2019年黑龙江省哈尔滨市第二十六中学高三数学文联考试题含解析

2019年黑龙江省哈尔滨市第二十六中学高三数学文联
考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 给出以下三幅统计图及四个命题:
①从折线统计图能看出世界人口的变化情况
②2050年非洲人口大约将达到近15亿
③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
其中正确的个数
是
（）
A．1 B．2 C．3
D．4
参考答案：
B
2. 已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且,则的最小值是( ).
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
C
3. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，，，则等于（）
A. B. 1 C. 2 D. 3
参考答案：
B
【分析】
根据数列的通项公式可求得的值，再代入前项和公式，即可得答案；
【详解】
，
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.
4. 已知双曲线的离心率为2，若抛物线
的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）
参考答案：
【知识点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．L4
【答案解析】D 解析：双曲线的离心率为2．
所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：
抛物线的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，
所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为．
故选D．
【思路点拨】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．
5. 在等比数列{a n}中，，，则（）
A. 3
B. ±3
C.
D.
参考答案：
A
【分析】
先设等比数列的公比为，根据题中条件判断公比为正，再由等比数列的性质，即可求出结果.
【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，
又，所以.
故选A
【点睛】本题主要考查等比数列的性质，熟记等比数列性质即可，属于基础题型.
6. （5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，） B．（，+∞） C．（，e） D．（e，+∞）
参考答案：
B
【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】：导数的概念及应用．
【分析】：求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为（e x﹣m）e=﹣1，有解，即可得到结论．
解：函数的f（x）的导数f′（x）=e x﹣m，
若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，
则切线斜率k=e x﹣m，
满足（e x﹣m）e=﹣1，
即e x﹣m=﹣有解，
即m=e x+有解，
∵e x+＞，
∴m＞，
故选：B
【点评】：本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键．
7. 若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数
的取值范围是
A．B．
C．D．
参考答案：
C
8. 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m，侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的体积等于（）
A．πm3 B．πm3 C．πm3 D．πm3
参考答案：
D
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】计算题；函数思想；综合法；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】根据已知求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，
圆锥形物体的母线长l=4m，侧面展开图的圆心角为，
故2πr=l，
解得：r=m，
故圆锥的高h==m，
故圆锥的体积V==πm3，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征和体积公式是解答的关键．
9. 已知中，, ,则的周长为()
A．B．
C．D．
参考答案：
C
设三边分别为，则
，的周长
10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为
A. 28π
B.32π
C.π
D. π
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若框图（右图）所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是___________.
参考答案：
12. 已知命题“?x∈R，x2+2ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．
参考答案：
（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】命题为真命题，得到判别式大于0，解不等式即可．
【解答】解：∵“?x∈R，x2+2ax+1＜0”为真命题，
∴△=4a2﹣4＞0，
∴a＜﹣1或a＞1．
则实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
13. 函数，则函数的所有零点所构成的集合为
参考答案：
【知识点】函数的零点问题 B9
.解析：当时，，
∴∴当时，，
∴；当时，
；
当时，
所以函数的所有零点所构成的集合为：，故答案为
.
【思路点拨】欲求函数函数的零点，即求方程的解，下面分：当时，当时分别求出函数的所有零点所构成的集合即可．
14. 若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数
a= ．
参考答案：
4或8
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】首先分两种情况：①焦点在x轴上．②焦点在y轴上，分别求出a的值即可．解：①焦点在x轴上时：10﹣a﹣（a﹣2）=4
②焦点在y轴上时a﹣2﹣（10﹣a）=4
解得：a=8
故答案为：4或8．
【点评】本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c的关系式，及相关的运算问题．
15. 如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C 是DE延长线上一点，连结BC与圆O交于F，若,,，则________．
参考答案：
16. 如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1， AB=3，动点P在
△BCD内运动（含边界），设，则的取值范围是 .
参考答案：
略
17. 已知函数的图象关于轴对称，则实数的值是_______________.
参考答案：
【分析】本题考察函数的基本性质，本题处理的方法如果不同，那么本题侧重的知识点就有所不同，但本质上都是围绕着函数的对称性进行问题的求解。

第一种入手的方法就是从条件“关于轴对称”入手，得知函数为偶函数，从而利用偶函数的代数性质，进
行求解；另外一种处理手段是通过解析式对原始的图象带来的图象变化入手可以解得问题，或者直接使用图象变化的二级结论，即的图象关于对称，利用二级结论解决小题是最快的求解手段，而且，近几年北京高考对于函
数图象变化的考核明显增多，望考生在后续复习时加大关注力度。

【解】
方法一：由于函数图像关于轴对称，那么函数为偶函数，那么，根据指数
函数的单调性可知，，只有当时，等式恒成立，故填.
方法二：根据函数图像的变化规律可知，函数，由函数得到，首先将函数
关于轴进行翻折，可以得到函数，此时函数关于轴对称，再将图象向
左平移个单位得到，此时函数关于对称，根据题目条件可知对称轴为轴，故，故填.【注：此法结论可以当作一个二级结论记下，在考试小题求解中直接使用】
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）
的频率分布直方图如图所示．
(I)估计产品中该物质含量的中位数及平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(Ⅱ)规定产品的级别如下表：
若生产1件A级品可获利润100元，生产1件B级品可获利润50元，生产1件C级品亏损50元．现管理人员从三个等级的产品中采用分层抽样的方式抽取10件产品，试用样本估计生产1件该产品的平均利润．
参考答案：
19. (本小题满分14分)已知函数
（Ⅰ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.
参考答案：
20. （12分）某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课．为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；
（Ⅲ）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在[40，50]上的概率．
参考答案：
【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【专题】：概率与统计．
【分析】：（Ⅰ）根据频率分布直方图矩形面积之和为1，可求出直方图中的a的值；
（Ⅱ）先求出上学所需时间的平均值，再与20比较即可得到答案；
（Ⅲ）根据分层抽样确定[30，40）和[40，50）抽取的人数，列举任意抽取两人的基本事件，找出恰有一个学生的单程时间落在[40，50]上事件包含的基本事件，利用概率公式计算即可．
解：（Ⅰ）时间分组为[0，10）的频率为
1﹣10（0.06+0.02+0，003+0.002）=0.15，
∴a==0.015，
所以所求的频率直方图中a的值为0.015．
（Ⅱ）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：
=0.15×5+0.6×15+0.2×25+0.03×35+0.02×45=16.7，
因为16.7＜20，
所以该校不需要推迟5分钟上课．
（Ⅲ）依题意满足条件的单程所需时间在[30，40）中的有3人，不妨设为a，b，c，
单程所需时间在[40，50）中的有2人，不妨设为A，B，
从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下10种情况：
（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40，50]中的有以下6种：
（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），
故恰有一个学生的单程所需时间落在[40，50]中的概率P==．
【点评】：本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．
21. （本小题满分13分）如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的短轴长。

与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交于点。

（1）求、的方程；
（2）求证：。

（3）记的面积分别为，
若，求的取值范围。

参考答案：
（1）
（1分）
又，得
（2分）
（2）设直线则（3分）
=0
（5分）
（3）设直线
，同理可得
（8分）
同理可得
（11分）
（13分）
22. （本题满分14分）己知在锐角中，角所对的边分别为，且
.
（Ⅰ）求角大小；
（Ⅱ）当时，求的取值范围.
参考答案：
解：（Ⅰ）由已知及余弦定理，得因为为锐角，所以……6分
（Ⅱ）由正弦定理，得，
…… 11分
由得
………14分。