全国中考数学圆的综合的综合中考模拟和真题分类汇总及答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：∠G=∠CEF；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =3
4
，AH=33，求EM的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253
.
【解析】
试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出AD AC
=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；
（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；
（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明
△AHC∽△MEO，可得AH HC
EM OE
=，由此即可解决问题；
试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴AD AC
=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AH
HC
=
3
4
，∵AH=33，∴HC=43，在Rt△HOC中，
∵OC=r，OH=r﹣33，HC=43，∴222
(33)(43)
r r
-+=，∴r=253
6
，
∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AH HC
EM OE
=，
∴3343
253
6
=
，∴EM=
253
．
点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据
AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．
试题解析：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=AB，
在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．
考点：切线的性质．
3．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ.
发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；
思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ的长；
（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；
探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．
【答案】发现： 90°，102；思考：（1）
10
3
π
=；（2）25π−1002+100；（3）点O
到折痕PQ的距离为30.
【解析】
分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；
思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；
（2）先在Rt△B'OP中，OP2+(102−10)2=（10-OP）2，解得OP=102−10，最后用面积的和差即可得出结论．
探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩
形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=1
2
OO′=30．
详解：发现：∵P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，
此时，∠POQ=90°，PQ=22
OA OB
+=102；
思考：（1）如图，连接OQ，
∵点P是OB的中点，
∴OP=12OB=12OQ ． ∵QP ⊥OB ，
∴∠OPQ=90° 在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP=
12OP OQ =， ∴∠QOP=60°，
∴l BQ =6010101803
ππ⨯=； （2）由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝102，
在Rt △B'OP 中，OP 2+(102−10)2=（10-OP ）2
解得OP=102−10，
S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101210(10210)3602
π⨯-⨯⨯⨯- ＝25π−1002+100；
探究：如图2，找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，
则OM=O′M ，OO′⊥PQ ，O ′P=OP=3，点O′是B Q '所在圆的圆心，
∴O′C=OB=10，
∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点，
∴O′C ⊥AO ，
∴O′C ∥OB ，
∴四边形OCO′B 是矩形，
在Rt △O′BP 中，226425-=
在Rt △OBO′K ，2210(25)=230-，
∴OM=12OO′=12
×23030 即O 到折痕PQ 30
点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=180
n R π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．
4．如图，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC=6，sinA=3
5
，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，P点在⊙O上为一动点，求BP的最大值与最小值.
【答案】（1）连OD，证明略；（2）半径为3；（3）最大值35+3 ，35-3.【解析】
分析：（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.
（2）由sinA=3
5
且BC=6可知，AB=10且cosA=
4
5
，然后求出OD的长度即可.
（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.
详解：（1）如图：连接OD、OB.
在△ODB和△OCB中：
OD=OC,OB=OB,BC=BD;
∴△ODB≌△OCB（SSS）.
∴∠ODB=∠C=90°.
∴AB为⊙O的切线.
（2）如图：
∵sinA=3
5，∴
CB3
AB5
=,
∵BC=6，∴AB=10,∵BD=BC=6,
∴AD=AB-BD=4,
∵sinA=3
5，∴cosA=
4
5
，
∴OA=5，∴OD=3，
即⊙O的半径为：3.
（3）如图：连接OB，交⊙O为点E、F，
由三角形的三边关系可知：
当P点与E点重合时，PB取最小值.
由（2）可知：OD=3，DB=6,
∴22
3635
+=
∴PB=OB-OE=353.
当P点与F点重合时，PB去最大值，
PB=OP+OB=3+35
点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.
5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．
（1）求证：∠AEC=90°；
（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；
（3）若DC=2，求DH的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形AOCD为菱形；
（3）DH=2．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得
，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出
∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由
DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．
试题解析：（1）连接OC，
∵EC与⊙O切点C，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90°，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）
∴∠AEC+∠OCE=180°，
∴∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．理由是：
∵，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵OA=OC，
∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．
∵四边形AOCD为菱形，
∴OA=AD=DC=2，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD=2，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DH⊥AB于点F，AB为直径，
∴DH=2DF，
在Rt△OFD中，sin∠AOD=，
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，
∴DH=2DF=2．
考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．
6．如图，□ABCD的边AD是△ABC外接圆⊙O的切线，切点为A，连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，过点C作直线CP交AO的延长线于点P，且∠BCP＝∠ACD．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠B＝67.5°，BC＝2，求线段PC，PF与弧CF所围成的阴影部分的面积S．
【答案】（1）见解析；（2）14
π-
【解析】 【分析】（1） 过C 点作直径CM ，连接MB ，根据CM 为直径，可得∠M+∠BCM ＝90°，再根据AB ∥DC 可得∠ACD ＝∠BAC ，由圆周角定理可得∠BAC ＝∠M ，∠BCP ＝∠ACD ，从而可推导得出∠PCM ＝90°，根据切线的判定即可得；
（2）连接OB ，由AD 是⊙O 的切线，可得∠PAD ＝90°，再由BC ∥AD ，可得AP ⊥BC ，从而得BE ＝CE ＝ 12
BC ＝1，继而可得到∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°，从而得到∠BAC ＝45°，由圆周角定理可得∠BOC=90°，从而可得∠BOE ＝∠COE ＝∠OCE ＝ 45°，根据已知条件可推导得出OE ＝CE ＝1，PC ＝OC 22OE CE 2+部分的面积.
【详解】（1） 过C 点作直径CM ，连接MB ，
∵CM 为直径，
∴∠MBC ＝90°，即∠M+∠BCM ＝90°，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，
∴∠ACD ＝∠BAC ，
∵∠BAC ＝∠M ，∠BCP ＝∠ACD ，
∴∠M ＝∠BCP ，
∴∠BCP+∠BCM ＝90°，即∠PCM ＝90°，
∴CM ⊥PC ，
∴PC 与⊙O 相切；
（2）连接OB ，
∵AD 是⊙O 的切线，切点为A ，
∴OA ⊥AD ，即∠PAD ＝90°，
∵BC ∥AD ，∠AEB=∠PAD ＝90°， ∴AP ⊥BC ．∴BE ＝CE ＝
12BC ＝1， ∴AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°，
∴∠BAC ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝45°，
∴∠BOC ＝2∠BAC ＝90°，
∵OB ＝OC ，AP ⊥BC ，∴∠BOE ＝∠COE ＝∠OCE ＝ 45°，
∵∠PCM ＝90°，∴∠CPO ＝∠COE ＝∠OCE ＝ 45°，
∴OE ＝CE ＝1，PC ＝OC ＝22OE CE 2+=
，
∴S ＝S △POC －S 扇形OFC ＝()
2
45π21π22123604
⨯⨯⨯-=-．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.
7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．
（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；
（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF 3
【答案】（1）详见解析；（2）
6334π-. 【解析】
【分析】
（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得
∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.
（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.
【详解】
解：（1）证明：连接OC ，如图，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC,
∴∠PCA+∠ACO=90º,
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,
∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠PCA=∠ABC；
（2）连接OE，如图，
∵△ACB中，∠ACB＝90º,∠CAB＝2∠B,
∴∠B＝30º,∠CAB＝60º,∴△OCA是等边三角形，∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90º,∴∠ACD＝∠B＝30º,
∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30º,∴FC=FA,
同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=23,
Rt△ACM中，易得AC=23×
3
2
=3＝OC,
∵∠B＝∠CAE＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，
∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝3∵△CDO≌△EDO(AAS)，
∴33
2
∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求93AOE S ∆=
， 260333602
BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=933633332ππ-+-=
. 【点睛】
本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.
8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AD 、BC 的延长线交于点F ，点E 在CF 上，且∠DEC =∠BAC ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）当AB =AC 时，若CE =2，EF =3，求⊙O 的半径．
【答案】（1）证明见解析；（235． 【解析】
【分析】 （1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；
（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD 225DE CE -=△CDE ∽△DBE ，根据相似三
角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）如图，连接BD ．
∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．
∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ．
∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；
（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°．
∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．
∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3．
∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．
∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°．
∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴
CD BD CE DE =，∴BD 5335⨯==，∴⊙O 的半径354
=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．
9．如图，已知等边△ABC ，AB=16，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，连结GD ．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）求FG 的长；
（3）求tan ∠FGD 的值．
【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）．
【解析】
试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB得到
∠ODB=60°，得到OD∥AC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据
Rt△CDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DH⊥AB，根据垂直得出FG∥DH，根据Rt△BDH求出BH、DH的长度，然后得出∠GDH的正切值，从而得到∠FGD的正切值.
试题解析：(1)如图①，连结OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，
而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线
(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，
∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，
∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝
(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝
考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.
10．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析（2332
3
π
-
【解析】
试题分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；
（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积．
试题解析：
（1）证明：连接DO．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°．
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形．
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，
∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵△OAD是等边三角形，
∴AD=AO=AB=2．
∴CD=AC﹣AD=2．
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=CD=1．
∴DF=，
连接OE，则CE=2．
∴CF=1，
∴EF=1．
∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，
∴S扇形OED==，
∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．
【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明
确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．。