六年级奥数学练习试卷思维培训资料 (19)

2007年重点中学入学试卷分析系列十
1. 在下面算式添上运算符号或括号，使等式成立。

=2002
7767573717【解】这是2005年首师大附实验班招生考试的一个题，很多参加考试的孩子不会做而放弃。

要解决这个问题，首先得考虑找一个与2002接近的数，构造结果为2002的可能算式。

把
n
7列出，7的5次方太大了不用考虑，可以找到
77,497,3437,241071234==== 2410-343-49-7=2002，这是解决问题的关键一步。

另外要知道，而2410-343-49-7，
m n m
n
-=÷77
7这几个数中7是最后一个现有的，另外的3个可以通过除法来获得。

看到下面的算式你一定会恍然大悟了吧。

（ - - ）÷ -=2002
7
76
75
73
71
7【提示】关于幂的运算，在小奥中要求初步掌握以下公式的应用。

，，，重点掌握第一个和第三个，主要在余数中应用，在
n m m n a a a +=⨯()
n m m
n
a a ⨯=()n n n
b a ab =分解质因数的标准形式中也会考察到。

依据学生的情况作适当讲解。

注意用具体数字从简单的情况向学生作个介绍。

2. 在A 国15元可买1个鸡腿和2杯可乐。

B 国的物价比A 国高20%，15元钱只能买1个鸡腿和1杯可乐。

C 国的物价比B 国高20%,在C 国买1个鸡腿要多少元？ 【解】列下表作比较：
钱 可乐 鸡腿 A 国 15 2 1 B 国 18 2 1 B 国
15
1
1
首先，比较得知，如果随着物价上涨，在B 国仍然买2杯可乐和1个鸡腿，则需要 15×（1+20%）=18（元） 则 在B 国1杯可乐为 18-15=3（元）
在B 国1只鸡腿为 15-3=12（元）
所以 在C 国1只鸡腿为 12×（1+20%）=14.4(元) 3.
)60
59602601()434241()3231(21++++++++++ 【解】 这题较简单，绝大部分同学前面都练到过，是一个等差数列求和的形式，每个括号中的结果都有特点，依次相差0 .5，从0 .5直到最后一项29.5，共59项。

（0.5+29.5）×59÷2=885。

【拓展】以小于50的质数作分母，所有这样的最简真分数的总和应该是多少？
与例题类似，质数作分母，只要分子是小于分母的非零自然数即可，最后求和同样用到等差数列。

4. 甲、乙、丙各有一些糖，甲用一半平均给乙、丙，然后乙用一半平均给甲、丙，然后丙用一半平均给甲、乙，最后各有32块，甲、乙、丙原各有多少块？ 【解】可采用列表倒推的方法。

甲 乙 丙 原来 16 28 52 第一次后 8 32 56 第二次后 16 16 64 第三次后
32
32
32
答案见上表第一行。

【提示】此题采用逆推方法，也称还原方法。

【拓展】甲乙丙三人共有棋子若干，甲先拿出自己棋子的一半平分给乙丙，然后乙拿出现有棋子的平分13
给甲丙，最后丙把自己现有棋子的
平分给甲乙，这时三人的棋子数恰好相同。

问他们三人至少共有多少1
4
枚棋子？
【解】144枚。

方法同上，仍是还原法，但要考虑到棋子数是整数，需用到最小公倍数。

难度稍大。

5. 一根绳子在一圆柱上从一端到另一端绕了4整圈，如下图所示。

圆柱底面周长4米，长12米，你能算出这绳子有多长吗？
【答案】20米
【解】假设能把圆柱展开压平（见下图）。

根据勾股定理，有c 2=a 2+b 2=9+16=25(米) c=5(米)， 绳长 4×5=20（米）。

6. 如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是（ ）平方厘米。

24厘米
【解】从图上形的组合，可以看出长与宽这两个量的相等关系，采用这类思路的考题还是较多的。

从左往右的第二条竖线可看出一长等于四宽，从最下一根横线可看出一长加二宽等于24。

因此可求出6宽等于24，即宽等于4，这两个空白正方形的面积为4×4×2=32平方厘米。

【提示】求解时也可将最下方的方条左移，然后用4×8=32。

主要是解题思路。

【拓展】同样大小的长方形小纸片摆成了下边这样的图形。

已知小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。

7. 上学了，儿子走4千米时，因为作业没带，爸爸开始追他。

爸爸追上后马上返回，爸爸到家时儿子到了学校，学校与家正好相距24千米。

已知爸爸的速度是每小时8千米。

求儿子的速度。

【解】根据题意可知道爸爸往返共走24×2=48千米时，儿子才走了24-4=20千米。

速度比是48：20=12：5，
3。

4
（取π＝3）
【解】我们先通过正方形BCDE减去1/4圆得到月牙BCD的面积:6×6－1/4×3×6×
6＝9。

则阴影部分面积为三角形ACD的面积扣去月牙的面积，则为：1/2×16×6－9＝39。

【拓展】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．
10. 求下图中阴影部分的面积：
【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB 与三角形OAB 的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

【拓展】如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝16，AD ＝10，BE ＝4，那么FC 的长度是多少？
11. 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。

如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？
【解】因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，在这段时间中，自动扶梯向上运行了 （80-40）÷2=20（级） 所以扶梯可见部分有 80-20=60（级）。

【提示】电梯问题其实是复杂行程问题中的一类。

有两点需要注意，一是“总行程=电梯可见部分级数±电梯运行级数”，二是在同一个人上下往返的情况下，符合流水行程的速度关系，（注意，其总行程仍然是电梯可见部分级数±电梯运行级数）
对于本题而言，我们知道两人所用时间相等，则知道了在总行程中的电梯运行级数相等，所以我们得到一个“和差关系”，即
80=电梯可见部分级数＋电梯运行级数 40=电梯可见部分级数－电梯运行级数
因此，完全可以直接求出电梯可见部分级数为 （80+40）÷2=60。

【拓展】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。

如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的3倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 【解】男孩与女孩走完电梯的时间比为
︰=2︰3 803401
所以有 80=电梯可见部分级数＋2×电梯运行速度
40=电梯可见部分级数－3×电梯运行速度
解得 电梯运行速度=8（级）
所以 电梯可见部分级数为 80-2×8=64（级）
请对比原例题，体会其中的数量关系。

12. 把2001拆成两个数，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要大），求这两个数。

【解】这是一道整数分拆的常规题。

可列式11X+13Y=2001，要让Y 取最大值，可把式子变形为Y=
=，当X=7时，Y=146。

则的拆的两个数一
13112001X -132131215313X X +-+⨯13
212153X
X ++-=是7×11=77，146×13=1924。

这种不定方程的变形求解是较实用的方法。

或者直接把2001除以13余12，12不是11的倍数，只能退出若干个13，与余数合起来是25，38，51，64，77，直到出现11的倍数77为止。

【提示】简单的不定方程求解。

原解中两种典型方法，学生对找余数可能更熟练些。

当然，也 可以用枚举法，从最小的开始枚举，也能求出最后答案。

2007年重点中学入学试卷模拟系列十
一、 填空题：
【答案】 20 【解】
2．筐中有120个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同，有_______种分法． 【答案】12
【解】120的偶因数有12个：2，4，6，8，10，12，20，24，30，40，60，120．每个偶因数对应于一种符合条件的分法，所以共有12种分法．
【提示】本题其实质是分解重组法的应用。

120=偶数×n ＝２a×n ，注意体会。

3．小红上个月做了六次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多1分，比后两次的平均分少2分．如果后三次平均分比前三次的平均分多3分，那么第四次比第三次多得______分． 【答案】３。

【解】根据题设可知：第三、四次的总分比前两次的总分多2分、比后两次的总分少4分，所以后两次的总分比前两次的总分多6分，又根据条件可知，后三次比前三次的总分多9分，所以第四次比第三次多得3分．
4．有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前1997个数中，有______个是5的倍数． 【答案】399
【解】　设这串数中任一个数为a ，它的前两个数为b 和c ，则a=b+c ．于是a 除以5的余数等于
（b+c ）除以5的余数．
再设b=5m+r 1，c=5n+r 2，所以 a=（5m+r 1）+（5n+r 2）
=5（m+n ）+（r 1+r 2）由此可知，a 除以5的余数等于（r 1+r 2）除以5的余数，即等于前两个数除以5的余数之和再除以5的余数． 所以这串数除以5的余数分别为：
1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，......可以发现，这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个是5的倍数． 1997÷5=399 (2)
所以前1997个数中，有399个是5的倍数．
5．小明家有若干只小鸡和小兔，已知鸡兔的头数与鸡兔的脚数之比是41∶99，那么小鸡与小兔的只数之比是_______． 【答案】65∶17
【解】因为平均每41个头有99只脚，即每82个头有198只脚．
假设这82只全是鸡，则应有脚164只．
每增加一只兔子，可增加2只脚，共增加（198-164）÷2=17（只）兔子，此时有鸡（82-17=）65只．
所以鸡与兔的比值是65∶17．
【提示】要向学生说明，这里为什么要乘以2变为“每82个头有198只脚”去理解，因为鸡兔的脚的总数一定是偶数的。

另外，从一般的角度来看，这里的头数与脚数也并不一定是82和198，不妨用设为41a 与99a. 鸡有x 只，兔有y 只。

则有
解得： 所以，x ︰y=︰=65︰17 412499x y a x y a +=⎧⎨
+=⎩652
172
x a y a
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩652a 172a
6．如图，已知长方形ABCD 的面积是24平方厘米，三角形ABE 的面积是5平方厘米，三角形AFD 的面积
是6平方厘米，那么三角形AEF 的面积是______平方厘米。

【答案】9.5平方厘米．
【解】 连结长方形对角线AC ，可知S △ABC=S △ACD=12（平方厘米）．
因为S △AFD=6（平方厘米），所以S △ACF=6（平方厘米），由此可知F 是DC 边的中点． 因为S △ABE=5（平方厘米），所以S △AEC=7（平方厘米），由此可知
BE ∶EC=5∶
所以S △CEF=
===3.5(平方厘米) 1712122BC CD ⨯⨯748BC CD ⨯⨯7
2448
⨯
7．今年是1997年，父母的年龄（整数）和是78岁，姐弟的年龄（整数）和是17岁，四年后父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是姐的年龄的3倍，那么当父的年龄是姐的年龄的3倍时是公元______年． 【答案】2002年
【解】因为四年后，姐弟年龄之和是25岁，父母年龄之和是86岁．所以此时姐的年龄为
（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）
父的年龄是所以今年姐10岁，父40岁，根据 （40-10）÷（3-1）=15（岁）
可知，姐15岁时，父是姐年龄的3倍．因此还要过（15-10=）5年．所以1997+5=2002（年）
8．一件工作，甲每天做8小时30天能完成，乙每天做10小时22天就能完成．甲每做6天要休息一天，乙每做5天要休息一天，现两队合做，每天都做8小时，做了13天（包括休息日在内）后，由甲独做，每天做6小时，那么完成这项工作共用了______天． 【答案】23天
【解】一件工作，甲需（8×30=）240小时完成，乙需（10×22=）220小时完成． 13天后，甲完成了整个工作的
，乙完成了整个工作的，还剩下整个工作的81228305⨯=⨯8112
10225
⨯=⨯。

221
1555
--=甲独做，每天做6小时，需要天。

1
240685
⨯
÷=所以完成这件工作共用了（13+8+2=）23天。

（甲独做时还要再休息两天．）
二、 解答题：
1．1997减去它的，再减去剩下的，再减去剩下的，…，最后减去剩下的，问最后剩下的数
1213141
1997
是几？
【答案】 1 【解】因为
11
1997(11997,
22111
1997(11997,2331111997(11997,
344
⨯-=⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯-=⨯ …… 所以 =1。

1111997(1)1997199619971997
⨯
⨯-=⨯
2．有三块长方形菜地，已知这三个长方形的长相同，第二块比第一块的宽多3米，第三块比第一块的宽少4米，第二块面积是840平方米，第三块面积是630平方米，求第一块地的面积是多少平方米？ 【答案】750平方米
【解】根据题设可知，第三块比第二块的宽多（4＋3=）7米，所以每块长方形的长为
（840-630）÷（4+3）=30（米） 第一块地的面积为：
3．有6个棱长分别是4厘米、5厘米、6厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得6个长方体中染有红色的面恰好分别是1个面、2个面、3个面、4个面、5个面和6个面．染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？
【答案】318个
【解】 一面染色时，最多可得到（5×6=）30个一面是红色的小正方体．
二面染色时，最多可得到（30×2=）60个一面是红色的小正方体．
三面染色时，最多可得到（60＋5×2-5×2=）60个一面是红色的小正方体．
四面染色时，最多可得到（60＋5×2-5×2=）60个一面是红色的小正方体．
五面染色时，最多可得到（60＋8-12=）56个一面是红色的小正方体．
六面染色时，最多可得到（56＋8-12=）52个一面是红色的小正方体．
所以共有一面是红色的小正方体．
30＋60+60+60+56＋52=318（个）
4．一列长110米的列车，以每小时30千米的速度向北驶去，14点10分火车追上一个向北走的工人，15秒后离开工人，14点16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开学生．问工人、学生何时相遇？【答案】14点40分
【解】（1）火车的速度是每秒多少米？
（2）工人的速度是每秒多少米？
（3）学生的速度是每秒多少米？
（4）14点16分时学生、工人相距多远？
（5）学生、工人相遇需要多少分？
（6）学生、工人相遇时间：
14点16分+24分=14点40分。