高二数学(文)圆锥曲线综合知识精讲 人教实验版(A)

高二数学（文）圆锥曲线综合知识精讲 人教实验版（A ）
一. 教学内容： 圆锥曲线综合
二. 重点、难点：
1. 圆锥曲线统一定义
平面上到一个定点F 的距离和它到一条定直线l 的距离之比是一个常数e 的点的轨迹是圆锥曲线。

)1,0(∈e 轨迹是椭圆 1=e
轨迹是抛物线
),1(+∞∈e 轨迹是双曲线
2. 直线l ：b kx y +=交圆锥曲线c 于A （11,y x ），B （22,y x ） 212
1x x k AB -+=（弦长公式） 3. 轨迹问题
【典型例题】
[例1] 过椭圆14
92
2=+y x 内一点D （1，0）作弦AB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。

提示：设A （11,y x ），B （22,y x ），AB 的中点M （x ，y ），则2
,22
121y y y x x x +=+= 且36942
12
1=+y x ① 36942
22
2=+y x ② ①－②得：0))((9))((421212121=+-++-y y y y x x x x ∴
y x y y x x x x y y 94)(9)(421212121-=++-=-- 又 1
2121-=
==--x y
k k x x y y DM AB ∴ 1
94-=-x y y x 即所求的轨迹方程为19)21(42
2=+-y x
[例2] 设双曲线C 1的方程为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双
曲线C 1上的任意一点，引QB ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与BQ 交于点Q ，求Q 点的轨迹方程。

解：设P （00,y x ），Q （y x ,） ∵ PA QA PB QB a B a A ⊥⊥-,),0,(),0,(
∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+)
2(1)1(1000
a
x y a x y a x y a x y 由（1）×（2）得：12
222202
0=-⋅-a x y a x y （3） ∵ 1220220=-b y a x ∴ 2
222020a b a x y =
- 代入（3）得42222a a x y b -=，即42222a y b x a =-
经检验点)0,(),0,(a a -不合，因此Q 点的轨迹方程为：42222a y b x a =- （除点)0,(),0,(a a -外）
[例3] 已知x 轴上的一定点A （1，0），Q 为椭圆14
22
=+y x 上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程。

解：设动点M 的坐标为（x ，y ），则Q 的坐标为（y x 2,12-）
因为点Q 为椭圆142
2=+y x 上的点，所以有1)2(4
)12(22=+-y x ， 即14)2
1
(2
2=+-y x ，所以点M 的轨迹方程是14)2
1(2
2=+-y x
[例4] 点A 位于双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上，21,F F 是它的两个焦点，求21F AF ∆的
重心G 的轨迹方程。

解：设21F AF ∆的重心G 的坐标为（x ，y ）
，则点A 的坐标为)3,3(y x ，因为点A 位于双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）上，
所以，21F AF ∆的重心G 的轨迹方程为)0(1)3
()3(2
2
22≠=-y b y a x
[例5] 抛物线y x 42=的焦点为F ，过点（1,0-）作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程。

解：设R （x ，y ） ∵ F （0，1） ∴ 平行四边形FARB 的中心为)2
1
,
2(+y x C
L ：1-=kx y ，代入抛物线方程得0442
=+-kx x ，设A （11,y x ），B （22,y x ） 则4,42121==+x x k x x ，且016162
>-=∆k ，即1>k
∴ 244
2)(422
12212
22121-=-+=+=
+k x x x x x x y y ∵ C 为AB 的中点 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222
122
22222
2k y y y k x x x
⎩⎨⎧-==⇒3
442
k y k x ，消去k 得)3(42
+=y x ，由①得，4>x 故动点R 的轨迹方程为)3(42+=y x （4>x ）
[例6] 过抛物线x y 22
=的顶点作互相垂直的二弦OA 、OB 。

（1）求AB 中点的轨迹方程；
（2）证明：AB 与x 轴的交点为定点。

解：（1）直线OA ：kx y =，则OB ：x k
y 1
-
= 由⎩⎨⎧==kx y x y 22
得)2,2(2k k A 由⎪⎩
⎪⎨⎧-==x
k y x
y 122 得)2,2(2k k B -
设AB 的中点坐标为（x ，y ），则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=k k y k k x 112
2得22
-=x y
此即为所求的轨迹方程
（2）由（1）知，直线AB 的方程为：)2()
1(22
2
k x k k k y --=
+ 令0=y ，得它与x 轴的交点为（2，0），其坐标与k 无关，故定为定点
[例7] 已知直线l 交椭圆116
202
2=+y x 于M 、N 两点，B （0，4）是椭圆的一个顶点，若BMN ∆的重心恰是椭圆的右焦点，求直线l 的方程。

解：椭圆的右焦点为F （2，0）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）则⎪⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=+=+
034230116
2011620212122
222
121y y x x y x y x
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧-=+=+++⋅-=--⇒4
620162
12121212
12
1y y x x y y x x x x y y ∴ 5
6
2121=--=
x x y y k MN ，又l 过MN 的中点（3，2-）
∴ l 的方程为2)3(5
6
--=x y ，即02856=--y x
[例8] 已知双曲线14
22
=-y x 和定点P （2，21）（1）过P 点可以做几条直线与双曲线C
只有一个公共点；（2）双曲线C 的弦中，以P 点为中点的弦P 1P 2是否存在？并说明理由。

解：（1）设过定点P （2,
21）的直线l 的方程为：)2(2
1
-=-x k y 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=--=-14
)2(2122y x x k y 0)5816()164()41(222=+-----⇒k k x k k x k 当0412
=-k 时，即21±
=k ，解得25=x 或613=x ，l 与双曲线C 分别交于)4
3
,25(和
)65,613(
，当0412≠-k 时，由0=∆得058=-k ，即85=k 得切线)2(8
5
21-=-x y ，切点为)34
,310(，另一切线为2=x ，切点为（2，0）
∴ 过点P 有4条直线与双曲线只有一个公共点
（2）设P 1（11,y x ），P 2（22,y x ），代入双曲线方程相减得弦P 1P 2的斜率为1 若弦P 1P 2存在，则必为22
1
-=-
x y ，代入双曲线方程得0131232=+-x x 方程的判别式01312122
<⨯-=∆说明中点弦P 1P 2不存在
[例9] 椭圆
14162
2=+y x 上有两点P 、Q 、O 是原点，若OP 、OQ 斜率之积为41-。

求证2
2
OQ OP +为定值。

提示：设直线OP 的方程为kx y =，则直线OQ 的方程为x k
y 41
-
= 由⎪⎩⎪⎨⎧=+
=141622y x kx y 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=1416141622
222
k k y k x ∴ 14161622222++=+=k k y x OP 同理可求得14464222
++=k k OQ ∴ 201
44641416162
2222
2=+++++=+k k k k OQ OP
[例10] 已知不论b 取何实数，直线b kx y +=与双曲线122
2=-y x 总有公共点，试求实
数k 的取值范围。

解：联立方程组⎩⎨⎧=-+=1
22
2y x b kx y 消去y 得0)12(4)12(2
22=+++-b kbx x k 当0212
=-k ，即22±=k 时，若0=b ，则φ∈k ；若0≠b b
b x 221
22+±=⇒，不
合题意
当0212
≠-k ，即2
2±
≠k 时，依题意有0)12)(12(4)4(2
22>+--=∆b k kb 对所有实数b 恒成立 ∴ min 2
2
)12(2+<b k
∴ 122
<k ，得2
2
22<
<-k
[例11] 已知椭圆12
22
=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。

求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程。

解：∵ 1,222==b a ∴ )0,1(,1-=F c ，2:-=x l ∵ 圆过点O 、F ∴ 圆心M 在直线2
1-=x 上 设M （t ,21-
），则圆半径2
3)2()21(=---=r 由r OM =，得2
3
)2
1
(2
2=
+-t
，解得2±=t ∴ 所求圆的方程为4
9)2()2
1(22
=
±++y x
[例12] 正方形的一条边AB 在直线4+=x y 上，顶点C 、D 在抛物线x y =2
上，求正方
形的边长。

解：设CD 的方程为b x y +=，由⎩⎨
⎧=+=x
y b
x y 2
消去x 得02
=+-b y y
设C （11,y x ）D （22,y x ），则121=+y y ，b y y =21 ∴ b y y y y k
CD 824)(11212
112
-=-++
= 又AB 与CD 的距离2
4b d -=，由ABCD 为正方形有2
482b b -=
-
解得2-=b 或6-=b ∴ 正方形的边长为23或25
【模拟试题】
1. 若椭圆1222=+ky kx 的一个焦点坐标是（0，4），则k 的值为（ ） A.
81 B. 32
1 C.
2 D. 163
2. 椭圆
19
252
2=+y x 上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则ON 为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D.
2
3 3. 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为（ ） A.
23 B. 2
6
C. 23
D. 2
4. 双曲线13
2
2
=-y x 上的一点P 到左焦点的距离为2，则P 到右准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
5. 椭圆19
252
2=+y x 的两焦点F 1，F 2，过F 2引直线L 交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的周长为（ ）
A. 5
B. 15
C. 10
D. 20
6. 已知M （0,2-），N （2，0），4=-PN PM ，则动点P 的轨迹是（ ） A. 双曲线 B. 双曲线左支 C. 一条射线 D. 双曲线右支
7. 若圆42
2
=+y x 上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的3
1
，则所得曲线的方程是（ ）
A.
112422=+y x B. 136422=+y x C. 149422=+y x D. 14362
2=+y x 8. 已知F 1，F 2是椭圆19
162
2=+y x 的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A ，B ，若5=AB ，则=-21BF AF （ ）
A. 3
B. 8
C. 13
D. 16 9. 曲线10
6
43)2()2(2
2
--=
-+-y x y x 的离心率为（ ）
A.
101 B. 2
1
C. 2
D. 无法确定 10. 抛物线x y 4
12
=关于直线0=-y x 对称的抛物线的焦点坐标是（ ）
A.（1，0）
B.（0,161）
C.（0，1）
D.（16
1
,0）
11. 在抛物线px y 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 。

12. 设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 。

13. 若椭圆+42x 13
2
=y 内有一点P （1，1），F 为右焦点，椭圆上的点M 使得MF MP 2+的值最小，则点M 为 。

14. 若双曲线的顶点为椭圆12
2
2
=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是 。

15. 已知点P 在抛物线y x =2上运动，Q 点的坐标是（2,1-），O 是原点，OPQR （O 、P 、Q 、R 顺序按逆时针）是平行四边形，求R 点的轨迹方程。

16. 已知两定点)0,1(),0,2(B A -，如果动点P 满足PB PA 2=，求点P 的轨迹所包围的图形的面积。

17. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（2,0-）和（0，2）且过（2
5
,23-），求椭圆的标准方程。

18. 已知点A （0，2）及椭圆1422
=+y x ，在椭圆上求一点P 使PA 的值最大。

19. 设P 是椭圆)1(12
22>=+a y a
x 短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最
大值。

参考答案
1. B
2. A
3. C
4. B
5. D
6. C
7. C
8. A
9. B 10. D 11. 4 12. ]1,1[- 13. )1,3
6
2(
14. 222=-x y 15. 解：设R （x ，y ），相应的P （11,y x ）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+2022
2
1211y y x x
∴ ⎩⎨⎧+-=--=2
1
11y y x x 又∵ 点P 在抛物线y x =2上
∴ 2)1(2+-=--y x 即2)1(2+-=+y x 这就是R 点的轨迹方程
16. 解：两定点A （0,2-），B （1，0），如果动点P 满足PB PA 2=，设P 点的坐标为（x ，y ）
则])1[(4)2(2222y x y x +-=++
即4)2(22=+-y x ，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于π4
17. 解：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(122
22>>=+b a b
x a y
由椭圆的定义知，
102102
1
1023)225()23()225()23(22222=+=-+-=++-=a
∴ 10=a 又 2=c
∴ 64102
2
2
=-=-=c a b 所以所求标准方程为
16
102
2=+x y 另法：∵ 42
2
2
2
-=-=a c a b ∴ 可设所求方程14
2
2
22=-+a x a y 后将点（2
5
,23-
）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程 18. 解：∵ 点P 在椭圆上 ∴ 设P 的坐标为)sin ,cos 2(θθ ∴ 4sin 4sin cos 4)2(sin )cos 2(2222+-+=-+=θθθθθPA
3
28
)32(sin 38sin 4sin 322+
+-=+--=θθθ ∴ 当32sin -
=θ时，PA 的值最大，此时3
5
cos ±=θ ∴ P 点的坐标为)3
2
,352(-±
19. 解：依题意可设P （0，1），Q （x ，y ），则22)1(-+=y x PQ ，又因为Q 在椭圆上
所以)1(222y a x -=，2222222
12)1(12)1(a y y a y y y a PQ
++--=+-+-=
22
222111)11)(1(a a
a y a ++----
-= 因为>≤a y ,11，若2≥a ，则
111
2
≤-a
当211a y -=时，PQ 取最大值1
1
222--a a a
若21<<a ，则当1-=y 时，PQ 取最大值2。