国际文凭数学课程改革的特点分析及其启示

国际文凭数学课程改革的特点分析
及其启示
马峰
摘要国际文凭数学课程经历了多轮大纲修订，自2019年起，它分为“数学分析与
方法”和“数学应用与解释”两个方向进行设置，两个方向均开设较高水平和标准水平
两种课程，第三卷的出题方式也发生了重大改革，这些改革出于时代特点的考量和新时
代对于人才素质的要求。

国际文凭数学课程的改革理念与我国的课程改革理念类似，但
国际文凭数学课程改革的周期性更加有规律。

国际文凭数学课程的结构和课程内容在最
新改革中变化相当大，把更多的高等数学的内容包括耦合方程组、图论、马尔可夫链、
假设检验等应用性内容融入课程中，统计思维、跨学科思维和算法思维得到前所未有的
重视。

同时，这些内容在很多场合需要图形计算器甚至电脑软件的使用，学生自然把数
学学习与信息技术使用融合在一起。

国际文凭数学课程中的评价方式仍然包含内部评价
环节，名为“数学探索”，它的评价标准变得更加科学，并仍然把内部评价的成绩以
20%计入最后的总分，凸显了国际文凭组织对做课题的重视，目的是培养学生发现问
题、解决问题、进行探究的科学精神。

我国高中正在实施的数学“双新”（指新课程、
新教材，下同）可以借鉴国际文凭课程的做法，研究探究式教学方法；研究开设新课标
中的数学选修课，满足学生在数学学习上不同的发展需求；探索信息技术如何在“双
新”实施中得到使用；研究过程性评价方式，改变只注重考试结果的单一评价方式，特
别要借鉴国际文凭课程中的内部评价标准，研究制定“双新”课程要求的学生课题作业
的科学评价方式，确保课题要求落地，助力学生核心数学素养的发展。

关键词国际文凭高中数学课程标准信息技术评价改革
作者简介马峰，上海市上海中学高级教师（上海200231 )。

中图分类号G4 文献标识码A文章编号1009-5896(2021)03-0150-14
党的“十八大”提出了教育“立德树人”的根本任务，同时，教育部提出了“核心素 养”以及“学科核心素养”的概念。

近年来，我国数学课程标准的修订是在以上重要原则 和背景下进行的。

从时间线上来看，2003年，我国《普通高中数学课程标准（实验稿）》（下文简称150
国际文凭数学课程改革的特点分析及其启示《标准（实验稿）》）公布，此后各省市先后进行了十多年的实践。

在此基础上，2013年起，根据实验结果对2003年的《标准（实验稿）》进行修订，®直到2017年 《普通高中数学课程标准（2017年版）》的出台。

后于2020年再次进行了修订，《普通 高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称《新标准》）问世，后续没有 出台明确的改革日程表。

但是，按照惯例，课程标准实施10年以后就要进行修订。

®相关文献®指出，我国此轮高中数学课程《新标准》的修订经历了 7个阶段，包括 基础研究与调研、凝练数学学科核心素养、优化课程结构与精选课程内容、研制学业质量 标准与划分核心素养水平、基于数学核心素养的评价与命题的可行性研究、明确数学课程 标准实施的突破点、打磨与完善数学课程标准。

在这个过程中，修订组不仅认真考虑了社 会、科学技术的发展对教育的影响，也认真研究了国际教育、课程、数学课程发展的特 点、趋势、经验和问题。

国际文凭（International Baccalaureate Diploma Program,后文简称 IBDP)是一个由国 际文凭组织（International Baccalaureate O rganization,简称IBO)开发的一套完整的高中最后两年的课程体系，诞生于1968年，目前已经有五十多年的历史，它是受到包括美国、英国等国家和地区高水平大学认可的国际主流课程之一。

IBDP数学课程改革的经验一直 为我国的课程改革所借鉴，比如，我国《标准（实验稿）》和《新标准》中的“数学探究 活动”和“数学建模活动”都与IBDP数学旧版课程中的内部评价方式名称完全一致，但 自2014年起，IBDP数学课程中的内部评价已经取消原先“数学探究”和“数学建模”的说法，统称“数学探索”。

以“1B数学”“国际文凭数学”“国际文凭”“国际课程”为关键词在知网进行搜 索，相关文献的主要观点分三个方面：
第一个方面是强调我国课程和国际文凭课程各自的优势。

比如，我国强调“训练学生 数学抽象、逻辑推理和数学运算的客观认知性教学，强调类比与转化的数学思想，有利于 短期提升学生终结性评估成绩的效果，但对数学模式调研、学术交流及解决现实问题的要 求尚不高”，“IBDP的教育行为……侧重学生的数学建模、直观想象和数据分析能力，对 学生主动参与学习，通过自我探究……解决各种（熟悉或不熟悉）问题的要求较高。

”® “国内基础教育改革的方向同IB国际课程的内核不谋而合，尤其在教育理念、学习方 式、评价体系上都有着相同的指向性。

在学生已有知识的基础上开展探究学习，培养科学 的学习方法，强调多元化的评估方式，这些都是出国际课程以学生为中心理念的明确体 现，同我国基础教育改革的方向也不谋而合”。

® “2014新版IB内部评价较之于以前所
①张奠宙.《普通高中数学课程标准》的回顾与展望[J].中学数学月刊，2013(3): 1-3.
② 史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报,2018(1): 8-10.
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④ 张翼飞.澳大利亚IB数学教材与我国髙中人教版教材的比较研究[J].数学教学，2019(12): 4-8.
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151
e匕较教育(f抵| Journal of C om parative Education | | Jun 2021有版本的革命性变化在于让学生自己选题。

这更能激发学生学习数学的热情，调动学生的 积极性，并培养了他们发现问题的能力。

学生在选题、完成的过程中也培养了风险意识和 风险评估、控制的本领，这些都是学生将来进一步发展越来越需要的能力。

最新的评价标 准对于学生的影响可以用激发兴趣、挖掘潜能和培养创造力来进行简单的概括'®第二个方面是在对比中强调国内高中课程的不足之处。

比如，“我国高中所开设的校 本课程很少能涉及跨学科的综合课，这在很大程度上造成了学生知识面窄，综合知识贫 乏，综合能力不强的状况。

高中生的学习强度在全世界首屈一指，但机械的应试训练、缺 少对学生批判性思维和创新精神的培养，使得学生的个性缺乏发展的空间”。

® “国内 基础教育也越来越强调学生进行自主研究性学习的能力，但受诸多因素的制约，国内自主 研究性学习的教与学的氛围还远未形成。

IB课程作为国际主流课程体系之一，其学生报 告作为内部评估的做法似乎可以给我们一点启示。

当然如何去借鉴它的做法，还要花大气 力去研究，不能简单地照搬，必须考虑到国内基础教育的具体情况”。

®
第三个方面是强调要对IB课程进行研究和加以借鉴。

比如，“我国对丨B课程的引人 和本土化要将重点放在研究其内核，深化我国课程改革上”。

® “我国高中课程改革可 以借鉴IBDP高中数学的做法，积极主动地激励增加课程的探究性并建立相应的激励机制 进行推动。

尝试关注高中课题研究和探究式学习，建立起相应的激励评价机制；尝试关注 与学科课程和日常生活紧密联系的课题研究，树立起科学精神；尝试通过教材和教学内容 设计来培养学生的科学探究精神。

高中数学课程也应当增加课程科目和层次的可选择性。

运用数字信息技术，改变教学方式，开展课程的内部评价模式，全面评估学生发展。

扩展 高中数学课程内容，充分与大学专业课程内容衔接”。

®
一、IBD P数学课程改革的理念
数学课程是IBDP课程中的一门必修课程。

IBDP课程每七年进行一次大纲的周期性 修订，以保持其课程与最新教育思想和理念接轨，确保其在世界范围内课程的领先性。

自诞生以来，IBDP数学课程经历了多轮周期性的大纲修订，最近一次修订的大纲版 本的首次实施时间为2019年8月，首次实施新大纲考试的时间为2021年5月。

本轮修订 为IBDP20年来数学课程改革幅度最大的一次e ffiO发布的报告称，IBDP数学的发展意 味着它在满足2019年至2028年学生高中数学学习需求的同时，仍然保持着相关性和严格 性，届时下一个开发周期将完成，并且将发布该课程的后续新版本。

丨BDP数学的变化为 更多的学生提供了更多选择，并为学校在实施分组教学、安排课程以及教授技能和内容等
①马峰.激发兴趣挖掘潜能培养创造力—评IB数学内部评价的最新演变[J].数学通报，2017(12): 27-32, 36.
② 熊万曛.美国高中国际文凭课程发展研究[J].比较教育研究,2015(3): 30-36.
③ 马峰.实例简析IB数学报告的要求和特点[J].数学通报，2010,(4): 21-24.
④ 髙婧.国际文凭课程现状及其本土化实施路径[J].第二课堂，2020(7): 80-81.
⑤ 徐慧新，项亚光_ IB D P数学课程与普通高中数学课程的比较与启示[J].外国中小学教育，2015(7): 53-59.
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国际文凭数学课程改革的特点分析及其启示方面提供了更大的灵活性。

此次数学大纲修订尤其强调，批判性思维正变得越来越有价 值，特别是随着技术的进步使某些传统技能变得多余。

在数学学习的背景下讨论批判性思 维是指培养学生如下能力：认识到可以在何处使用数学，理解并整合技术文档，对熟悉和 不熟悉的情况应用相关的数学方法，构造逻辑论点，具有风险意识，理解技术和数学可以 携手并进，能解释解决方案的含义和相关性，等等。

IBDP数学将重点发展分析、抽象和 归纳、风险意识和统计素养、算法思维、建模和探究技能。

IBDP数学课程的最新修订正 是基于以上基本想法。

IBDP课程每七年进行改革的周期规律可以总结如下:
第一年第二年
实施与评估评估
(新课程第(新课程首次一年）考试）第三年第四、五、六年
评估与改革改革
第七年
改革与实施
(更新的课程）
可以看出，IBDP课程改革具有极强的规律性，新课程投人使用之后立即启动新一轮 改革的调研，每七年必定进行课程调整和改革。

国内课程的改革不具有显著的规律性，按 照成熟一个，稳定一个的策略进行，并尽可能延长《新标准》的生命周期。

如《标准（实 验稿）》其生命周期跨度将近20年（2003—2022年），这与高考这一国家级人才选拔性 考试的权威性和影响力有关。

IBDP课程改革的原则主要有七条：第一，课程改革以研究为基础；第二，课程改革 是一个咨询与合作的过程；第三，支持IB课程的使命和课程的国际性；第四，课程改 革中，评价起到关键作用；第五，课程改革周期经过充分的计划并通过项目管理的方式进 行完整的记录；第六，课程文件和支持材料具有高水准并且能够反映IBDP课程最新的理 念和政策；第七，课程改革必须为教师的职业发展提供机会和材料。

其中，第一条所指 的IBDP课程改革所必须研究的内容包括：现行IBDP课程的优势和缺点，世界上其他课 程的特色，大学方面对于IBDP课程与大学课程衔接的反馈，现有的针对16—丨9岁少年 的教学法形势，学科自身的发展趋势等等。

第三条实际上类似于我国在制定课程标准时必 须考虑国家意志和教育部统一要求。

其余条款与我国课程改革中的原则一致或类似。

二、IB D P数学课程的结构和课时安排
自2019年8月起，IBDP数学课程正式划分为“数学分析与方法”（简称“分析”）和“数学应用与解释”（简称“应用”），两个方向均设较高水平和标准水平两种课程，从而生成了四门数学课程，简称为：分析（较高水平）、分析（标准水平）；应用（较高水 平）、应用（标准水平)。

这四门课程的主题都包括：数与代数、函数、几何与三角学、统 计和概率、微积分、工具箱和数学探索等六大模块。

不同课程之间的区别在于在各个模块 上的内容和教学时间有所区别。

标准水平都是各自方向高水平的子集。

具体如表1®所示。

①马峰，洪淼，俞禅.以素养为导向的学科育人[J]•上海中学数学，2019(9): 14-18.
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Journal o f C om parative Education03Jun 2021表1旧D P数学新课程主题与学时分布（2019年首次实施）
大纲内容建议教学时间
(小时）应用
(标准水平）
建议教学时间
(小时）分析
(标准水平）
建议教学时间
(小时）应用
(较高水平）
建议教学时间
(小时）分析
(较高水平）
主题1:数与代数16192939
主题2:函数31214232
主题3:几何与三角学18254651
主题4:统计和概率36275233
主题5:微积分19284155
工具箱和数学探索30303030
总计教学时间150150240240
《新标准》分为必修课程、选择性必修课程和选修课程，其中必修课程8学分144课 时，选择性必修课程共6学分108课时。

如果学生以高中毕业为目标，可以只学习必修课 程，参加高中毕业的数学学业水平考试。

如果学生计划通过参加高考进人高等学校学习，必须学习必修课程和选择性必修课程。

选修课程是由学校根据自身情况选择设置的课程，供学生依据个人志趣自主选择，分为五类，具体内容请见《新标准》，此处不予赘述。

IBDP数学课程的结构非常明晰，呈现如下几个基本特点：第一，所有四门课程覆盖 全部五个教学主题，加上一个特别的“工具箱与数学探索”模块。

第二，同一方向的较高 水平课程完全包含其较低水平的教学内容。

第三，不同方向的课程在不同主题上有所侧 重。

比如，“应用”方向特别侧重统计与概率，就较高水平而言，这个部分的教学时间多 出“分析”方向19个小时；“分析”方向特别侧重微积分，就较高水平而言，多出“应 用”方向14个小时的教学时间。

第四，在“工具箱与数学探索”这个特别模块，所有四 门课程所花教学时间等量。

国内高中数学课程总体课程时数（不含选修课程部分）居于IBDP数学课程标准水平 和高水平课时数中间位置。

从IBDP数学和国内《新标准》的数学课程结构还可以看出：第一，IBDP课程和国内课程都强调了一定的选择性，为具有不同潜质的学生提供了各种 学习机会。

从课程结构上来看，国内课程的选择更加细化，有必修、选择性必修和选修三 个部分。

第二，IBDP课程和国内课程以不同的形式凸显了 “做中学”的重要性。

丨BDP课 程通过设置专门的“工具箱与数学探索”教学模块帮助学生进行主动的探究式学习，把数 学与解决问题进行联系。

国内课程中的数学建模活动与数学探究活动也是主要基于帮助学 生了解并实现对数学的应用而进行设置的。

三、IBDP数学课程的内容
IBDP数学课程与国内高中数学课程（高考部分）涉猎的教学内容领域基本相似，相 同或相似内容的比例大概为60%,也有些不同的地方。

比如，一个重要的区别在于，微积 分和统计在IB课程中单独列为必须修读的部分，而闰内高中数学高考课程（必修和选择
154
国际文凭数学课程改革的特点分析及其启示性必修）将一元函数的导数放在了选择性必修的第一个主题（函数部分），将统计的初步 知识放在了必修的第四个主题和选择性必修的第三个主题，在国内高中数学课程的选修部 分又分别设置了微积分和统计的专门课程。

在此选取IBDP课程与高考课程相差较大的 “统计和概率”部分为例进行分析。

ffiDP数学课程“分析”方向的较高水平覆盖了除超几何分布之外所有国内《新标准》中的“统计和概率”的内容；“应用”方向的较高水平也几乎全部覆盖了国内《新标准》中的“统计和概率”内容，只有两个知识点（全概率和贝叶斯公式、超几何分布）没有包括。

IBDP数学课程中的“统计和概率”部分还有一些国内课程完全没有提及的部分，以统计内容较丰富的IBDP课程（“应用”方向，较高水平）为例，其特色内容包括：离群 值（Outlier),累积频率曲线，原始数据变换的影响，一元线性回归的PRCC系数，斯皮 尔曼排序相关系数（Spearman’s Rank C orrelation Coefficient),假设检验，/>-值，显著水平，自由度，临界值（C ritical Value)和临界区间，Y2独立性检验，检验，单边检验和双边 检验，调查表的有效数据收集方法，选择相关并合适的数据进行分析，可信度和有效性测 试，非线性回归，利用最小平方差进行回归，残差平方和，决定系数妒及其解释，用又作为//的无偏估计，用作为tr2的无偏估计，独立正态变量的线性组合的分布，中心 极限定理，置信区间，泊松分布，总体均值检验（正态分布、二项分布）、比例检验（二 项分布），二元正态分布的PMCC检验（p= 0), I型和II型错误，马尔可夫链，转移 矩阵，稳定状态（与线性方程组有关）等。

此外，IBDP数学课程的两个方向（“分析”和“应用”）较高水平课程含有的一些 其他特色内容同样值得关注。

这些内容包括：线性代数初步、图论初步、微积分初步等内 容（见表2)。

®®®®其他初等数学的经典内容如几何、代数等，因篇幅较长且特异性 较低，此处不予述说。

人工智能时代归根结底建立在大数据的基础之上，而要理解和使用大数据，需要较强 的统计理论基础。

在这样的时代背景下，IBDP最新力推的“应用”课程将统计列为其占 比最大的课程内容，值得国内课程体系加以研究。

此外，算法思维是在人工智能背景下, 教育领域频繁提及的一种需要重视和发展的思维素养。

在IBDP数学课程“应用”中，算
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②IBO. Mathematics: analysis and approaches guide: First assessment 2021 [EB/OL]. [2021-03-20]. https:///data/
mathematics-analysis-and-approaches-guide_e 10ae7ad-9d 1 d-4299-b7d 1 -395b8e52b7fc/mathematics-analysis-and-approaches- guide-en_2fee6541 -b 171 -4cba-aa 13-afa2a5ac98eb.pdf.
③IBO. Mathematics: analysis and approaches teacher support material: First assessment 2021 [EB/OL]. [2021 •CBJO].
https:///data/mathematics-analysis-and-approaches-teacher-support-material_ele86054-eb9d-46f2-a043- 8d5e09c040be/mathematics-analysis-and-approaches-teacher-support-material-en_789eb792-f9f0-435a-a8ed-91ee93fee0c7.pdf.
®IBO. Mathematics: applications and interpretation teacher support material: First assessment 2021 [EB/OL]. [2021-03-18].
https:///data/mathematics-applications-and-interpretation-teacher-support-_05e4b7d0-1 cc8-42d8-9e 12- 256ef89772f4/mathematics-applications-and-interpretation-teacher-support~en_37 299 874-1971 -4150-b293-880e0M8d038.pdf.
155
e匕較炊
f i f批Journal of Comparative Education03 i Jun 2021
表2旧D P数学课程的部分特色内容
知识模块内容细节
线性代数初步矩阵的运算与性质。

行列式；利用矩阵解线性方程组；逆矩阵；矩阵特征值，特征向 量；矩阵对角化；矩阵的幂；使用矩阵进行图形的变换；等等
图论初步图论的基本概念。

如：图、顶点、边、度、简单图、完全图、连通图；有权重图；有向图；子图；树；伴随矩阵；转移矩阵；算法；道路、环路、圈；欧拉图，哈密尔顿 图；最小生成树算法，Kruskal算法和PHm算法；中国邮递员问题和旅行销售员问 题，最近邻居算法，顶点删除算法；等等
微积分初步极限的概念和计算。

除了一阶导数的应用外，还包括利用二阶导数判断函数的凹凸 性，使用变量代换法和分部积分法求不定积分和定积分；使用积分求旋转体体积，求 解路程等实际问题；使用变量分离法求解基本的微分方程；使用斜率场求得微分方程 数值解；欧拉方法求微分方程近似解；简单的耦合微分方程组；相图（phase portrait)和轨迹；平衡点的特征（马鞍形、稳定解、非稳定解等）；使用欧拉方法或 相图求解二阶微分方程；等等
其他内容因篇幅有限省略
法思维渗透在很多内容中，包括图论中的各种算法等。

比如，在“应用”课程中，谷歌的 “网页排名”算法可以作为一个研究型作业帮助学生体验算法思维。

IBDP数学的“应用”课程还特别强调数学建模，其课程内容的很多部分都能够帮助 学生体验数学在其他学科中的应用。

在学习完耦合微分方程组和二阶微分方程的解法后，可以开展跨学科课题的研究性学习，比如，将所学知识应用在氧化一还原反应（化 学）、单摆运动（物理）、传染病SIR模型（健康）、物种生态模型（生物）中。

再比 如，在学习图论知识后，学生便可以研究打车软件关于最短路线的计算方式（计算机)。

这样的学习让学生看到了数学的用武之地，从而激发了学生对于数学学习的兴趣。

相比之 下，国内数学学习的一些内容频频朝高难度技巧上发展，缺少了培养学生数学思想的内 容，使得学生看不清数学的用途，有时渐渐失去兴趣。

比如，高中阶段微积分的学习到了 最后，往往集中在求极值、单调区间和不等式等少数几个方面，技巧性很强，使得学生对 于微积分的学习“只见树木，不见森林”。

四、IBDP数学课程的评价
1BDP数学课程采取外部评价和内部评价两种方式综合评价学生的数学学习成效。

(一）IBDP数学课程评价方式综述
IBDP外部评价的主要形式是书面限时考试，其得分占最后百分制总分的80%。

百分 制得分并非IB评价的最后得分，还将被转换为7分制作为IBDP数学科目的最后成绩。

外部评价的一卷、二卷和三卷（三卷仅限较高水平）均覆盖IB数学课程大纲的全部内 容。

2021年第一次考试的IBDP数学新大纲的考试模式如下：标准水平仅有一卷和二卷，较高水平设一卷、二卷和三卷，其中“分析”方向在一卷不能用计算器，其他均可使用计 算器。

对于标准水平，一卷、二卷和内部评价的得分在最后总分中所占比例分别为40%、
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40%和20%。

对于较高水平，一卷、二卷、三卷和内部评价的得分在最后总分中所占比 例分别为30%、30%、20%和20%。

较高水平的三卷在此次改革后呈现的特点显得尤为突 出，它包括两道层层深人、考察学生探究或建模能力的素养考查题。

更多信息可参考 IBDP数学课程的“指南”文件。

IBDP数学课程外部评价所考察的各类数学素养的要求请见表3。

®®®
国际文凭数学课程改革的特点分析及其启示
表3旧DP数学课程外部评价考察数学素养的占比
评价目标
一‘卷0/〇二卷％三卷（仅较高水平）％应用与解释分析与方法应用与解释分析与方法应用与解释分析与方法
知识与理解20-3020-3020-3015-2510-2010-20问题解决20-3020-3020-3015-2520-3020-30
表达与解释20-3020-3020-3015-2520-3015-25技术20-35020-3525-3510-3010-30
推理5-155-1510-205-1010-2010-20
(二）IBDP数学课程的特色评价方法分析
IBDP数学课程的书面考试（也即外部评价）与高考无异，主要考察学生在限定时间 内做题的数量和质量。

但IB书面考试仅仅以80%的比例计人最后的IB数学课程总分。

IB内部评价的主要形式是一份由学生自主探索并成文的课题报告，其正式名称为“数学探 索”，由学生所在学校的教师进行评分，并由IB组织抽样检查。

表1中“工具箱和数学 探索”课时设置的功能之一就是为了帮助学生完成内部评价。

IB教师支持材料明确指 出，教师需要使用10—15小时的上课时间给学生解释内部评价的标准，帮助学生发现和 自身能力相称的可探索的主题、评估学生内部评价的进展，让学生有机会进行小组合作和 讨论他们“探索”的进展，分享研究材料、获得必要的知识、技能和理解，为自己的作品 寻求同伴评价的机会，等等。

就评价而言，尤为关键的一点是，IBDP数学内部评价以占 总分20%的形式计人学生课程最终总分（类似于高考总分）。

内部评价是IBDP数学课 程中极为特别的一个环节，它成为了学生数学素养培育的优秀载体。

IBDP数学课程内部评价所考察的数学素养的比重请见表4。

®
①马峰.博观约取—高中数学的国际视角[M].上海:上海教育出版社，2020: 44-45, 79-147.
②IBO. Mathematics: analysis and approaches teacher support material: First assessment 2021 [EB/OL]. [2021-03-20].
https:///data/mathematics-analysis-and-approaches-teacher-support-material_ele86054-eb9d-46f2-a043- 8d5e09c040be/mathematics-analysis-and-approaches-teacher-support-material-en_789eb792-f9fl)-435a-a8ed-91ee93fee0c7.pdf.
③IBO. Mathematics: applications and interpretation teacher support material: First assessment 2021 [EB/OL]. [2021 ~03-18].
https:///data/mathematics-applications-and-interpretation-teacher-support-_05e4b7d0-1 cc8-42d8-9e 12- 256efB9772f4/mathematics-applications-and-interpretation-teacher-support~en_37 299 874-1971 -4150-b293-880e0b48d038.pdf.
④IBO. Mathematics: applications and interpretation guide: First assessment 2021 [EB/OL]. [2021*03-18]. https:///
data/mathematics-applications-and-interpretation-guide_3573b93d-5f69-4c 19-8e30-c 135da72bO 1 c/mathematics-applications-and- interpretation-guide-en_5659ecbf-2fBb-4873-8075-c931 f676e 101 .pxlf.
157。