2021年新高考数学之三角函数培优练

三角函数培优训练
一、典例合作探究
1.数字特征
数字是绝大多数数学试题最基本的元素，一些问题中的数字从何来、有何含义、对解法有什么影响筀等，可能就是该问题的“题眼”以及解题的突破口.关注数字背后的故事，因“数”定法是解题的一个重要视角，要理解、讲好数字背后的故事，让解题有趣、好玩.三角函数的基础是直角三角形中的边、角计算，就是熟悉勾股数（字），对勾股数应该比较敏感.高考中一些三角函数求值问题，看清数字背后的故事可以直接写出结果，而不必在公式中绕来绕去.
【例1】已知1sin cos 5θθ+=，且324ππθ≤≤，则cos 2θ= .
【例2】已知)sin 2cos 2R ααα+=
∈，则tan 2α= （ ） A.43 B.34 C.34- D.43
-
2.图象特征
三角函数图象与性质是重点内容之一，课本学习的三角函数性质只是对它的典型特征的部分描述，还有很多性质没有写出来，需要时看图说话，可以得到它的更多性质.
【例3】设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A 、ω、ϕ是常数，0A >、0ω>）.若()f x 在区间62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上具有单调性，且2()=()()236f f f πππ=-，则()f x 的最小正周期为 .
【例4】已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4x π
=-为()f x 的零点，直线
4
x π=为()y f x =图象的对称轴则ω的最大值为 （ ） A. 11 B.9 C.7 D.5
【例5】函数2cos 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数sin 2y x x =的图象至少向左平移 个单位长度得到.
二、学以致用
1.若130,0,cos ,cos 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则cos =2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A.
33 B.33- C.539 D.69- 2.若37sin 2,428ππθθ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦
，，则sin =θ （ ）
A.
35 B.45 C.74 D.34
3.（多选题）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+=（ ）
A.sin 3x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭ B.sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
C.cos(2)6x π+
D.5cos(2)6x π-
4. 函数sin 3cos y x x =的图象可由函数sin +3cos y x x =的图象至少向右平移 个单位长度得到.
5. 将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<
⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12
min 3x x π-=，则=ϕ （ ） A.512π B.3π C.4π D.6
π。