＝6cm．
故答案为6
16．解：如图，连接EF，过点A作AG⊥BC于点G，∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，
又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE，∠4＝∠B
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠3＝45°
∴∠4＝∠B＝45°，
∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，
∴CE2+CF2＝EF2，
∴BD2+FC2＝EF2，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF，
在△DAF和△EAF中
，
∴△DAF≌△EAF（SAS）．
∴DF＝EF．
∴BD2+FC2＝DF2．
∴DF2＝BD2+FC2＝62+82＝100，
∴DF＝10
∴BC＝BD+DF+FC＝6+10+8＝24，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝AG＝BC＝12，
∴DG＝BG﹣BD＝12﹣6＝6，
∴AD＝＝6
故答案为：6
17．解：如图，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△BCE和△BFE中，
，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，
∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵CF＝CE+EF＝2CE，
∴BD＝2CE＝8，
∴CE＝4．
故答案为：4．
18．解：如图，过点C作CE⊥OA，CF⊥OB，∵∠AOB＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，，
∴△ACE≌△BCF，
∴CE＝CF，
∵四边形OECF是矩形，
∴矩形OECF是正方形，
∴OE＝OF，
∵AE＝OE﹣OA＝OE﹣3，BF＝OB﹣OF＝9﹣OF，∴OE＝OF＝6，
∴C（6，6），
故答案为：（6，6）；
19．证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠DBC＝∠ECB，
即∠ABC＝∠ACB．
20．解；如图所示：
∵∠BAC＝∠1+∠DAC，
∠DAE＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∵∠2+∠AFE+∠E＝180°，
∠3+∠DFC+∠C＝180°，
∠2＝∠3，∠AFE＝∠DFC，
∴∠E＝∠C，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE．
21．证明：∵AD⊥BC，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）∴∠C＝∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠C+∠DBF＝90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°∴∠BEC＝90°，
即BE⊥AC；
22．证明：∵△BEO≌△DFO，∴OF＝OE，DO＝BO，
又∵AF＝CE，
∴AO＝CO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD．
23．解：CD∥AB，CD＝AB，理由是：∵CE＝BF，
∴CE﹣EF＝BF﹣EF，
∴CF＝BE，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴CD＝AB，∠C＝∠B，
∴CD∥AB．
24．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠FBE＝∠2+∠FBE，即∠ABE＝∠CBF，在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
25．解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD．
26．解：AE＝BD，AE⊥BD，如图，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ACD＝∠ACD，
∴∠DCB＝∠ECA，
在△DCB和△ECA中，
，
∴△DCB≌△ECA（SAS），
∴∠A＝∠B，BD＝AE
∵∠AND＝∠BNC，∠B+∠BNC＝90°∴∠A+∠AND＝90°，
∴BD⊥AE．。