福建省泉州市泉港区2017_2018学年高二数学上学期第二次1月月考试题理201801100125

2017-2018学年上学期第二次月考
高二理科数学试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束时，将答题卡和答题 卷一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共 50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

本大题共 10小 题，每小题 5分，共 50分。

1、 要从其中有 50个红球的 1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取 100个 进行分析，则应抽取红球的个数为 （ ）
A ．5个
B ．10个
C ．20
D ．45个
1
2. “ ”是“A =150º”的
（
）
sin A
2
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
f (3 2x ) f (3)
3. 对于函数 f (x ) ，若 f (3) 3 ，则
的值为 （
）
lim
x
x
A ．3
B ．6
C ．9
D ．－3
4、右图是 2016年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶 统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差 是 （ ） A ．84 ， 4.84 B ．84 ，1.6
C ．85 ，1.6
D ．85 ，4.84
7
8
9
9
4 4 6 4 7 3
5、下表是某工厂 1～4月份用电量(单位：万度)的一组数据：
月份 x 1 2 3 4 用电量 y
4.5
4
3
2.5
^
由散点图可知，用电量 y 与月份 x 间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ＝－0.7x ＋ a ，则 5月份的用电量估计为
( ) A. 2.6
B ．1.75
C ．1.25
D ．2.35
6、要做一个无盖的圆柱形储水罐，若要使其体积为8 立方米，且用料最省，则圆柱形储水
罐的底面半径为： （ ） A. 1米
B.
2 米 C. 2 米
D. 2米
7、程序框图如下：
- 1 -
如果上述程序运行的结果为 S ＝11880，那么判断框中应填入 （ ）
A ． K
9 ？ B ． k 10? C ． k
10? D ． k 8?
8．在棱长为 1的正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为 A 1B 1和 BB 1的中点，那么直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值为（
）
2 6
A ．
B ．
5
13 7
C ．
D ．
13
21
5
9．如上图，在正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知 AB ＝2，AA 1＝4，E 、F 分别为 D 1D 、B 1B 上的
2
点，且 B 1F ＝1，在线段 DD 1 上找一点 E ，使三棱锥 E －ACF 的体积为 ，
3
则 DE 的长为 （ ） A ． 1 B ． 2
C ．3
D ．
4
3
10、经调查由泉港一中到泉港永辉超市，公交车有 1路，7路。

已知 1路车每 13分钟一班，7 路车每 10钟一班，每辆车到站是等可能的。

高二（4）班甲同学现需从一中乘公交车到泉港永 辉超市购买学习用品，求甲同学在 3分钟内能乘上公交车的概率 （
）
8
6
7
A ．
B ．
C ．
D ．
13 13 13
3
20
11、已知曲线 C ：y 2=2px 上一点 P 的横坐标为 4，P 到焦点的距离为 5，若 A （3，1），曲线 C 的焦点为 F ，M 为曲线 C 上的动点，则 MA MF 的最小值 ( )
1
A ．
B ．2
C ．3
D ． 4
2
12．已知函数 f (x )
x ln x 2ax 2
x ,(a R )，若函数恰有两个零点，
则实数 a 的取值范围： （
）
1
1
1
2
A
．
B
．
C
．
D
．
, , 0, 0,
e
2e
2e
e
2
2
2
2
第Ⅱ卷 （非选择题 共 90分）
二、填空题：本大题共 5小题，每小题 4分共 20分，把正确答案填在答题卷上 13. 直线 a 过点 M （－2，1）交抛物线 y 2
6x 于 A ，B 两点且 M 为 AB 的中点，则直线 a 方程
14.若函数f(x)x3mx2mx,(x R)有极值，则实数m的取值范围
- 2 -
15.命题p：方程x2x a23a0有一根大于2，一根小于2；命题q：函数
y lg(ax2x a)p q p q
的值域为R；若.命题“”为真命题，而命题“”为假命题，
则实数a的取值范围
16．设双曲线﹣=1，（a〉0，b〉0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双
线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于D，若D到直线BC的距离不大于a+c，则该双曲线的离心率的取值范围是.
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分10分）已知函数f(x)x32x24x，
（1）求函数f(x)在x1处的切线方程；
（2）求函数f(x)在[-2，3]上的最大值；
18、（本小题满分12分）
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段
[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问
题：（要有适当的文字叙述）
(1)估计这次考试的众数m与中位数n(结果精确到0.1)；
(2)从[40,50)和[90,100]这两段的物理成绩中任取两人的物理成绩，这两人的物理成绩都优秀
的概率．
- 3 -
19、（本小题满分 12分）
x
y
2
2
已知双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为 2 3 ，且与椭圆
有相同的焦点；（1） 1
9
25
求此双曲线方程； （2）直线l : y
3x 4 与此双曲线交于 A ，B 两点，求弦 AB 的长？
20．（本小题满分 12分） 如图，四边形 ABCD 是矩形， BC 平面 ABEF ，
四 边 形 ABEF 是 梯 形 EFA
FAB 900 ，
， 点 M 是 DF 的 中 点 ，
CM
3 2 2
， （Ⅰ）求证：BF∥平面 AMC ； （Ⅱ）求二面角 B －AC －E 的余弦值.
21.已知函数f (x ） = a x 3 + x 2 - ax (a R 且a 0).
f (x ) 3 (1)求 函 数
g (x ) ln x 的减区间； x a （2）若函数h(x)=f(x)+ f
(x )
在
1,
单调递减，求实数 a 的取值范围？
x
y
2
2
2 22.已知椭圆C ：
的离心率为
，点
， 和点 A
m ，
n m ≠0
都
a b
2
P
2
2 2
1 0
a b
在椭圆C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）求点 M 的坐标（用 m ， n 表示）；
（3）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ．问： y 轴上是否存在 点Q ，使得 OQM
ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
- 4 -
参考答案
（总分150分，完卷时间120分钟）
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A Ｂ
B
C B Ｄ
D ＡＡ B ＤＣ
二、填空题：
（13）3x y 5
0（14
）
,
3
0,
（15）0,
2（16）1,
2
三、解答题：
17、解：（1）f (x)3x24x 4………………1分k f (1)3
………………3分
切点（－1，1）………………4分
∴切线方程：3x y 4
0………………5分
2
（2）当时，∴递增………………6分
x (2,)f (x)
0f(x)
3
2
当时，∴递减………………7分
x (,2)f (x)
0f(x)
3
当x(2,3)时，f (x)
0∴f(x)递增………………8分2
∴f(x)的最大值是f(3)和f ()中的最大值，
3
f(3)
3
<
240 f ()
327
40
∴f(x)的最大值………………10分
27
18、解：（1）众数是75，………………2分
∵0.1+0.15+0.15+(x-70)×0.03=0.5………………4分
1
73
3
解得：X= ………………5分
∴中位数为73.3 ………………6分2）在40－50段有6人，在90－100段有3人………………7分
设事件Ａ表示：这两人的物理成绩都优秀
这个随机试验的试验结果可用(ｘ,ｙ)数对来表示，这样的数对共有
8＋7＋…＋2＋1＝36
- 5 -
∴这个随机试验的样本空间的样本容量ｎ=36………………9分
事件Ａ所含的基本事件总数ｍ＝3………………10分
m1
P(A)
n12 ∴这两人的物理
成绩都优秀的概率，……12分
19、解：(1)知焦点F(0，4)，(0，－4) (1)
∴设双曲线方程：
y x
22
221,(a 0,b
0)
a b
准线方程为：ａｘ-ｂｙ=0 (2)
∵焦点到其一条准线的距离为23
∴2b 3c (4)
又∵ｃ＝4
a24,b212
∴
y x
22
1
双曲线方程：………………6分
412
（2）直线l:y 3x 4与此双曲线方程联立，得：
8x2243x 36
………………7分
369
∴………………8分
x x
33,x x
1212
82
∴弦AB的长：6 ………………12分
20、解：（Ⅰ）证明：(法一)连结BD，交AC于点G，∴点G是BD的中点.
∵点M是DF的中点，∴MG是BDF的中位线. ∴BF//MG.…3分
∵MG 平面AMC，BF 平面AMC，∴BF//平面AMC.…5分
（法二）以A为原点，以AF，AB，AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ∴A 0,0,0，C（0，t，1），E 1,1,0，F 1,0,0，
B（0，t，0）
∴BF (1,t,0)，(1,0, 1)，
AM
22A C (0,t,1)
∴BF 2AM AC…………3分
- 6 -
∴BF,AM,AC共面
又∵BF不在平面ACM内
∴BF//平面AMC. …………5分
（也可证明BF与平面ACM的法向量垂直）
（Ⅱ）解：四边形ABEF是梯形，EFA FAB90，AB AF
又四边形ABCD是矩形，AD AB，又AD AF A，AB面ADF
1 2
又BC//AD，CD面ADF CD DF。

在Rt CDM中，DM
DF，
22
32
CM CD2DM2CM2AB CD2
由可求得……………… 6分
2
以A为原点，以AF，AB，AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∴A0,0,0，C0,2,1，E1,1,0，F1,0,0，
∴AC0,2,1，AE1,1,0，AF1,0,0. 设平面ACE的法向量n x,y,z，
2y z0,
∴n AC0，n AE0. ∴令x1，则y1，z2.
x y0.
∴n1,1,2. ……………… 8分
又AF是平面ACB的法向量，……………… 9分
n AF16
∴cos n,AF.……………… 11分
n AF616
如图所示，二面角B AC E为锐角.
∴二面角B AC E的余弦值是6.…………………………12分
6
21.解：
（1）g(x)ax2x a3ln x
，g(x)的定义域为0,，
a
13
2a2(x)(x)
32a x ax3a2a
22
g'(x)2ax1…………………1分ax ax ax
- 7 -
1
当 a 0 时，由 g '(x )
x
(0, ) ，
，解得
a
1
∴ g (x ) 的单调减区间为
…………3分
(0, ) a
3 当 a
0 时，由 g '(x )
x
(
,)，
，解得
2a
3
∴ g (x ) 的单调减区间为 (
,)
……5分
2a （2） h (x )
ax 3 (3a
1)x 2
(2 a )x a ，
要使函数h(x) 在
1,
单调递减，则 a<0
……6分
h ' (x ) 3ax 2
(6a 2)x 2 a
……7分
令 h ' (x ) 0 ，则：
x
1
1
12a 2 1
2
1 12a 1 1 1 x
1
1
，
……8分
2
3a
3a
故要使函数h(x) 在
1,
单调递减，则：
x
1
1 12a
1
2
1
1
3a
……10分
1
a 2
解得：
……12分
x
y
2
2
2
22.（1）由于椭圆C ：
过点 P 0， 2
且离心率为
，
2
2
1 a b 0 a
b
2
∴b 2
2, ………………1分
c
a
b
1 1
2
2
2
∴，，………………2分
e2a24
1
a a a2
222
x2y2
∴椭圆C的方程为1………………3分
42
（2）P(0,2),A(m,n),直线PA的方程为：
n2 y x
m
2
，………………4分2m2m
令y0,x，M(,0)；………………5分
2n2n
- 8 -
2m
（3）∴N(,0)………………6分
2n
2m(2n)t
设Q(0,t)，则tan OQM tan ONQ………8分
(2n)t2m
2m(2n)t
∴＝………9分
tan OQM tan ONQ
(2n)t2m
∵m22n24
2m2m
22
t4
2
∴………11分
2
1
2n m
2
2
∴t2
∴点Q存在，坐标Q(0,2)………12分
- 9 -。