2021_2022学年新教材高中数学课时评价四十四第六章概率3.2离散型随机变量的方差作业课件北师大

四十四 离散型随机变量的方差
1．已知随机变量 ξ 满足 P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则 Eξ 和 Dξ 的值分
别为( )
A．0.6 0.7
B．1.7 0.09
C．0.3 0.7
D．1.7 0.21
【解析】选 D.Eξ＝1×0.3＋2×0.7＝1.7， Dξ＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.
2 择 ABD，ADE，得分均为 1 分，其概率为3 ；
1 选择 ACD，得分为 5 分，其概率为3 .
所以均值 EX＝32 ×1＋13 ×5＝73 . 由于 4>37 ， 所以乙同学的最佳选择是选择 AD.
10．(2021·朔州高二检测)为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场
开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过
下，对称轴为 a＝31 的二次函数，且 0<a<23 ，
所以函数 y＝－2a2＋43 a＋190 在0，31 上单调递增，在31，32 上单调递增，因此 随着 a 的增大，D(X＋Y)先增大后减小．
二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有
选错的得 0 分)
【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0，40，80 元，两人都付 0
11 1
121
元的概率为 P1＝4 ×6 ＝24 ，两人都付 40 元的概率为 P2＝2 ×3 ＝3 ，
1 1 1 2 1 两人都付 80 元的概率为 P3＝1－4－2 ×1－6－3 ＝24 .
111 5 则两人所付费用相同的概率为 P＝P1＋P2＋P3＝24 ＋3 ＋24 ＝12 .
(1)若甲同学无法判断所有选项，他决定在这 5 个选项中任选 3 个作为答案，求甲 同学获得 0 分的概率． (2)若乙同学只能判断选项 AD 是正确的，现在他有两种选择：一种是将 AD 作为答 案，另一种是在 B，C，E 这 3 个选项中任选一个与 AD 组成一个含有 3 个选项的答 案，则乙同学的最佳选择是哪一种，请说明理由．
1 小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲、
乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为14 ，
1 6
；1
小时以上且不超过
2
小时离开的概率分别为12
，23
；两人滑雪时间都不会
超过 3 小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ξ(单位：元)，求 ξ 的分布列 与数学期望 Eξ，方差 Dξ.
【解析】选 BD.设取球次数为 ξ，可知随机变量 ξ 的可能取值有 1，2，3，则 P(ξ ＝1)＝35 ，P(ξ＝2)＝25 ×34 ＝130 ，P(ξ＝3)＝52 ×14 ＝110 .
3 对于 A 选项，抽取 2 次后停止取球的概率为 P(ξ＝2)＝10 ，A 选项错误； 对于 B 选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 P(ξ＝1)＋P(ξ ＝2)＝35 ＋130 ＝190 ，B 选项正确；
【解析】(1)甲同学在这 5 个选项中任选 3 个作为答案得分为 0 分，只有一种情况，
那就是选了 1 个正确答案 2 个错误答案．
所以，所求概率 P＝C13C35C22
3 ＝10 .
(2)乙同学的最佳选择是选择 AD. 理由如下： 设乙同学此题得分为 X 分， ①若乙同学仅选择 AD，则 X＝4，X 的均值 EX＝4； ②若乙同学选择 3 个选项，则他可能的答案为 ABD，ACD，ADE，共 3 种．其中选
2．随机变量 ξ 的分布列如表，且 Eξ＝1.1，则 Dξ＝( )
ξ01 x
P
1 5
p
3 10
A.0.36
B．0.52
C．0.49
D．0.68
【解析】选 C.先由随机变量分布列的性质求得 p＝12 .由 Eξ＝0×51 ＋1×12 ＋130
x＝1.1，得 x＝2.
所以 Dξ＝(0－1.1)2×15 ＋(1－1.1)2×12 ＋(2－1.1)2×130 ＝0.49.
＋(3－2)2×13
＝1.
变量 X 的概率分布列为 P(X＝n)＝n2＋n (n＝1，2，3)，其中 a 是常数， 求 D(aX).
a 【解析】由题意得1×2
a ＋2×3
a ＋3×4
＝a1－12＋12－13＋13－14
3 ＝4
a＝1，
4 则 a＝3 ，
3
3
23－a
(a
2)2 3
＝－a2－13
8 a＋9
，
DY＝a
(1
a
1)2 3
＋32－a
(1
a
1)2 3
1 ＋3
(1
a
1)2 3
＝a
(a
4)2 3
＋32－a
(a
1)2 3
＋13
(a
2)2 3
＝－a2＋53
a＋29
，因为 X，Y 是两个相互独立的随机变量，所
以 D(X＋Y)＝DX＋DY＝－2a2＋43 a＋190 ，因为函数 y＝－2a2＋43 a＋190 是开口向
3．(2021·邢台高二检测)已知随机变量 X，Y 满足 Y＝aX＋b，且 a，b 为正数， 若 DX＝2，DY＝8，则( ) A．b＝2 B．a＝4 C．a＝2 D．b＝4
【解析】选 C.由方差的性质可得，DY＝D(aX＋b)＝a2DX，因为 DX＝2，DY＝8，所 以 8＝2a2，又 a 为正数，所以 a＝2.
6．(2021·烟台高二检测)袋内有大小完全相同的 2 个黑球和 3 个白球，从中不放 回地每次任取 1 个小球，直至取到白球后停止取球，则( ) A．抽取 2 次后停止取球的概率为35 B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为190 C．取球次数 ξ 的期望为 2 D．取球次数 ξ 的方差为290
4．若随机变量 X 的分布列如下表，且 EX＝2，则 D(2X－3)的值为________．
X02a
P
1 6
p
1 3
1
1
1
1
【解析】由题意可得：6 ＋p＋3 ＝1，解得 p＝2 ，因为 EX＝2，所以 0×6 ＋2
1 ×2
1 ＋a×3
＝2，解得 a＝3.DX＝(0－2)2×16
＋(2－2)2×12
8．(2021·泰安高二检测)已知 X 的分布列如图所示，则 X －1 0 1 P 0.2 0.3 a
(1)EX＝0.3，(2)DX＝0.583， (3)P(X＝1)＝0.4，其中正确的个数为________．
【解析】由题意知：a＝1－0.2－0.3＝0.5，即 P(X＝1)＝0.5； 所以 EX＝－1×0.2＋0×0.3＋1×0.5＝0.3， DX ＝ 0.2 × ( － 1 － 0.3)2 ＋ 0.3 × (0 － 0.3)2 ＋ 0.5 × (1 － 0.3)2 ＝ 0.338 ＋ 0.027 ＋ 0.245＝0.61. 综上，故(1)正确，(2)(3)错误，正确的个数是 1. 答案：1
，DX＝29
，则 2x21
＋x22
的值为(
)
A．9
B．6
C．5
D．4
4
2
【解析】选 B.由题设 EX＝3 ，DX＝9 .
214 可得 EX＝3 x1＋3 x2＝3 ，
DX＝32
×
(x1
4 3
)2
＋13
×
(x
2
4 3
)2
＝23
x2 1
＋13
x2 2
－196
＝29
，故 2x21
＋x22
＝6.
3．已知随机变量 ξ 的分布列如下：
2
2
1
【解析】选 C.由题意可得，a＋b＝3 ，则 b＝3 －a，0<a<3 ，所以 EX＝－1×3
11
11
＋0×a＋1×b＝b－3 ＝3 －a，EY＝－1×a＋0×b＋1×3 ＝3 －a，
则 DX＝31
(1
a
1)2 3
＋a
(0
a
1)2 3
＋23－a
(1
a
1)2 3
＝13
(a 4)2 ＋ (a 1)2 ＋
2
2
1
2 4 1 13
所以 P(X＝1)＝3 ，P(X＝2)＝9 ，P(X＝3)＝9 ，则 EX＝3 ＋9 ＋3 ＝ 9 ，DX
＝
(1
13)2 9
×23
＋
(2
13 9
)2
×29
＋
(3
13)2 9
×19
＝3881
，所以 D(aX)＝a2DX＝670289
.
一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)
1．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0，1)，则 EX 和 DX 的值分
对于 C 选项，取球次数ξ的期望为 Eξ＝1×35 ＋2×130 ＋3×110 ＝32 ，C 选项错 误； 对于 D 选项，取球次数ξ的方差为 Dξ＝(1－23 )2×35 ＋(2－32 )2×130 ＋ (3－23 )2×110 ＝290 ，D 选项正确．
三、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 7．若事件在一次试验中发生次数的方差等于 0.25，则该事件在一次试验中发生 的概率为________． 【解析】在一次试验中发生次数记为 ξ，则 ξ 服从两点分布，则 Dξ＝ p(1－p)，所以 p(1－p)＝0.25，解得 p＝0.5. 答案：0.5
(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为 0，40，80，120，160，则 P(ξ＝
0)＝41 ×16 ＝214 ，P(ξ＝40)＝41 ×23 ＋12 ×61 ＝14 ，P(ξ＝80)＝14 ×16 ＋21 ×
211 5
11121
3 ＋4 ×6 ＝12 ，P(ξ＝120)＝2 ×6 ＋4 ×3 ＝4 ，
ξ 0 12
P b－a b a
则 Dξ 最大值为( )
A．14
B．12
C．1
D．不是定值
【解析】选 B.由随机变量ξ的分布列得：
0≤b－a≤1， 0≤b≤1，
0≤a≤1，
解得 b＝0.5，0≤a≤0.5，
b－a＋b＋a＝1，
所以 Eξ＝0.5＋2a，0≤a≤0.5.
Dξ＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a
＝－4a2＋2a＋41
＝－4
(a
1 4
)2
1 ＋2
，
1
1
当 a＝4 时，Dξ取得最大值2 .
4．已知 a，b∈R，随机变量 X，Y 的分布列是
X －1 0 1
P
1 3
ab
Y －1 0 1
P
a
b
1 3
则随着 a 的增大，D(X＋Y)( )
A．一直增大
B．一直减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
2
11 1 P(ξ＝160)＝4 ×6 ＝24 .
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
P
1 24
1 4
5 12
1 4
1 24
所以 Eξ＝0×214 ＋40×41 ＋80×152 ＋120×41 ＋160×214 ＝80，
Dξ＝(0－80)2×214 ＋(40－80)2×14 ＋(80－80)2×152 ＋(120－80)2
四、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9．某种类型的题目有 A，B，C，D，E 共 5 个选项，其中有 3 个正确选项，满分 5 分．赋分标准为“选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分，选对 3 个得 5 分，每选错 1 个扣 3 分，最低得分为 0 分”．在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题 目，已知此题的正确答案为 ACD，假定考生作答的答案中的选项个数不超过 3 个．
5．(2021·泰安高二检测)设离散型随机变量 X 的分布列为
X0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量 Y 满足 Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．q＝0.1
B．EX＝2，DX＝1.4
C．EX＝2，DX＝1.8
D．EY＝5，DY＝7.2
【解析】选 ACD.因为 q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以 q＝0.1，故 A 正确；又 EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，DX＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2 ×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故 C 正确；因为 Y＝ 2X＋1，所以 EY＝2EX＋1＝5，DY＝4DX＝7.2 故 D 正确．
别为( )
A．0 1
B．p p2
C．p 1－p D．p (1－p)p 【解析】选 D.由题意知随机变量 X 满足两点分布，所以 EX＝p，DX＝(1－p)p.
2
1
2．(2021·太原高二检测)若 X 是离散型随机变量，P(X＝x1)＝3 ，P(X＝x2)＝3 ，
4 且 x1<x2.又已知 EX＝3
×14
＋(160－80)2×214
＝4
000 3
.
根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量 X
X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900