游戏与对策

游戏与对策
游戏与对策在游戏与竞争中，要认真分析与研究，寻求并制定尽可能好的对策，利用它取得尽可能大的胜利，或在失败时尽可能避免损失。

【题目】桌面上有２００３根火柴，甲、乙两人轮流取１根或２根火柴，例如：第一个人取两根，第二个人接着往下取，他可以取一根也可以取两根。

谁取到最后一根为胜。

问获胜的策略是什么？??【分析与解】要抢到第２００３根，必须先抢到第２０００根，这时另一个人只能取第２００１根或第２００１、２００２根，无法取到第２００３根。

如何才能保证取到第２０００根呢？这又必须先取到第１９９７根，依此类推，得到一列数１９９４、１９９１．．．５、２只要取到这些数中任何一个，然后对方取ａ根（ａ＝１或ａ＝２）时，就取（３－ａ）根，这样就能继续取到这个数列中的一个数，直到取到第２００３根。

因此，先取的人有必胜的策略，只要先取第１、２根，接着按照上面的要求取火柴就行了，而后取的人只有在先取的人失误时才能获胜。

【试一试】
如果将２００３根改为２０００根、２００１根，其他条件不变，先取的人能否获胜？
甲、乙两名同学从1到30轮流连续报数，谁先报到30这个数，谁就获胜。

但是，有个规定：每人每次最多报三个数，至少报一个数，每人报的每个数不得与自己报过的或对方报过的重复，也不得跳过任何一个数，要想取胜，就必须先抢到30。

要抢到30，又必须先抢到
26，因为如果先抢到26，对方只能报27或报27、28或报27、28、29。

如果对方报27，那么你就报28、29、30，获胜；
如果对方报27、28，那么你就报29、30，获胜；
如果对方报27、28、29，那么你就报30，获胜。

同样道理，要抢到26，必须先抢到22，向前倒推，应依次先抢18、14、10、6、2，要先抢到2，必须先报（1、2），这样就一定能取胜了。

这个游戏所反映的，就是个对策问题。

【例1】有一筐苹果53个，甲乙两人轮流从中拿走1个或2个苹果，规定谁拿走最后1个苹果，谁获胜。

如果甲先拿，那么他有没有必胜的策略。

【分析与解】这与抢报30所采取的策略类似。

甲要取胜，甲必须先拿到第53个苹果才行。

依此向前倒推，甲要先拿第50个、第47个、第44个，……，第5个，第2个。

【例2】有一个3×3的棋盘格以及9张大小为一个方格的卡片，9张卡片上分别写有1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数。

甲、乙两人做游戏，轮流取一张卡片放到九格中的一格，由甲方计算上、下两行六个数的和；乙方计算左、右两列六个数字的和，和数大的一方为胜，试问：先取的一方（甲方）一定能胜吗？
【分析与解】由于四个角上的数都是两人共有的，因而和数的大小只与放在A、B、C、D这四格中的数有关。

甲方要获胜，必须采取：（1）尽可能地将大数字填入A格或C格；（2）尽可能地将小的数字填入B格或D格。

由于1+10＜3+9，甲应先将1放进B格。

接下来，如果乙把10放进D格，甲再把9放进A格。

这时不论乙怎么放，C格中一定放有大于或等于3的数，因而甲方一定获胜；如果乙把3放进A格，甲方只需将9放进C格，甲方也一定获胜。

【例3】有九张卡片，分别写着1、2、3、4、5、6、7、8、9。

甲、乙两人轮流取1张，谁手上的三张卡片数字加起来等于15，谁就取胜。

问保证不败的对策是什么？
【分析与解】从1、2、……8、9中选三个数，使得和为15，有如下八组：①1、5、9；②2、4、9；③2、5、8；④2、6、7；⑤3、4、8；⑥3、5、7；⑦4、5、6；⑧1、6、8。

每个人要保证不败，就应使对方不能获胜，选数的原则应该是：
（1）使自己所占的可能性尽量多；
（2）尽量破坏对方取胜的可能性。

从上面八组数中看出：数字“5”在8组数中出现的次数最多（共4次），所以谁先选5，谁就比较占优势。

不妨假设甲先取5。

对于乙来说，他只剩下2、4、9；2、6、7；3、4、8；1、6、8这四种可能，为了使自己组成15的可能性尽可能大，乙应取2（或4、6、8）。

接着又轮到甲取了，一方面，他既要破坏乙的可能性，又要使自己尽快达到15，所以应取4或6。

如果甲取4，甲已取两数之和是5＋4=9。

这时，甲只要再取6就获胜了。

为了破坏甲取胜，乙就应接着取6，这样，乙已取两数之和就是2＋6=8，乙只要再取7就会获胜。

所以，第
三次甲应该取7，就彻底破坏了乙取胜的可能，上面的过程就是甲保持不败的对策，其它情况类推。

提示
正确的对策，只能从具体的问题出发，经过认真的分析、推理，才能作出。

解决对策问题（即得到一个必胜的策略），通常采用倒推法，也就是先假设结果是某方取胜，从结果出发向前推进，从而获得取胜的策略。

1、甲、乙两人依次在一个正十边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）。

规定新画的对角线不能与已经画了的对角线相交，谁画下最后一条这样的对角线谁就获胜。

甲先画，他怎么画才能取胜？
2、一个45的棋盘，甲、乙两人轮流往期盼的方格内放棋字，甲先放第一个棋子，乙只能在与这枚棋子所在格相邻的格内放棋子，甲再放时又必须放在乙刚放的棋子的相邻格内，以后照此规则放。

谁无法放棋子时谁失败，如果都按最佳的方法放，那么谁能获胜？
3、甲、乙二人轮流在黑板上写下不超过10的自然数。

规定禁止在黑板上写已写过的数的约数。

最后不能写的人为失败者。

如果甲先乙后，试问谁一定胜出？给出一种获胜的方法。

参考答案：
1题，第一次任意再一个顶点处画一条最短的对角线，就是间隔一个角，以后每次找最断的画，一共可以画七条，最后画的一定是他。

2题，一共是20格，既然是甲先放，那最后一个就是乙放的，所以是乙先获胜。

3题，如果甲写1，2，3，5，6，7甲就获胜，如果是4，9乙获胜，如果是8，就要看乙怎么写了，如果乙写2乙胜，写4甲胜。