安徽省高考数学第二轮复习 专题升级训练27 解答题专项训练数列 理

专题升级训练27 解答题专项训练(数列)
1．(2012·云南昆明质检，17)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝3，S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n
a n ，求数列{
b n }的前n 项和T n .
2．(2012·山东济南二模，18)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3n
＋k ， (1)求k 的值及数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足
a n ＋1
2
＝()
4n n
a b k +，求数列{b n }的前n 项和T n .
3．(2012·河南豫东、豫北十校段测，18)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n
－n (n －1)(n ∈N *
)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
4．(2012·河北石家庄二模，17)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 10，S 7成等差数列．
(1)求证a 3，a 9， a 6成等差数列；
(2)若a 1＝1，求数列{a 3
n }的前n 项的积．
5.(2012·陕西西安三质检，19)已知等差数列{a n }满足a 2＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .
(1)求a n 及S n ；
(2)令b n ＝1a 2n －1
(n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和T n .
6．(2012·广西南宁三测，20)已知数列{a n }满足a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2n (n ＋1)．
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n n 为等差数列，并求数列{a n }的通项；
(2)设c n ＝
a n
2
，求数列{c n ·3
n －1
}的前n 项和T n .
7．(2012·安徽芜湖一中，理21)已知数列{a n }的相邻两项a n ，a n ＋1是关于x 的方程x 2
－2n x ＋b n ＝0(n ∈N *
)的两根，且a 1＝1.
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n －13×2n 是等比数列．
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
(3)是否存在常数λ，使得b n －λS n >0对于任意的正整数n 都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
8．(2012·北京石景山统测，20)若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2
n ，则称数列{A n }为“平方递推数
列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2
＋2x 的图象上，其中n 为正整数．
(1)证明数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n ＝(2a 1＋1)(2a 2＋1)…(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；
(3)记b n ＝log2a n ＋1T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n >2 012的n 的最小值．
参考答案
1．解：(1)设{a n }的公差为d ，有⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＋d ＝3，10a 1＋10×9
2d ＝100，
解得a 1＝1，d ＝2，
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.
(2)T n ＝13＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n
，
13T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1， 相减，得 23T n ＝13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝23－2n ＋23×⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n . ∴T n ＝1－n ＋1
3
n .
2．解：(1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －3n －1－k ＝2×3n －1
，a 1＝S 1＝3＋k ，所以k ＝－1.
(2)由a n ＋12＝(4＋k )a n b n ，可得b n ＝n 2×3n －1
，b n ＝32×n 3
n ， T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋232＋3
3
3＋…＋n 3n ，
13T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋233＋3
3
4＋…＋n 3n ＋1，
所以23T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋1
3
3＋…＋13n －n 3n ＋1，
T n ＝94⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2－12×3n －n 3n ＋1.
3．解：(1)∵S n ＝na n －n (n －1)，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)a n －1－(n －1)(n －2)， ∴a n ＝S n －S n －1＝na n －n (n －1)－ (n －1)a n －1＋(n －1)(n －2)． ∴a n －a n －1＝2.
∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列．
故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *
.
(2)由(1)知b n ＝2a n a n ＋1＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－1
2n ＋1
，
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝
2n
2n ＋1
. 4．解：(1)当q ＝1时，2S 10≠S 4＋S 7，∴q ≠1.
由2S 10＝S 4＋S 7，得2a 1(1－q 10)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q ＋a 1(1－q 7
)
1－q .
∵a 1≠0，q ≠1，∴2q 10＝q 4＋q 7.则2a 1q 8＝a 1q 2＋a 1q 5
. ∴2a 9＝a 3＋a 6.∴a 3，a 9，a 6成等差数列．
(2)依题意设数列{a 3
n }的前n 项的积为T n ， T n ＝a 13·a 23·a 33…a n 3
＝13·q 3·(q 2)3·…·(q n －1)3＝q 3·(q 3)2·…·(q 3)n －1
＝(q 3)1＋2＋3＋…＋(n －1)
＝
(1)3
2
()
n n q -.
又由(1)得2q 10＝q 4＋q 7
，
∴2q 6－q 3－1＝0，解得q 3＝1(舍)，q 3
＝－12
.
∴T n ＝(1)
21()2
n n --.
5．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .
由于a 3＝7， a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26. 解得a 1＝3，d ＝2.
由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )
2
，
所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．
(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2
n －1＝4n (n ＋1)．
因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1，
故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－1
3＋…＋1n －1n ＋1
＝14⎝
⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n
4(n ＋1)， 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n
4
(n ＋1)．
6．解：(1)∵na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2n (n ＋1)，
∴a n ＋1n ＋1－a n
n ＝2.∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 为等差数列． 不妨设b n ＝a n
n
，则b n ＋1－b n ＝2，
从而有b 2－b 1＝2，b 3－b 2＝2，…，b n －b n －1＝2，累加得b n －b 1＝2(n －1)，即b n ＝2n .∴a n ＝2n 2
.
(2)c n ＝a n
2
＝n ，
T n ＝1×30
＋2×31＋3×32＋…＋n ×3n －1，
3T n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n
， 两式相减，得
T n ＝1＋3＋32＋33＋…＋3n －1－n ×3n
－2＝14＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2－14·3n
，
∴T n ＝14＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2－14·3n
.
7．(1)证明：由题知a n ＋a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1－13×2n ＋1
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －13×2n ，故数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n －13×2n 是
首项为a 1－23＝1
3
，公比为－1的等比数列．
(2)解：a n －13×2n ＝13×(－1)n －1，即a n ＝13
[2n －(－1)n
]．
由题知S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝13
{(2＋22＋23＋…＋2n )－ [(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n
]}
＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1
－2－(－1)n －12＝13⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2n ＋1－(－1)n
2－32.
(3)解：∵b n ＝a n a n ＋1＝19[2n －(－1)n ]×[2n ＋1－(－1)n ＋1]＝19
[22n ＋1－(－2)n
－1]．
要使b n －λS n >0对任意n ∈N *
都成立，
即19[22n ＋1－(－2)n －1]－λ3⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1－32－(－1)n
2>0(*)对任意n ∈N *都成立． ①当n 为正奇数时，由(*)式得19(2n ＋1＋2n －1)－λ3
(2n ＋1
－1)>0，
即19(2n ＋1－1)(2n ＋1)－λ3(2n ＋1－1)>0.∵2n ＋1
－1>0，∴λ<13
(2n ＋1)对任意正奇数n 都成立．当且仅当n ＝1时，13
(2n
＋1)有最小值1，∴λ<1.
②当n 为正偶数时，由(*)式得19(22n ＋1－2n －1)－λ3
(2n ＋1
－2)>0，
即19(2n ＋1＋1)(2n
－1)－2λ3
(2n －1)>0. ∵2n
－1>0，∴λ<16
(2n ＋1＋1)对任意正整数n 都成立．
当且仅当n ＝2时，16(2n ＋1＋1)有最小值32，∴λ<3
2
.
综上所述，存在常数λ，使得b n －λS n >0对任意n ∈N *
都成立，且λ的取值范围是(－∞，1)．
8．解：(1)∵a n ＋1＝2a n 2＋2a n,2a n ＋1＋1＝2(2a n 2＋2a n )＋1＝(2a n ＋1)2
， ∴数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”．
由以上结论lg(2a n ＋1＋1)＝lg(2a n ＋1)2
＝2lg(2a n ＋1)， ∴数列{lg(2a n ＋1)}为首项是lg 5，公比为2的等比数列．
(2)lg(2a n ＋1)＝[lg(2a 1＋1)]×2n －1＝2n －1lg 5＝lg 52n －1
，
∴2a n ＋1＝1
25n -，∴a n ＝12
(125n -－1)．
∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋…＋lg(2a n ＋1)＝(2n －1)lg 5，∴T n ＝52n
－1.
(3)∵b n ＝lg T n lg(2a n ＋1)＝(2n
－1)lg 52n －1lg 5＝2－1
2
n －1，
∴S n ＝2n －2＋1
2
.
∵S n >2 012，∴2n －2＋1
2
n －1>2 012.
∴n ＋1
2
n >1 007.∴n min ＝1 007.。