北京市朝阳外国语学校2019-2020学年度高二数学第一学期期中试卷

北京市朝阳外国语学校2019-2020学年度第一学期期中试卷
高二年级 数学试卷
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项，填写在答题卡上.
1、抛物线2y x =的准线方程为（ ）
A 、12x =
B 、14x =-
C 、14y =
D 、14
y =- 2、已知等差数列{}n a 前9项和为27，108a =，则100a = （ ）
A 、100
B 、99
C 、98
D 、97
3、设a 是实数，则“1a <”是“11a
>”的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充分必要条件
D 、既不充分也不必要条件
4、,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：
①如果,,//,m n m n αβ⊥⊥那么αβ⊥；
②如果,//,m n αα⊥那么m n ⊥；
③如果//,,m αβα⊂那么//m β；
④如果//,//,m n αβ那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中假命题是（ ）
A 、①
B 、②
C 、③
D 、④
5、已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为
12
，E 的右焦点与抛物线2:4C y x =的焦点重合，,A B 是抛物线C 的准线与椭圆E 的两个交点，则||AB =（ ） A 、32
B 、3
C 、6
D 、12 6、已知12,F F 是双曲线22
22:1x y E a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上， 1MF 与x 轴垂直，且211sin 3
MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）
A 、32
C 、2 7、在正方体1111ABC
D A B C D -的侧面11ABB A 内有一点P 到直线AB 与到直线11B C 的距离相等，则动点P 的轨迹为（ ）
A 、线段
B 、椭圆一部分
C 、双曲线一部分
D 、抛物线一部分
8、有下列四个命题：
①441x y +=是封闭曲线，记所围成的图形面积为S ，则4;S π<<
②曲线441x y +=既是轴对称图形，又是中心对称图形； ③33331x y a b
+=（0,0a b >>）是类似于椭圆的封闭曲线； ④曲线42y px =(0)p >上至少存在一点P （原点除外），使得P 到点(,0)2p F 的距离恰好等于P 到直线2
p x =-的距离. A 、②③ B 、①②④ C 、①③④ D 、②④
第二部分（非选择题 共110分）
二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9、圆224x y +=被直线1y =截得的弦长为__________.
10、双曲线22
163
x y -=的渐近线方程是__________，离心率是_________. 11、焦点在y 轴上，短轴长等于8，离心率等于3
5
的椭圆的标准方程为_________.
12、三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，1,2,PA PB PC ===则点P 到平面ABC 的距离为________.
13、设F 是抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上的三
点，若FA FB FC ++=0，则||||||FA FB FC ++=________.
14、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为
BC 的中点，动点P 在线段1D E ，点P 到直线1CC 的距离的最
小值为________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，
演算步骤或证明过程.
15、（本小题满分13分）
已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求和：2462.n a a a a ++++
16、（本小题满分13分）
在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 中点，11, 2.AB BC AA ===
（1）求直线1AC 与平面ABCD 所成角的余弦值；
（2）求证：1
//AC 平面EBD ； （3）求证：1
AC BD ⊥.
17、（本小题满分13分）
已知(2,0)F ，直线:1l x =-，动点M 到F 的距离比到直线l 的距离大1.
（1）求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）直线2y x =-与轨迹C 交于,A B 两点，求ABO 的面积.
18、（本小题满分14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形，
平面ABC ⊥平面11AAC C ，3,5AB BC ==.
（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；
（2）求二面角111A BC B --的余弦值；
（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1
BD
BC 的值.
19、（本小题满分14分） 已知椭圆22:1,43
x y C +=点(4,0)P ，过右焦点F 作与y 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于,A B 两点.
（1）求椭圆C 的焦距及离心率；
（2）求证：以坐标原点O 为圆心且与直线PA 相切的圆，必与直线PB 相切.
20、在无穷数列{}n a 中，12,a a 是给定的正整数，21||n n n a a a ++=-，*n N ∈.
（1）若123,1,a a ==写出910100,,a a a ；
（2）证明：数列{}n a 中存在值为0的项；
（3）证明：若12,a a 互质，则数列{}n a 中必有无穷多项为1.。