清河县外国语学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

清河县外国语学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知数列{a n }是等比数列前n 项和是S n ，若a 2=2，a 3=﹣4，则S 5等于（ ） A ．8
B ．﹣8
C ．11
D ．﹣11
2． 函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈
（
，
），使f （sin φ）=f （cos φ），则实
数m 的取值范围是（ ） A
．（
） B
．（
，
]
C
．（
） D
．（
]
3． 若函数2
()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(]
[),4064,-∞+∞ B ．[40,64] C ．(],40-∞ D ．[)64,+∞
4． 已知双曲线
的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．（1，2]
B ．（1，2）
C ．[2，+∞）
D ．（2，+∞）
5． 执行如图所示的一个程序框图，若f （x ）在[﹣1，a]上的值域为[0，2]，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（0，1]
B ．[1
，] C ．[1，2] D ．
[，2]
6． 函数f （x ）在x=x 0处导数存在，若p ：f ′（x 0）=0：q ：x=x 0是f （x ）的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件
B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
7． 下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A
．
B ．y=﹣2x+5
C ．y=lnx
D ．
y=
8． 集合{}5,4,3,2,1,0=S ,A 是S 的一个子集,当A x ∈时,若有A x A x ∉+∉-11且,则称x 为A 的一个“孤立元素”.集合B 是S 的一个子集, B 中含4个元素且B 中无“孤立元素”,这样的集合B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.7
9． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
10．已知x ，y 满足，且目标函数z=2x+y 的最小值为1，则实数a 的值是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
11．若变量x ，y 满足：
，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（ ）
A ．﹣2＜t ＜﹣
B ．﹣2＜t ≤﹣
C ．﹣2≤t ≤﹣
D ．﹣2≤t ＜﹣
12．沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，CE=3，异面直线A 1C 1与CE
所成角的余弦值为，且四边形ABB 1A 1为正方形，则球O 的直径为 ．
14．已知（x 2﹣
）n
）的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，则展开式中常数项是 ．
15．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R ）与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是 ．
16．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为
17．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC
②tanA+tanB+tanC 的最小值为3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°
⑤当tanB ﹣1=
时，则sin 2
C ≥sinA •sinB ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=﹣x 2+ax ﹣lnx （a ∈R ）．
（I ）当a=3时，求函数f （x ）在[，2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）函数f （x ）既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围．
20．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分别记为,,,,A B C D E ，其频率分布直方图如下图所示．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；
（Ⅱ）该团导游首先在,,C D E 三组中用分层抽样的方法抽取了6名团员负责全团协调，然后从这6名团员中
随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自C 组的概率．
21．（本小题满分12分） 设函数mx x x x f -+=
ln 2
1)(2
（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；
（3）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．
22．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R．（Ⅰ）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12ln x恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a），
记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．
23．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．
24．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求点A到平面PMB的距离．
清河县外国语学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：设{a n }是等比数列的公比为q ， 因为a 2=2，a 3=﹣4， 所以q=
=
=﹣2，
所以a 1=﹣1， 根据S 5==﹣11．
故选：D ．
【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n 项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．
2． 【答案】A
【解析】解：∵函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ）， ∴函数f （x ）关于x=m 对称，
若φ∈（
，
），
则sin φ＞cos φ，
则由f （sin φ）=f （cos φ），
则=m ，
即m==
（sin φ×
+cos αφ）=sin （φ+
）
当φ∈（，
），则φ+
∈（，
），
则＜
sin （φ+
）＜
，
则＜m ＜，
故选：A
【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：根据()2
48f x x kx =--可知，函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为8
k
x =
，所以若函数()f x 在区间[]5,8上为单调函数，则应满足：
58k ≤或88
k
≥，所以40k ≤或64k ≥。

故选A 。

考点：二次函数的图象及性质（单调性）。

4． 【答案】C
【解析】解：已知双曲线的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴≥，离心率e2=，
∴e≥2，故选C
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
5．【答案】B
【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，
当a＜0时，y=log2（1﹣x）+1在[﹣1，a]上为减函数，f（﹣1）=2，f（a）=0⇒1﹣a=，a=，不符合题意；当a≥0时，f′（x）=3x2﹣3＞⇒x＞1或x＜﹣1，
∴函数在[0，1]上单调递减，又f（1）=0，∴a≥1；
又函数在[1，a]上单调递增，∴f（a）=a3﹣3a+2≤2⇒a≤．
故实数a的取值范围是[1，]．
故选：B．
【点评】本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值．
6．【答案】C
【解析】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．
根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，
故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，
故选：C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．
7．【答案】C
【解析】解：对于A，函数y=在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；
对于B，函数y=﹣2x+5在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；
对于C，函数y=lnx在（0，+∞）上是增函数，∴满足题意；
对于D ，函数y=在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意． 故选：C ．
【点评】本题考查了基本初等函数的单调性的判断问题，是基础题目．
8． 【答案】C 【解析】
试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：{}0,1,3,4，{}0,1,3,5，{}0,1,4,5，{}0,2,3,5，{}0,2,4,5，{}1,2,4,5共6个。

故选C 。

考点：1.集合间关系；2.新定义问题。

9． 【答案】A 【解析】
考
点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“10a >，0d <”判断前项和的符号问题是解答的关键．
10．【答案】B
【解析】解：由约束条件
作出可行域如图，
由图可知A （a ，a ），
化目标函数z=2x+y 为y=﹣2x+z ，
由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解
得：a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．【答案】C
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0，
由，得，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（﹣2，1），
则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可，
即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，
即（3t+4）（2t+4）≤0，
解得﹣2≤t≤﹣，
即实数t的取值范围为是[﹣2，﹣]，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．
12．【答案】A
【解析】解：由已知中几何体的直观图，
我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；
中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；
而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确
故A选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．
二、填空题
13．【答案】4或．
【解析】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，
∴AC=，
由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，
∴x=1或，
∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，
或AB=2，BC=，球O的直径为=．
故答案为：4或．
14．【答案】45．
【解析】解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，
由第三项与第五项的系数之比为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10﹣i（﹣）i=（﹣1）i C10i=，令40﹣5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（﹣1）8C108=45，
故答案为：45．
15．【答案】[1，5）∪（5，+∞）．
【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，
∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，
由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称，
故只需要令x=0有
5y2=5m
得到y2=m
要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是
y2≥1
得到m≥1
∵椭圆方程中，m≠5
m的范围是[1，5）∪（5，+∞）
故答案为[1，5）∪（5，+∞）
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．
16．【答案】：2x﹣y﹣1=0
解：∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，
∴圆心与点P确定的直线斜率为=﹣，
∴弦MN所在直线的斜率为2，
则弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．
故答案为：2x﹣y﹣1=0
17．【答案】84．
【解析】解：（x2﹣）9的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x18﹣3r，
令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7===84，
故答案为：84．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
18．【答案】①④⑤
【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，
又∵tan（A+B）=，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；
当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；
若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当tanB﹣1=时，tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，
此时sin2C=，
sinA•sinB=sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（cosA+sinA）=sinAcosA+sin2A=sin2A+﹣
cos2A=sin（2A﹣30°）≤，
则sin2C≥sinA•sinB．故⑤正确；
故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）a=3时，f ′（x ）=﹣2x+3﹣=﹣
=﹣
，
函数f （x ）在区间（，2）仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在[，2]最大值是f （1）=2，
又f （2）﹣f （）=（2﹣ln2）﹣（+ln2）=﹣2ln2＜0，故f （2）＜f （），
故函数在[，2]上的最小值为f （2）=2﹣ln2．
（Ⅱ）若f （x ）既有极大值又有极小值，则必须f ′（x ）=0有两个不同正根x 1，x 2，即2x 2
﹣ax+1=0有两个不
同正根．
故a 应满足
⇒
⇒
，
∴函数f （x ）既有极大值又有极小值，实数a 的取值范围是．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能
力、识图能力、获取数据信息的能力．
21．【答案】
【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211
()x mx f x x m x x
-+'=+-=．
令()0f x '=，得2
10x mx -+=．
当2
40m ≤∆=-，即02m ≤<时，()0f x ≥'，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增． 当2
40m ∆=->，即2m >时，由2
10x mx -+=解得
1x =
，2x =120x x <<， 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<，
∴()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．
（2）由（1）可知，当02m ≤<时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，∴()f x 最多只有一个零点．
又∵1
()(2)ln 2
f x x x m x =
-+，∴当02x m <<且1x <时，()0f x <； 当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点．
当2m >时，∵()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，
且211()ln
f x =+
=+222
04
m m -+-<<，
40124
m -<=<=（∵2m >），
∴1()0f x <，由此知21()()0f x f x <<，
又∵当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点． 综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点．
（3）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点，
则有()()f x f x x '=，即2
1ln 2x x mx x +-1
x m x =+-， 化简得：2
1ln 102x x -+=（0x >）．（*）
记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211
()x g x x x x
-'=-=，
令()0g x '=，解得1x =．
当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，
∴3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213
ln 122
x x -+≥．
由此说明方程（*）无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线．
22．【答案】（1）a ＝
12（2）（－∞，－1－1e ]．（3）827
【解析】
（2）
f （x ）＋f （－x ）＝－6（a ＋1）x 2≥12ln x 对任意x ∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a ＋1）≥2
2ln x
x ． 令g （x ）＝
22ln x
x ，x ＞0，则g '（x ）＝()3212ln x x
-．
令g '（x ）＝0，解得x
当x ∈（0g '（x ）＞0，所以g （x ）在（0
当x ∞）时，g '（x ）＜0，所以g （x ∞）上单调递减．
所以g （x ）max ＝g 1e
， 所以－（a ＋1）≥1e ，即a ≤－1－1
e
，
所以a 的取值范围为（－∞，－1－1
e
]．
（3）因为f （x ）＝2x 3－3（a ＋1）x 2＋6ax ，
所以f ′（x ）＝6x 2－6（a ＋1）x ＋6a ＝6（x －1）（x －a ），f （1）＝3a －1，f （2）＝4． 令f ′（x ）＝0，则x ＝1或a ． f （1）＝3a －1，f （2）＝4．
②当5
3
＜a＜2时，
当x∈（1，a）时，f '（x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减；
当x∈（a，2）时，f '（x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．
又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2，所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1．
因为h'（a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0．
所以h（a）在（5
3
，2）上单调递增，
所以当a∈（5
3，2）时，h（a）＞h（5
3
）＝8
27
．
③当a≥2时，
当x∈（1，2）时，f '（x）＜0，所以f（x）在（1，2）上单调递减，
所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（2）＝4，
所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－4＝3a－5，
所以h（a）在[2，＋∞）上的最小值为h（2）＝1．
综上，h（a）的最小值为8
27
．
点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.
23．【答案】
【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，，
∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分）
（Ⅱ）=（6分）
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2
故当时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）.
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=（9分）
若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，
e]上的最小值（*）（10分）
又，x∈[0，1]
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾
②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1得，
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，，
此时b＞1（11分）
综上，b的取值范围是（12分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．
24．【答案】
【解析】解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，
因为M、N分别是棱AD、PC中点，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．
⇒DN∥平面PMB．
（2）⇒PD⊥MB
又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，
所以MB⊥AD．
又AD∩PD=D，
所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．
（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．
过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．
故DH是点D到平面PMB的距离.．
∴点A到平面PMB的距离为．
【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．。