常见函数图象中的黄金分割规律探索

数据，故考虑设元，通过相似或三角函数的定义进行
计算，设而不求，进而解决问题.
解法1：如图4，过点C作CD⊥Ox于点D，
设点A的坐标为
A(a，b)，
BC OA
= t，
则OB = a，AB = b.
因为OA∥BC，
所以∠AOB = ∠CBD.
因为∠ABO = ∠CDB，
所以△BCD ∽ △OAB.
得到
BD OB
为
y
=
b a
(
x
-
a)
=
b a
x
-
b.
联立直线BC的解析式和双曲线的解析式可以得到
点C的坐标.
由
ìïy íîïy
= =
aabxbx，- b，得
ab x
=
b a
x
-
b.
因为b＞0，
所以
a x
=
1 a
x
-
1.
去分母并整理，得 x2 - ax - a2 = 0.
解关于x的方程，得
x
=
1
± 2
5
a.
舍去负值，得到
BC与OA的比值为黄金分割率.
由于双曲线是关于直线y = x对称的图形，故x轴上
有此结论，则在y轴上结论也必然成立.
拓展1：如图5，已知在平面直角坐标系中，点A
是双曲线
y=
k x
(k > 0，x > 0)
上 一 点 ， 过 点 A 作 AE ⊥
Oy，垂足为点E，连接OA，过点E作EG∥OA交该双曲
线于点G，求
般情形
y=
k x
(k ≠ 0)，就得到了本文要研究的“源题”.
二、“研”在双曲线
一、拓展与延伸的路径思考
题目
如图1，已知点A是反比例函数
y=
k x
(k ≠ 0)
源题 如图3，在平面直角坐标系中，点A是双曲
线
y
=
k x
(k >
0，x > 0)
上 的 任 意 一 点 ， 过 点 A 作 AB ⊥
Ox，垂足为点B，连接OA，过点B作BC∥OA交该双曲
关键词：黄金分割；射影点；双曲线；抛物线
黄金分割率是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现
的. 它的基本内容解释为把一条线段分成两部分，短
线段和长线段的长度之比是
52
1，
长线段和整条线
段的比值也是
52
1.
经过长期的观察积累，人们发现大自然中存在着
许多黄金分割，许多美丽的动、植物，在它们的形体
构造上都存在比值
52
所以
t
=
-1
+ 2
5，
即
BC OA
=
52
1
.
y
· 104 ·
A C
O
BD
x
图4
解法2：设点A的坐标为 A(a，b)，
则有ab = k. 所以反比例函数为 y = axb，其中a > 0，b > 0.
得到点B的坐标为 B(a，0).
不难求得过点
A(a，b)
的直线OA的解析式为
y
=
b a
x.
因此经过点 B(a，0) 与OA平行的直线BC的解析式
=
CD AB
=
BC OA
=
t.
所以BD = ta，CD = tb.
得 OD = OB + BD = (1 + t)a.
所以点C的坐标为 C((1 + t)a，tb).
因为点A与点C都在双曲线
y
=
k x
上，
所以 k = ab = (1 + t)a · tb.
由ab ≠ 0，得
1 = t2 + t.
因为t＞0，
1，
使它
们
散
发出
自
然
的美
感；金字塔、巴黎圣母院都有黄金分割的踪影；达·
芬奇的 《维特鲁威人》《蒙娜丽莎》《最后的晚餐》 中
都运用了黄金分割. 在数学世界里，黄金分割更是广
泛存在. 例如，相邻的两个斐波那契数的比值随序号
的增加逐渐逼近黄金分割率；华罗庚先生的优选法应
用黄金分割法尽快找到最优方案；黄金三角形 （顶角
EG OA
的值.
中国数学教育·初中版 2019 年第 7—8 期 （总第 199—200 期）
y
G
E
A
于点C和点D （点C在点D的右边），交y轴于点E，求
BC OA
和
OA BD
的值.
y
y
O
x
图5
根据双曲线的对称性，可以知道此情况下的解法
AC
OB
x
E D
AC
F
OB
x
E D
及答案与源题相同.
若同时在x，y轴上呢？根据对称性，这种关系不
=
52
1，
即
▱CDFG
和
▱BCGE
的邻边之比
皆满足黄金分割率.
y
G
E
A C
FO B
x
D
图7
图8Leabharlann BC OA的求法与源题相同，
OA BD
的求法也类似，可添
加如图8所示的辅助线.
由源题解法2得到 xD =
12
5 a，
会丢失，依然存在.
拓展2：如图6，过点A作AE⊥Oy，AB⊥Ox，垂足分
别为点E，B，过点E作FG∥OA，交双曲线于点G，交
x轴于点F；过点B作CD∥OA，交双曲线于点C，交y轴
于点D，连接CG，DF，EB，则可以得到点B是CD的黄
金分割点，点E是FG的黄金分割点. 同时可以证明
CG CD
=
BC CG
收稿日期：2019-04-17 作者简介：张祖冬 （1967— ），男，中学高级教师，主要从事几何画板软件与初中数学教学的整合研究 .
· 103 ·
中国数学教育·初中版 2019 年第 7—8 期 （总第 199—200 期）
线于点C，求
BC OA
的值.
y
A C
O
B
x
图3
分析：由于在已知条件和图形中没有任何确定的
xC
=
1
+ 2
5 a.
由△BCD ∽ △OAB，得
BC OA
=
BD OB
=
xC - xA xA
=
5+ 2
1a
a
-
a
=
52
1
.
这种解法虽然比较烦琐，但是属于通法，对后续
的拓展与延伸都适用.
由此，我们可以得到如下结论：过任意双曲线上
的一点A在x轴上的射影点B，作与OA （点O为坐标原
点） 平行的直线，交点A所在的双曲线分支于点C，则
中国数学教育·初中版 2019 年第 7—8 期 （总第 199—200 期）
常见函数图象中的黄金分割规律探索
张祖冬 （福建省永泰县第一中学）
摘 要：文章从一道常见的双曲线题目入手，从特殊到一般，得到任意双曲线上的相关线段间的 比值满足黄金分割率 . 进一步对抛物线进行探究，发现规律仍然存在 . 利用规律，添加一些适当的条 件，编拟题目 .
y
=
6 x
.
如 图 2，
若点C为双曲线
y
=
6 x
上异于点A的一个动点，过点C作
CD ⊥ Ox 于 点 D， 连 接 OC 和 BC， 当 动 点 C 运 动 到 满 足
OA∥BC时，还会产生什么结论？
显然有△ABO ∽ △CDB，经过推理演算，可以得
到
BC OA
=
52
1，
正是黄金分割率，若将双曲线改为一
为36°的等腰三角形） 底与腰的长度之比为黄金分割
率，取其底角平分线可以继续分割出黄金三角.
实际上，任意的双曲线和抛物线中也存在着黄金
分割率，笔者对此进行了探究.
图象上的一点，过点A作AB⊥Ox于点B，且△ABO的面
积为3，则k的值为
.
y
y
A
A
C
OB 图1
x O BD x 图2
上 述 问 题 容 易 求 得 k 的 值 为 6， 则