气体动力学讲义吴子牛lecture7
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• 广义一维非定常流动问题（p274） • 定常二维等熵无旋超声速流动 • 定常二维等熵有旋超声速流动(p226) • 定常三维等熵超声速流动(p234)
VII-3:特征线与相容关系
B:定常二维等熵无旋超声速流动
• 基本方程为
AW yBW x F
Vx W ,
Vy
0
0
(V y 2 a 2 )2 2VxV y Vx 2 a 2 0
1
VxV y
a2 Vy2
M a2
2
1
,
2
VxV y
a2 Vy2
M a2
2
1
VII-3:特征线与相容关系
特征线
• 第I束特征线为
ddyx1 VxVyVya22aM 2 21
VII-2:特征线理论
特征线排序
• 对于1维问题，特征值 k 所对应的特征线 称为第k束特征线（分别称为第I束、第II 束、第III束、…）。
• 特征值的排列在不同书中可能不一样， 有的按升序、有的按降序、有的按混合 顺序。本讲义基本采用升序。
VII-2:特征线理论
VII-3:特征线、相容关系、简单波
y
VII-1:气体力学问题
矩阵形式
• 矩阵形式
AW yBW x F
W
p Vx
,
Vy
Vy
必做习题
F
y 0
,A?, B?
0
0
VII-1:气体力学问题
Vy y
Vy
y
Vx x
Vx
D:定常三维等熵有旋流动
• 类似于二维情况，可以参阅p234.
VII-1:气体力学问题
VII-2:特征线理论回忆
• 抽象定义 • 具体用法：
特征值的求法 特征线 相容关系式（及其积分）
VII-2:特征线理论回忆
一般理论续
• 设系统方程为
Awt Bwx F Awy Bwx F
• 在任一点，假设特征线的斜率为 ，即特征线方程
U(1)h0 h0i d dm x1d dQ xVG
VII-1:气体力学问题
矩阵形式
• 矩阵形式
AW t BW xF
W V ,
I 1 FG , A 0
00 0 ,
B
V 0
V1 0
• 第II束特征线为 ddyx2 VxVyVya22aM 2 21
VII-3:特征线与相容关系
左特征向量
• 左特征向量
l(B A) 0 l(BA1 I) 0
Tr l(BA1 I) 0
Tr(BA1 I)Tr(l) 0
为了使用软件方便，把求左特征向量问题 化为了求右特征向量问题
1
VxVy
a2 M2 Vy2 a2
1
2
VxVy
a2 M2 Vy2 a2
1
VII-3:特征线与相容关系
相容关系式
• 基本关系式
dw lk A dy lk F
dwwdxwww
dy y dyx y x
VII-3:特征线与相容关系
第I束特征线相容关系式
lk Aw t lk Bw x lk F
lk Aw t k lk Aw x lk F
l
k
A
dw dt
lk F
• 以上即为相容关系式，也称为特征线形式的方程，对
于每个特征值，都有一个（这样的标量）相容关系式，
属于常微分方程。因此，沿特征线方向的变化可以通
过求常微分方程得出
• 因此，定常均熵无旋超音速流动方程组 为
V 0
(V )1V2a2V 2
VII-1:气体力学问题
定常二维均熵无旋流动
• 对于二维流动，上面的方程组简化成
VyVx 0 x y
(Vx2a2)V xx2VxVyV yx(Vy2a2)V yya2yVy 0
VII-3:特征线与相容关系
平面流
• 此时 0
dxtg1( ),
dy
V 1ddVtg
1 M21
dxtg1( ),
dy
1dVtg 1
Vd
M21
• 对于量热完全气体，有如下沿流线的等熵关系式
a
a0
1
1
1M2
2
2
(p61) VII-3:特征线与相容关系
• 第II束特征线
ddyx2
VxVy
a2 M2 Vy2 a2
1
• 相容关系式
l2
A
dw dy
l2F
VxVya2 M21ddVxy(Vy2a2)ddVyyay2Vy
1ddVxyddVyyVy21a2
a2Vy
y
VII-3:特征线与相容关系
相容关系式的简化
VII-3:特征线与相容关系
左特征向量表达式
• 求得
T ( l1 )r 1 V x V y a 2M 2 1 , T ( l2 ) r 1 V x V y a 2M 2 1
• 因此，左特征向量为
l1VxVy a2 M21, 1 l2 VxVy a2 M21, 1
建模问题
VII-1:气体力学问题
均熵无旋流与等熵有旋流区别
• 克罗柯方程(p50)
t
• 对于定常V 流 H T s V , V
V H T s
• 对于均能定常流V （H = con st） T s
• 对于均能均熵定 常流（0(S无 =con旋 s)t）
t
为
dx dt
dx
x
dt
VII-2:特征线理论
特征值
• 特征线斜率（特征值）满足方程
deBt(A)0
• 对于含有m个分量的方程组，有m个特征值，即m条特
征线。
dx dt
k,k1,2,,m
VII-2:特征线理论
相容关系式
• 沿特征线的导数定义为
dwwdxwww
0
Vx 0 0
0 B
1 Vx 0
0
0
0
V
x
a 2Vx Vx 0
0
VII-1:气体力学问题
大作业
• 请用标准方法求出定常二维等熵有旋流 动的特征线方程与相容关系式，并与书 上的方法进行比较，指出二者等价性的 本质所在。
VII-1:气体力学问题
a2
1 0
VII-1:气体力学问题
C:定常二维等熵有旋流动
• 在（沿流线）等熵前提下，有 dpa2d ，即
dpa2 d(注意，质点导线 数的 是导 )沿数 流
dt dt 在定常情况下（定常流声速方程）
Vx
p x
Vy
p y
a2Vx
x
a2Vy
y
VII-1:气体力学问题
VII:气体动力学第七讲
•斜激波（自学）及特征线理论应用
•2019年11月13日
•星期二 •上午9：50－中午12：15 •明理楼422
内容提要
• 气体动力学问题 • 特征线理论回忆 • 气体动力学问题的特征线、相容关系与
简单波 • 特征线差分法
内容提要
VII-1:气体力学问题
• 广义一维非定常流动问题 • 定常二维均熵无旋超声速流动 • 定常二维等熵有旋超声速流动 • 定常三维等熵超声速流动
dt t dtx t x
• 对每个 k ，左特征向量由下式确定
lkBkA0
lkBklkA
• 注意，左特征向量各分量对应书中 k1, k2
VII-2:特征线理论
lkBlkA
相容关系式
dw ww
dt t x
• 将左特征向量乘以 Aw t Bw xF得
VII-3:特征线与相容关系
相容关系式简化式
• 第II束特征线
d d y xsi 2n s si i 2 n c n so i 2 sn s1 i 2n 1tg 1()
V 1d dV tg ssiin tn g s ()in1 yd dy
方程组
• 连续性方程、动量方程和声速方程
Vx x
V y y
Vx
x
Vy
y
Vy y
0
Vx
Vx x
Vy
Vx y
p x
0
Vx
V y x
Vy
V y y
p y
0
Vx
p x
Vy
p y
a 2V x
x
a 2V y
x
Vy
y
Vy
Vx y
px Vx
Vx x
0
p y
Vy
Vy y
Vx
Vy x
0
a2Vy
y
Vy
p y
a2Vx
x
Vx
p x
0
Vy 0 0
0 A
0 Vy 0
0
1
0
V
y
a 2Vy Vy 0
• 以上 0（平面流动）或 1 （以x
为对称轴的轴对称流动）。
VII-1:气体力学问题
矩阵形式
• 矩阵形式
AW yBW x F
Vx W ,
Vy
0
F
a2Vy
y
1
A
2VxVy
0
Vy2
a2
,
0
B
Vx2
• 第I束特征线 ddyx1
VxVy
a2 M2 Vy2 a2
1
• 相容关系式
l1A
dw dy
l1F
VxVya2 M21ddVxy(Vy2a2)ddVyyay2Vy
2
ddVxyddVyyVy21a2
a2Vy
y
VII-3:特征线与相容关系
第II束特征线相容关系式
• 当地流线与横轴的夹角 定义为 VxVco ,V syVsin
•
马赫角
定义为
sin
at
1
Vt M
y 流线
x
at
Vt
VII-3:特征线与相容关系
相容关系式简化式
• 第I束特征线
d d y xsi 2n s si i 2 n c n so i 2 sn s1 i 2n 1tg 1() V 1d dV tg ssiin tn g s ()in1 yd dy
VII-1:气体力学问题
定常二维均熵无旋流动
• 在等熵情况下
dp
d
p
s
a2
• 因此，由动能方程
得简化动能方(V 程)1 2V21V p
(V )1 2V2a2V
VII-1:气体力学问题
F
a2Vy
y
1
A
2VxVy
0
Vy2
a2
,
0
B
Vx2
a2
1 0
VII-3:特征线与相容关系
特征值
• 特征值方程 deBt(A)0
1
d
et
V
x
2
a
2
2VxV y
(V y
2
a
2
)
定常二维均熵无旋流动
• 将连续性方程(V ) V 0
代入简化动能方程
得
(V )1 2V2a2V
(V )1V2a2V 2
VII-1:气体力学问题
定常二维均熵无旋流动
• 无旋条件为 V 0
• 等熵有旋流指沿流线等熵，垂直流线不等熵。
VII-1:气体力学问题
A:广义一维流动控制方程组
VVI
t x x
V t V V x x pG
t x t x
pVpa2 V U
I1ddm xVddlxn GVix1ddm x1 2V24D f
平面流相容关系式
•由
M
M
V
a
a01
1M2 2
12
容关系式得
微分后代入相
dxtg1( ),
dy
d
1M21M12
dM M
2
1 1arc t1 1 g (M 21 )arcM t2 g1const
p U a2 01 a2 V 0 V
VII-1:气体力学问题
B:定常二维均熵无旋流动
• 考虑理想气体的定常运动，其连续性方程为
(V) 0
(V)V 0
• 动能的方程为
(V )1 2V21V p
VII-3:特征线与相容关系
B:定常二维等熵无旋超声速流动
• 基本方程为
AW yBW x F
Vx W ,
Vy
0
0
(V y 2 a 2 )2 2VxV y Vx 2 a 2 0
1
VxV y
a2 Vy2
M a2
2
1
,
2
VxV y
a2 Vy2
M a2
2
1
VII-3:特征线与相容关系
特征线
• 第I束特征线为
ddyx1 VxVyVya22aM 2 21
VII-2:特征线理论
特征线排序
• 对于1维问题，特征值 k 所对应的特征线 称为第k束特征线（分别称为第I束、第II 束、第III束、…）。
• 特征值的排列在不同书中可能不一样， 有的按升序、有的按降序、有的按混合 顺序。本讲义基本采用升序。
VII-2:特征线理论
VII-3:特征线、相容关系、简单波
y
VII-1:气体力学问题
矩阵形式
• 矩阵形式
AW yBW x F
W
p Vx
,
Vy
Vy
必做习题
F
y 0
,A?, B?
0
0
VII-1:气体力学问题
Vy y
Vy
y
Vx x
Vx
D:定常三维等熵有旋流动
• 类似于二维情况，可以参阅p234.
VII-1:气体力学问题
VII-2:特征线理论回忆
• 抽象定义 • 具体用法：
特征值的求法 特征线 相容关系式（及其积分）
VII-2:特征线理论回忆
一般理论续
• 设系统方程为
Awt Bwx F Awy Bwx F
• 在任一点，假设特征线的斜率为 ，即特征线方程
U(1)h0 h0i d dm x1d dQ xVG
VII-1:气体力学问题
矩阵形式
• 矩阵形式
AW t BW xF
W V ,
I 1 FG , A 0
00 0 ,
B
V 0
V1 0
• 第II束特征线为 ddyx2 VxVyVya22aM 2 21
VII-3:特征线与相容关系
左特征向量
• 左特征向量
l(B A) 0 l(BA1 I) 0
Tr l(BA1 I) 0
Tr(BA1 I)Tr(l) 0
为了使用软件方便，把求左特征向量问题 化为了求右特征向量问题
1
VxVy
a2 M2 Vy2 a2
1
2
VxVy
a2 M2 Vy2 a2
1
VII-3:特征线与相容关系
相容关系式
• 基本关系式
dw lk A dy lk F
dwwdxwww
dy y dyx y x
VII-3:特征线与相容关系
第I束特征线相容关系式
lk Aw t lk Bw x lk F
lk Aw t k lk Aw x lk F
l
k
A
dw dt
lk F
• 以上即为相容关系式，也称为特征线形式的方程，对
于每个特征值，都有一个（这样的标量）相容关系式，
属于常微分方程。因此，沿特征线方向的变化可以通
过求常微分方程得出
• 因此，定常均熵无旋超音速流动方程组 为
V 0
(V )1V2a2V 2
VII-1:气体力学问题
定常二维均熵无旋流动
• 对于二维流动，上面的方程组简化成
VyVx 0 x y
(Vx2a2)V xx2VxVyV yx(Vy2a2)V yya2yVy 0
VII-3:特征线与相容关系
平面流
• 此时 0
dxtg1( ),
dy
V 1ddVtg
1 M21
dxtg1( ),
dy
1dVtg 1
Vd
M21
• 对于量热完全气体，有如下沿流线的等熵关系式
a
a0
1
1
1M2
2
2
(p61) VII-3:特征线与相容关系
• 第II束特征线
ddyx2
VxVy
a2 M2 Vy2 a2
1
• 相容关系式
l2
A
dw dy
l2F
VxVya2 M21ddVxy(Vy2a2)ddVyyay2Vy
1ddVxyddVyyVy21a2
a2Vy
y
VII-3:特征线与相容关系
相容关系式的简化
VII-3:特征线与相容关系
左特征向量表达式
• 求得
T ( l1 )r 1 V x V y a 2M 2 1 , T ( l2 ) r 1 V x V y a 2M 2 1
• 因此，左特征向量为
l1VxVy a2 M21, 1 l2 VxVy a2 M21, 1
建模问题
VII-1:气体力学问题
均熵无旋流与等熵有旋流区别
• 克罗柯方程(p50)
t
• 对于定常V 流 H T s V , V
V H T s
• 对于均能定常流V （H = con st） T s
• 对于均能均熵定 常流（0(S无 =con旋 s)t）
t
为
dx dt
dx
x
dt
VII-2:特征线理论
特征值
• 特征线斜率（特征值）满足方程
deBt(A)0
• 对于含有m个分量的方程组，有m个特征值，即m条特
征线。
dx dt
k,k1,2,,m
VII-2:特征线理论
相容关系式
• 沿特征线的导数定义为
dwwdxwww
0
Vx 0 0
0 B
1 Vx 0
0
0
0
V
x
a 2Vx Vx 0
0
VII-1:气体力学问题
大作业
• 请用标准方法求出定常二维等熵有旋流 动的特征线方程与相容关系式，并与书 上的方法进行比较，指出二者等价性的 本质所在。
VII-1:气体力学问题
a2
1 0
VII-1:气体力学问题
C:定常二维等熵有旋流动
• 在（沿流线）等熵前提下，有 dpa2d ，即
dpa2 d(注意，质点导线 数的 是导 )沿数 流
dt dt 在定常情况下（定常流声速方程）
Vx
p x
Vy
p y
a2Vx
x
a2Vy
y
VII-1:气体力学问题
VII:气体动力学第七讲
•斜激波（自学）及特征线理论应用
•2019年11月13日
•星期二 •上午9：50－中午12：15 •明理楼422
内容提要
• 气体动力学问题 • 特征线理论回忆 • 气体动力学问题的特征线、相容关系与
简单波 • 特征线差分法
内容提要
VII-1:气体力学问题
• 广义一维非定常流动问题 • 定常二维均熵无旋超声速流动 • 定常二维等熵有旋超声速流动 • 定常三维等熵超声速流动
dt t dtx t x
• 对每个 k ，左特征向量由下式确定
lkBkA0
lkBklkA
• 注意，左特征向量各分量对应书中 k1, k2
VII-2:特征线理论
lkBlkA
相容关系式
dw ww
dt t x
• 将左特征向量乘以 Aw t Bw xF得
VII-3:特征线与相容关系
相容关系式简化式
• 第II束特征线
d d y xsi 2n s si i 2 n c n so i 2 sn s1 i 2n 1tg 1()
V 1d dV tg ssiin tn g s ()in1 yd dy
方程组
• 连续性方程、动量方程和声速方程
Vx x
V y y
Vx
x
Vy
y
Vy y
0
Vx
Vx x
Vy
Vx y
p x
0
Vx
V y x
Vy
V y y
p y
0
Vx
p x
Vy
p y
a 2V x
x
a 2V y
x
Vy
y
Vy
Vx y
px Vx
Vx x
0
p y
Vy
Vy y
Vx
Vy x
0
a2Vy
y
Vy
p y
a2Vx
x
Vx
p x
0
Vy 0 0
0 A
0 Vy 0
0
1
0
V
y
a 2Vy Vy 0
• 以上 0（平面流动）或 1 （以x
为对称轴的轴对称流动）。
VII-1:气体力学问题
矩阵形式
• 矩阵形式
AW yBW x F
Vx W ,
Vy
0
F
a2Vy
y
1
A
2VxVy
0
Vy2
a2
,
0
B
Vx2
• 第I束特征线 ddyx1
VxVy
a2 M2 Vy2 a2
1
• 相容关系式
l1A
dw dy
l1F
VxVya2 M21ddVxy(Vy2a2)ddVyyay2Vy
2
ddVxyddVyyVy21a2
a2Vy
y
VII-3:特征线与相容关系
第II束特征线相容关系式
• 当地流线与横轴的夹角 定义为 VxVco ,V syVsin
•
马赫角
定义为
sin
at
1
Vt M
y 流线
x
at
Vt
VII-3:特征线与相容关系
相容关系式简化式
• 第I束特征线
d d y xsi 2n s si i 2 n c n so i 2 sn s1 i 2n 1tg 1() V 1d dV tg ssiin tn g s ()in1 yd dy
VII-1:气体力学问题
定常二维均熵无旋流动
• 在等熵情况下
dp
d
p
s
a2
• 因此，由动能方程
得简化动能方(V 程)1 2V21V p
(V )1 2V2a2V
VII-1:气体力学问题
F
a2Vy
y
1
A
2VxVy
0
Vy2
a2
,
0
B
Vx2
a2
1 0
VII-3:特征线与相容关系
特征值
• 特征值方程 deBt(A)0
1
d
et
V
x
2
a
2
2VxV y
(V y
2
a
2
)
定常二维均熵无旋流动
• 将连续性方程(V ) V 0
代入简化动能方程
得
(V )1 2V2a2V
(V )1V2a2V 2
VII-1:气体力学问题
定常二维均熵无旋流动
• 无旋条件为 V 0
• 等熵有旋流指沿流线等熵，垂直流线不等熵。
VII-1:气体力学问题
A:广义一维流动控制方程组
VVI
t x x
V t V V x x pG
t x t x
pVpa2 V U
I1ddm xVddlxn GVix1ddm x1 2V24D f
平面流相容关系式
•由
M
M
V
a
a01
1M2 2
12
容关系式得
微分后代入相
dxtg1( ),
dy
d
1M21M12
dM M
2
1 1arc t1 1 g (M 21 )arcM t2 g1const
p U a2 01 a2 V 0 V
VII-1:气体力学问题
B:定常二维均熵无旋流动
• 考虑理想气体的定常运动，其连续性方程为
(V) 0
(V)V 0
• 动能的方程为
(V )1 2V21V p