必修4课本例题习题改编_(黄贤冬)

人教A 版必修4课本例题习题改编
1.原题（必修4第十页A 组第五题）改编1 下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角一定不是负角 B ．－831°是第四象限角
C ．钝角一定是第二象限角
D ．终边与始边均相同的角一定相等 解：选C. －330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A 错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B 错误；0°角，360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误． 改编2 已知θ为第二象限角，那么
3
θ
是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角
解：选D.36090360180,,1203012060,3
k k k z k k k z θ
θ+〈〈∙+∈∴∙+〈〈∙+∈
（1）当()3,
36030360180,,3
k n
n z n n n z θ
=∈∙+〈〈∙+∈ 时此时3θ为第一象限角；
（2）当()31,360150360180,,3
k n n z n n n z θ=+∈∙+〈〈∙+∈
时此时3θ为第二象限
角；（3）当()32,360270360300,3
k n n z n n θ=+∈∙+〈〈∙+
时此时3θ为第四象限角。

2.原题（必修4第十页B 组第二题）改编 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的
弧度数为( ) A.143 π B ．－143 π C.718 π D ．－7
18 π
解：选B. 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的1
3，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－14
3π.故选B.
3.原题（必修4第十页B 组第三题）改编 减速箱的主要零件是两个半径不同且相互啮合的齿轮。

现在有一个减速箱，小轮的半径是2cm ，大轮的半径是10cm 。

若小轮每分钟转300转，则大轮转过的弧度数的绝对值是___________。

解：小轮每分钟转300转，转过的弧长为周长的300倍，即30022⨯⨯π，所以大轮转过的弧
度数的绝对值是
ππ12010
300
22=⨯⨯，答案：120π；另解：根据齿轮啮合周长相等原理，
大轮转了300/5=60转，所以ππ120602=⨯
4.原题（必修4第十九页例6）改编 （1）已知sin α 1
3
=，且α为第二象限角，求tan α；
（2）已知sin α= m (0,1)m m ≠≠±，求tan α。

解：（1）1
sin 3
α=
，且α为第二象限角，
cos α∴=sin tan cos ααα∴==
（2）sin (0,1)m m m α=≠≠± ，α∴为象限角。

当α为第一或第四象限角时，
cos α=
=
，tan α=
；当
α为第二或第三象限角时
，
cos α=
tan α=tan α
5.原题（必修4第十九页例7）改编 若sin cos 1,sin cos 1,a b ab θθθθ+=-=则的值
是（ ）A. 0 B. 1 C. -1
D. 解：由已知有：sin 1cos ,
sin 1cos a b θθθθ=-=+； 两式相乘得：
()()2sin 1cos 1cos ab θθθ=-+
22
1cos sin θθ
=-=
()21sin 0sin 0
1
ab ab θθ∴-=≠∴=又 答案：B
6.原题（必修4第二十二页习题1.2B 组第二题）改编
为（ ） A. 2tan x C. 2tan x - B. 2tan x ± D. 不能确定
解:C .原式=2tan 2,4432tan 2,44x x k k x x k k ππππππππ⎧
⎛
⎫∈-+ ⎪
⎪⎪
⎝
⎭⎨
⎛
⎫⎪-∈++ ⎪
⎪⎝
⎭⎩
7.原题（必修4第二十二页B 组第三题）改编 已知tan 2α=，计算：（1）2sin cos sin 2cos αα
αα
-+；
（2）2
2
sin sin cos 2cos αααα+-
解：（1）原式2tan 13tan 24αα-==+；（2）原式2222
sin sin cos 2cos sin cos αααα
αα
+-=+ 22tan tan 24
tan 15
ααα+-==+
8.原题（必修4第二十三页探究）改编1
( ) A.sin 2cos 2+ B.cos 2sin 2- C.sin 2cos 2- D.±cos 2sin 2- 解：选C
=|sin(2)cos(2)|=|sin2cos2|=π-+π--
∵sin20>,cos20<,∴sin2cos20->,
=sin2cos2- 改编2 设函数()sin()cos()4f x a x b x αβ=π++π++(其中βα、、、b a 为非零实数),若
5)2001(=f ,则(2010)f 的值是( )
A.5
B.3
C.8
D.不能确定
解：.B (2001)sin(2001)cos(2001)4sin()cos()f a b a b παβαβ=++π++=π++π+
sin cos 45a b αβ=--+=,sin cos 1a b αβ∴--=,
(2010)sin(2010)cos(2010)4sin cos 4143f a b a b αβαβ=π++π++=++=-+=
9.原题（必修4第二十七页例4）改编 已知角x 终边上的一点P （-4，3），则
()cos sin 29cos sin 22x x x x ππππ⎛⎫
+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值为 . 解：
()
cos sin sin sin 2tan 9sin cos cos sin 22x x x x x x x x x ππππ⎛⎫
+-- ⎪-∙⎝⎭==-∙⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数的定义，可知33
tan ,=-tan 44
y x x x =
=-=所以原式 10.原题（必修4第四十一页练习题6）改编 函数12
log cos 34x y π⎡⎤
⎛⎫=-
- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的单调递增区间为 . 解：112
2log cos log cos 3434x x y ππ⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-
-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦ ，∴所求的递增区间就是使cos 34x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的值为正值的递减区间，由22,342x k k
k z ππππ≤+〈+∈得：33
66,.44
k x k k z ππππ-+≤〈+∈∴
所
求
的
递
增
区
间
为
()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭
答案：
()336,644k k k z ππππ⎡⎫
-++∈⎪⎢⎣⎭
11.原题（必修4第五十三页例1）改编 设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫ωx ＋π3的图象向右平移4π3个单
位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A.23
B.43
C.3
2 D ．3
解：选 C.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移4π3个单位所得的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω，又因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，∴4π3ω＝2kπ⇒ω＝32k(k ∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为3
2，故选C. 12.原题（必修4第五十六页练习题3）改编 sin 24y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的振幅为______，频率和初相分别为______，______。

解：2
1
π
4
π
-
13.原题（必修4第六十页例2）改编1 在函数x y sin =、x y sin =、)3
22sin(π+
=x y 、2tan(2)3
y x π
=+
中，最小正周期为π的函数的个数为（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解：sin y x =中，利用含绝对值函数和奇偶性的知识作出函数图象如下，
可知sin y x =不是周期函数；x y sin =的最小正周期为π，课本上已有解答；由公式可知
)322sin(π+
=x y 的最小正周期为π，2tan(2)3y x π=+的最小正周期为2
π.故答案选B 改编2 已知sin 2
x=
9
16
,请在x ∈〔-2π,2π〕内求出所有x 的值，则这些x 的值的和是（ ） A.π B. π/2 C. –π D.0 解：|sinx |=34，作出函数y=|sinx |的波浪图像，再作出直线y=3
4
,其交点的横坐标的和为0.故选（D ）
14.原题（必修4第六十九页复习参考题A 组第八题）改编 已知1
tan tan αα
，是关于x 的方程2
2
30x kx k -+-=的两个实根，且παπ2
7
3<<，求2sin cos sin ααα+的值． 解：21tan 31,2tan k k αα⋅
=-=∴=± ，而παπ2
7
3<<，则1t an 2,t an k αα+==得
tan 1α=，则222
222sin cos sin tan tan sin cos sin 1cos sin 1tan ααααα
αααααα
+++===++。

15.原题（必修4第七十一页复习参考题B 组第六题）改编 已知22
2121,y
x y u x x
-==
+则的值域为 . 解：221,
x y -=
()22
2
2
1cos tan 12tan cos 2sin sin 2sin 1sec sin 12,1sin 1
x sec y u sec θθ
θθθθθθθθ
θθ⎧
==⎪
∴⎨⎪=⎩∴=+=+=-++=--+-〈〈可设其中 sin u θ随的增大而增大。

sin 12,sin 12u u θθ→-→-→→ 又当时，当时， ∴所求值域为（-1，2）.
16.原题（必修4第九十一页习题2.2A 组第八题（2））改编 已知直线x+y=a,与圆x 2+y 2
=2交
于A 、B 两点，且|OA +OB |=|OA -OB
|,其中O 为坐标原点。

则实数a 的值为▁▁▁。

解：由|OA +OB |=|OA -OB |知，OA ┻OB 且OA 、OB
为正方形两邻边。

实数a 为直线
y= -x+a 的截距，画图可知a=
17.原题（必修4第九十二页习题 2.2B 组第四题）改编 设向量,a b 满足:||3=a ,||4=b ,0⋅=a b .以
,,+a b a b
为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公
共点个数最多为 个. 解：可
得
5
+==a b ,设该三角形内切圆的半径为r ,则
(4)(3)51r r r -+-=⇒=,∴对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时
只有三个交点,对于圆的位置稍作移动,则能实现4个交点,但不能得到5个以上的交点.答案：4 18.原题（必修4第一百零二页习题2.3B 组第四题）改编1 设Ox 、Oy 是平面内相交成0
60
角的两条数轴，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+
，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 下的坐标。

假设1232OP e e =+
，（1）计算
||OP
的大小；
（2）由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？
解：（1
）||OP
；（2）对于任意向量12OP xe ye =+ ，x ，y 都是唯一确定的，分解唯
一，所以向量的坐标表示的规定合理。

改编2 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为90
.点C 在以O 为圆心的圆
弧AB
上变动,若OC xOA yOB =+ ,其中,x y ∈R ,则
xy 的范围是________.
解
：
由
22222
2OC xOA yOB OC x OA y OB xyOA OB
=+⇒=++⋅ ,又
1,0
OC OA OB OA OB ===⋅= ,∴22
12x y xy =+≥,得
1
2xy ≤
,而点C 在以O 为圆心的圆
弧AB 上变动,得,[0,1]x y ∈,于是
1
02xy ≤≤
. 改编3 如图，在平面直角坐标系xoy 中，向量(11)OP =
，,将数轴Oy 绕着O 点顺时针旋转0
30到Oy ',设12,e e '' 分别是与Ox 轴、Oy '轴正方向同向的单位向量，若向量12OP e e '''=+
,求
cos POP '∠的值.
解：由已知，
1.(,OP i j i j x y i e '=+ 是轴，轴正方向上的单位向量，且=）
12()()OP OP i j e e '''⋅=+⋅+
1122i e j e i e j e ''''=⋅+⋅+⋅+⋅
11+0+2=
=
2
∵OP OP '=== ∴cos cos ,4OP OP POP OP OP OP OP '⋅''∠=〈〉==
='
19.原题（必修4第一百零五页例4）改编 已知()()cos ,sin ,cos ,sin ,a x x b ka b kb
ββ==+=-
（k ＞0）（1）求证：()()
a b a b +⊥-
；（2）将a b 与数量积表示为关于k 的函数f （k ）；（3）求f （k ）的最
小值及相应a ，b
夹角θ
O
y
y '
P
P '
x
解：（1）
（2
）()()
22
3ka b kb ka b a kb +=-∴+=-
()()2111044k a b f k k k k k +⎛⎫∴∙==+〉 ⎪
⎝⎭
故
（3）(
)()
11
40k 12
f k k k k
∴≥⨯==
〉=当 时，取等号，此时，
1
cos 2
a b a b ∙== ，又∵60o θπ
θ≤≤∴= ）
20.原题（必修4第一百零六页练习2）改编1已知△ABC 中，向量(,2),(3,2)AB x x AC x ==
，
且∠BAC 是锐角，则x 的取值范围是 。

解：本题容易忽视向量,AB AC 方向相同的情况。

由0
(0)
AB AC AB AC λλ⎧<⎪⎨≠>⎪⎩
可得x 的取值范围是411
(,)(0,)(,)333
-∞-⋃⋃+∞.
改编2已知△ABC 中，向量(,2),(3,2)AB x x AC x ==-
，且∠BAC 是钝角，则x 的取值范围
是 。

解：本题容易忽视向量,AB AC 方向相反的情况。

由0
(0)
AB AC AB AC λλ⎧<⎪⎨≠<⎪⎩
可得x 的取值范围是1
14(,)(,0)(,)333
-∞-⋃-⋃+∞.
21.原题（必修4第一百零八页习题2.4A 组第二题）改编 在菱形ABCD 中,若AC=10,则AB CA ⋅ =_____________.
解：∵菱形ABCD 中,AC ⊥BD, ∴⋅=︱︱︱︱cos(180-∠CAB)
=-10|AB |cos ∠CAB=-102
AC
⨯
=-10⨯5=-50． 22.原题（必修4第一百零八页习题2.4B 组第四题）改编1 如图1，在圆C 中，点,A B 在圆
上，AB AC ⋅
的值 （ ）
(A)只与圆C 的半径有关；(B)只与弦AB 的长度有关 （C ）既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关
()()(
)()()
2222
cos ,sin ,cos ,sin 0a b a b a b a b a b a a b ααββ==∴+∙-=-=-=∴+-
（D ）是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值 解:答案为B 。

（
（图1）
改编2 如图2，在半径为r 的定圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，那么
→
--→--⋅AC AB 的值可由下列哪些量唯一确定。

请写出所有满足题意的选项的序号
_________________.①. r ②. 弦AB 的长 ③. BAC ∠ ④. BCA ∠ 解：根据数量积的意义，2
cos 2
→--→
--→--→
--→--=
∠=⋅AB BAC AC AB AC AB ，
故②正确；而BAC r AB ∠=→
--cos 2,故③正确；在ABC ∆
BCA r r r r AB ∠⋅-+=→--cos 2222
，故④正确。

答案：②③④ （图2）
改编3 如图2，在半径为r 的定圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，→
--→--⋅AC AB 的取值范围为_________________.
解：当B 点和A 点重合时→→--=0AB ，0=⋅∴→--→--AC AB ；当AB 为圆的直径时22r AC AB =⋅→
--→--，
答案：[
]2
2,0r
改编 4 如图4，在半径为r 的定圆C 中，A 为圆上的一个定点，B →
--→--→
--=+AD AC AB ,且点D 也圆C 上，则=⋅→
--→--AC AB
（图4）解：根据向量加法的平行四边形法则，四边形ABCD 为平行四边形，
而r AB BC AC CD ====→
--→
--→
--→
--，∴ABC ∆为正三角形=⋅∴→
--→--AC AB 2r ，答案：2
改编 5 如图5，在半径为r 的定圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若
→--→--→--→---=+CB AC CB AC ,则=⋅→
--→--AC AB _________________.
（图5）
解：由2
2
→--→
--→--→
---=+CB AC CB
AC ，得0=⋅→
--→--CB AC ,→
--→
--⊥∴CB AC 2r AC AB =⋅∴→
--→--，答案：2r
改编6 如图，在半径为r 的定圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点。

若点D 也圆C 上，且→--→--→--CD CB CA ,,两两所成的角相等，则=⋅→
--→--AC AB _________________.
（图6）
解： →
--→--→--CD CB CA ,, 两两所成的角相等，→
--→--→--∴CD CB CA ,,两两所成的角为零角或0
120角，且
r CD CB CA ===→
--→
--→
--，易知=⋅→
--→--AC AB 0或232r ，答案：0或2
32
r 改编7 如图，在半径为r 的定圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点。

若点A 、B 、C 不共线，且→
--→
--→
--≥-BC AC t AB 对()+∞∈∀,0t 恒成立，则=⋅→
--→--AC AB ______________. 解：根据数乘向量与向量减法的意义，点D 在射线AC 上，
→--→--→--=-∴DB AC t AB ，由→--→--≥BC DB 恒成立，则→--→--⊥CB AC 2r AC AB =⋅∴→
--→--
答案：2
r （图
23.原题（必修4第一百二十页复习参考题B 组第五题）改编 在△ABC 所在的平面内有一点
P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )
A.1
3
B.12
C.2
3
D.3
4
解：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，即PC →＝2AP →
，所以点P 是CA 边上的三等分点，如图所示．故
S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝2
3
. 24.原题（必修4第一百二十页复习参考题B 组第六题）改编 如图，已知
,,||2,||3,OA a OB b a b ====
任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，点C 为线段AB 中点，则MN OC ⋅=
____________. 解：2OM OS OA += ,2ON OS OB +=
2()MN ON OM OB OA ∴=-=-
又12
OC OA OB =+
22
()()5MN OC OB OA OB OA OB OA ⋅=-⋅+=-=
故答案为5
25.原题（必修
4
第一百二十七页例
2）改编 已知
4
31c o s ,,,t a n
,,,5
23
2π
ααπ
πββπ⎛⎫⎛⎫
=-
∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
求()cos αβ+。

解：3,
2αππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，4cos ,5α=- 3sin 5α∴=-。

,2πβπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，1tan ,3β=-
cos ββ∴==。

(
)43cos cos cos sin sin (55αβαβαβ⎛⎫
⎛⎫∴+=-=-⨯--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

26.原题（必修4第一百三十九页例1）改编
化简：+的结果
是 .
解：2sin2
27.原题（必修4第一百四十七页复习参考题B 组第六题）改编 若函
数
2()22cos f x x x m =++在区间[0,]2
π
上的最小值为3，求常数m 的值及此函数当
[,]x a a π∈+(其中a 可取任意实数)时的最大值.
解
：
()2cos 212sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++，[0,]2
x π
∈时，
72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62
x π+∈-，3m ∴=，由于()f x 最小正周期为π，所以当a
取任意实数时，()f x 区间[,]a a π+上的最大值是6.
28.原题（必修4第一百四十七页复习参考题B 组第七题）改编 如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为AB 、DA 上的点，当∠PCQ=0
45时，求△APQ 的周长. 解：设,,,DCQ BCP DQ x BP y αβ∠=∠=== 则0
tan ,tan ,45x y αβαβ==+=
A
C
tan()11x y xy
αβ++==- ∴1x y xy +=-
∴△APQ 的周长为AP+AQ+PQ
11x y =-+-+
2()x y =-+
2()x y =-++ 2()()x y x y =-+++
=2
B
P。