高一数学11月月考试题(奥班)-人教版高一全册数学试题

某某一中15级高一上学期月考（11月份）
数学（奥班）试卷
一.选择题（本大题共12小题，共12×5＝60分，在给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的.） 1．集合A 可以表示为},x
y
,
x {1，也可以表示为},,0{y x x +，则x y -的值为（ ） A. －1 B.0 C.1 D. －1或1 2．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1 3．函数y ＝ln x
x
的图像大致是( )
4．已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥)
4(),1()4(,)21(x x f x x
，则)log 2(3
2+f 的值为（ ）
A.31
B.61
C.121
D.24
1 5．设)0,1(),sin ,2(cos ==b a θθ，已知25
7=⋅b a ，且),2(ππ
θ∈，则=θtan （ ）
A ．169-
B ． 43-
C ． 43
D ．4
3
±
6．下列函数既是奇函数，又在区间]1,1[-上单调递减的是（ ） A ．x x f sin )(= B ．1)(+-=x x f
C ．x x
x f +-=22ln
)( D ．)(2
1)(x x
a a x f -+=
7．将函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=的图象向左平移4
π
个单位后，得到函数)(x g y =的图
象，则)(x g y =的图象关于( ) A ．原点对称 B.y 轴对称 C ．点(,0)8
π
-对称 D ．直线8
π
=
x 对称
8．在ABC ∆中，c b a c
,,(,22cos
2
=分别为角A,B,C 的对边），则ABC ∆为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形
9．已知函数1)391ln()(2
+-+=x x x f ，则)3
1(lg )3(lg f f +＝( )
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2 10．如图是函数)2
,0(1)32cos(
)(π
ϕϕπ<>-+=A x A x f 的图象的一部分,则)2015(f =（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
3
D ．3-
11．函数tan()42
y x π
π
=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅＝（ ）
A.6-B ．6 C. 4- D. 4
12．若非零不共线向量b a ,满足||||b b a =-，则下列结论正确的个数是（ ） ①向量b a ,的夹角恒为锐角；②b a b ⋅>2
||2；③|2||2|b a b ->；④|2||2|b a a -< A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二. 填空题（本大题共4小题，共4×5＝20分，请把正确答案填写在横线上） 13．22log 3
3
21
272
log 2lg(3535)8
-⨯+++-=______．
14．设函数sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ，动点(,)A x y 在曲线C 上， 过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于点(B A B 、可以重合），设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 单调递增区间．
15．在△ABC 中，角A ＝60°，M 是AB 的中点，若AB ＝2，BC ＝23，
D 在线段AC 上运动，则DB →·DM →
的最小值为________．
16．已知函数,0
()2,0
x e x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，则关于x 的方程()[]0
=+k x f f 给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；
②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根.
其中正确命题的序号是（把所有满足要求的命题序号都填上）
O
2
π π
x
y A B
O
x
y
A
B 1第11题图
三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,||2
A π
ωϕ>><
）的图象的
相邻两条对称轴的距离是2
π
，当6x π=时取得最大值2．
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)若函数6()()5g x f x =-的零点为0x ，求0cos 23x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
18
．
（本小题满分12分）已知集合
},0)13(2)1(3{2
<+++-=a x a x x A ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<+--=0)1(22
a x a
x x B ， (1)当2=a 时，求A
B ；
(2)求使A B ⊆的实数a 的取值X 围。

19．（本小题满分12分）已知函数2
()sin 21f x x x =++.
(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间;
(2)当,62x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,若2()log f x t ≥恒成立,求t 的取值X 围.
20．（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a 、b 、c ，
sin sin tan cos cos A B C A B
+=+.
(1)求角C 的大小；
(2)若ABC ∆的外接圆直径为1,求△ABC 面积S 的取值X 围。

21．（本小题满分12分）在ABC ∆中，A ，B ，C 为三个内角c ,b ,a 为相应的三条边，
若
2
3
π
π
<
<C ，且
.C
sin A sin C
sin b a b 22-=- (1)求证：C A =； (2)若||2BA BC +=BC
BA ⋅表示成C 的函数()C f ，并求()C f 值域．
22．（本小题满分12分）已知函数9()log (91)()x
f x kx k R =++∈是偶函数
（1）求k 的值；
（2）若函数()y f x =的图象与直线1
2
y x b =+没有交点，求b 的取值X 围； （3）设94
()log (3)3
x
h x a a =⋅-
，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点， 求a 的取值X 围.
某某一中15级高一上学期月考（11月份）
数学（奥班）答题卡
一、选择题：（共12小题，每小题5分，满分60分）
二、填空题：（共5小题，每小题4分，共20分）
13．19． 14．[
,]2
π
π． 15．23
16
． 16．①②．
三、解答题：（共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分10分） 解：(1)由题意知，振幅A=2，周期T=
222
π
π
ω
=⨯
，∴2ω=，∴()()2sin 2f x x ϕ=+.
将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：2sin 2sin 133ππϕϕ⎛⎫⎛⎫
+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又||2πϕ<，故6πϕ=.
∴()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭.
(2)由函数6()()5
g x f x =-的零点为x 0知：x 0是方程6()5
f x =
的根，故06()5f x =，
得sin(2x 0+6π)=3
5
,又（2x 0+6π）+（3π-2x 0）=2π，
∴0003cos 2cos 2sin 232665x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-+=+=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦.
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当2,(2,7),(4,5)(4,5)a A B A B ===∴=时
（Ⅱ）
1a ≠时，2(2,1)B a a =+ ；1a =时，B φ=
①当31
<
a 时，)2,13(+=a A ,要使A B ⊆必须,12
11322-=⎩⎨⎧≤++≥a a a a 此时 ②当3
1
=
a 时φ=A ，B φ≠，所以使A B ⊆的a 不存在， ③31
>a ，)13,2(+=a A 要使A B ⊆，必须.31131222≤≤⎩
⎨⎧+≤+≥a a a a 此时
综上可知，使A B ⊆的实数a 的X 围为}.1{]3,1[-⋃ 19．（本小题满分12分） 解：(1)()
2sin(2)13f x x
π∴函数()f x 最小正周期是T
π.
当222232k
x
k
，即5,1212
k x k k Z ππππ-≤≤+∈,
函数()f x 单调递增区间为5[,]()1212
k k k Z ππππ-+∈…………………………6分
(2),62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，220,33x ππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，()2sin(2)13f x x π∴=-+的最小值为1， 由2()log f x t ≥恒成立，得2log 1t ≤恒成立.
所以t 的取值X 围为(0，2] …………………………………12分 20．（本小题满分12分）
解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+,即sin sin sin cos cos cos C A B C A B
+=+,
所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+,
即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-, 得 sin()sin()C A B C -=- 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+, 得 3C π=
(2)⎥⎦
⎤
⎝⎛∈3163,
0S
21．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)由
C sin A sin C
sin b a b 22-=
-，及正弦定理有C sin B sin 2=， ∴2B C =或π=+C B 2． ……………………2分
若2B C =，且
3
2
C π
π
<<
，
∴23
B ππ<<，)(舍π>+
C B ； ……………………4分
∴2B C π+=， 所以 A C =， ……………………5分 (Ⅱ)∵π=+C B 2 ，∴C cos B cos 2-=。

∵||2BA BC +=， ∴2
2
2cos 4a c ac B ++⋅=， …………………7分
∴C
cos B cos a 212
122
-=
+=
()c a = ， 从而 ()C f BC
BA ⋅＝
C cos B
cos a 21
122
-=…………………8分 ∵
3
2C π
π
<<
，∴
ππ<<C 232，∴2
1
21-<<-C cos ， ∴()32<<C f ，所以 ()C f 值域是()32,……………………1 22．（本小题满分12分）
解：（1）因为()y f x =为偶函数，所以()()f x f x -=，
即99log (9
1)log (91)x
x kx kx -+-=++对于任意x 恒成立.
于是999
991
2log (91)log (91)log log (91)9
x x
x
x x kx x -+=+-+=-+=-恒成立, 而x 不恒为零，所以1
2
k =-
. ………………4分 （2）由题意知方程911log (91)22
x
x x b +-=+即方程9log (91)x x b +-=无解.
令9()log (91)x
g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =无交点.
因为99911()log log (1)99x x x g x +==+，由1119x +>，则91
()log (1)09
x
g x =+>， 所以b 的取值X 围是(,0]-∞.………………8分
（3）由题意知方程143333
x
x
x a a +
=⋅-有且只有一个实数根． 令30x t =>，则关于t 的方程2
4(1)103
a t at ---= (记为(*))有且只有一个正根.
若1a =，则3
4
t =-，不合题意, 舍去；
若1a ≠，则方程(*)的两根异号或有两相等正根. 由304a ∆=⇒=
或3-；但3142a t =⇒=-，不合题意，舍去；而132
a t =-⇒=； 若方程(*)的两根异号(1)(1)01a a ⇔-⋅-<⇔> 综上所述，实数a 的取值X 围是{3}(1,)-+∞． ………………12分。