人教A版(2019)高中数学必修第二册 《平面向量的应用》能力探究课件

角和 的大小;
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且 = m/s,求他游泳的方向与水流
方向的夹角和 的大小.
解析 (1)由此人朝正南方向游去得四边形为矩形,且 = = ,
如图①所示,则在直角中, = =
+ =
典型例题
解析
(1)证明:以为坐标原点,以边, 所在的直线分别为
轴、轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则 , , , .∵为的中点,∴
∴ =



+
,∴
=



,

即 =
.

.

典型例题
数学运算、逻辑推理
典例2已知在中,∠ = °,设 = , = .
(1)若为斜边的中点,求证: =

;

(2)若为的中点,连接并延长交于点,求的长度(用, 表示).
解析
(2)解:∵为的中点,∴

,

, =


,−


设 , ,则 = , − .∵, , 三点共线,
设 = ,即 , − =
∴ ⋅ = −, ⋅ , = − + = .
∴ ⊥ .
分析计算能力
向量在平面几何计算问题中的应用
1.利用向量法求平面几何中的长度问题
用向量法求平面几何中的长即向量的模的求解,一是利用图形特点选择基底,
方向是向量的数量积转化,利用公式

= 求解;二是建立平面直角坐标系,
+ , = 根据向量加法的平行四边形法则得四
边形为平行四边形.
典型例题
数学运算、数学建模
典例3如图,已知河水自西向东流速为 = m/s设某人在静水中游泳的速度
为 ,在流水中实际速度为 .
(1)若此人朝正南方向游去,且 = m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹
解析
通过建立坐标系利用向量的坐标法确定相应向量的坐标,
经分析计算,先求 =
即可.


再求 =


+
典型例题
数学运算、逻辑推理
典例2已知在中,∠ = °,设 = , = .
(1)若为斜边的中点,求证: =

;

(2)若为的中点,连接并延长交于点,求的长度(用, 表示).
否垂直等,常运用向量垂直的充要条件: ⊥ ⇔ ⋅ =
(或 + = ).
(4)要证明, , 三点共线,只要证明存在一实数 ≠ ,使 = .
典型例题
数学运算、逻辑推理
典例1在直角梯形中, Τ/ , ∠ = ∠ = °,
题,再利用向量运算解决向量问题,最后获得结果,解释物理现象.
(2)此类问题主要考查将实际问题转化为向量问题的数学建模能力,并用所学
知识去解释物理现象.解决物体做功问题的关键是对物体所受各力做出正确
的分析,并能用向量知识加以解决.
简单问题解决能力
利用向量解决物理问题
3.利用向量解决物理问题的方法提炼
数学运算、数学建模
典例3如图,已知河水自西向东流速为 = m/s设某人在静水中游泳的速度
为 ,在流水中实际速度为 .
(1)若此人朝正南方向游去,且 = m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹
角和 的大小;
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且 = m/s,求他游泳的方向与水流
建立直角坐标系,把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题.
(3)要求一个角,如∠,只要求向量与向量的夹角即可.
2.有关向量坐标的信息题
对于信息题的处理应注意以下两点:
分析计算能力
向量在平面几何计算问题中的应用
(1)要注意概念的内涵与外延,认真领会题中所给信息.
(2)注意题中的条件与结论,将所得到的信息应用到题目中去,即解决实际问题.
= =

,求证:

⊥ .
解析 利用平面向量的线性运算法和坐标运算法进行分析计算和逻辑推理,最终得出
⊥ 即可
证 法 一 : ∵ ∠ = ∠ = °, Τ/ , = =
= , = , = ,则 = ,
角和 的大小;
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且 = m/s,求他游泳的方向与水流
方向的夹角和 的大小.
解析


(2)由题意知 = ∠ = ,且 = = , = ,
如图②所示,则在直角中, = =
+ = ,
典型例题
为 ,在流水中实际速度为 .
(1)若此人朝正南方向游去,且 = m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹
角和 的大小;
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且 = m/s,求他游泳的方向与水流
方向的夹角和 的大小.
解析 设 = , = , = ,则由题意知 =
位移等都是向量,用向量来研究物理问题,应注意两点,一方面是如何把物理问
题转化成数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型,另一方面是
如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.明确和掌握用向
量研究物理问题的相关知识.
简单问题解决能力
利用向量解决物理问题
5.物理中的向量
(1)加速度、位移都是向量.
(2)已知三边时,一般先用余弦定理的推论求出最大角的余弦值.
(3)已知两边及一边的对角时,既可以用正弦定理也可以用余弦定理.利用余弦
定理是求第三边长,利用正弦定理是求另一个角,因此根据需要选择即可.注意
象.
(2)向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同
的作用点,但是力却是既有大小,又有方向且作用于同一作用点的.用向量知识
解决力的问题,往往是把向量平移到同一作用点上.
简单问题解决能力
利用向量解决物理问题
2.速度、位移问题的向量处理方法
(1)向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决向量问题,
最后再获得物理结果.
(2)用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减
法以及数量乘法,有时也可借助坐标来求解.
简单问题解决能力
利用向量解决物理问题
3.利用向量解决物理问题的方法提炼
(1)用向量法解决物理问题的时候,一般要先作出相应的几何图形,再建立数学
模型.如求力的合成与分解、力做的功等,实际上是把物理问题转化为向量问
有时也用到向量减法的意义.
(2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平
行(共线)的充要条件:Τ/ ⇔ = (或 − = ).
说明论证能力、分析计算能力
利用向量解决平面几何问题
2.利用向量证明平面几何问题的技巧
(3)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线(线段)是
确定相应向量的坐标,代入公式求解,即若 = (, ),则 =
+ .
2.向量在平面几何计算问题中的求解方法
(1)求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式 =
(为向量与向量的夹角).
⋅

分析计算能力
向量在平面几何计算问题中的应用
(2)向量的坐标法,对于有些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等,


,−


,
典型例题
数学运算、逻辑推理
典例2已知在中,∠ = °,设 = , = .
(1)若为斜边的中点,求证: =

;

(2)若为的中点,连接并延长交于点,求的长度(用, 表示).
解析

= ,

则ቐ
故

− = − ,
说明论证能力、分析计算能力
利用向量解决平面几何问题
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系;
②把相关向量坐标化;
③用向量的坐标运算找相应关系;
④把几何问题向量化.
说明论证能力、分析计算能力
利用向量解决平面几何问题
2.利用向量证明平面几何问题的技巧
(1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,
人教A版同步教材名师课件
平面向量的应用
---能力探究
说明论证能力、分析计算能力
利用向量解决平面几何问题
1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法(基底法)的四个步骤
①选取基底;
②用基底表示相关向量;
③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;
④把几何问题向量化.
④把几何问题向量化.
方向的夹角和 的大小.
解析
∠ =
∠ =



,则

=
=

,又∠


+ = .

∈

,

,所以
分析计算能力
利用余弦、正弦定理解三角形的类型及方法
1.利用余弦、正弦定理解三角形的类型及方法
(1)已知两边及夹角时,先用余弦定理建立关于第三边的方程,求出第三边.



, 故 可 设
典型例题
数学运算、逻辑推理
典例1在直角梯形中, Τ/ , ∠ = ∠ = °,
= =
解析

,求证:

⊥ .
证法二:如图,建立平面直角坐标系,
设 = ,
则 , , ,
∴ = −, , = , .
方向的夹角和 的大小.
解析
∠ =


= 又 = ∠ ∈ ,




,所以 = .
典型例题
数学运算、数学建模
典例3如图,已知河水自西向东流速为 = m/s设某人在静水中游泳的速度
为 ,在流水中实际速度为 .
(1)若此人朝正南方向游去,且 = m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹
角和 的大小;
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且 = m/s,求他游泳的方向与水流
方向的夹角和 的大小.
思路 利用向量解决物理中的速度问题,首先根据题中条件建
立平行四边形模型,结合三角函数的定义和向量加法的
平行四边形法则综合进行分析计算和推理.
典型例题
数学运算、数学建模
典例3如图,已知河水自西向东流速为 = m/s设某人在静水中游泳的速度
求解此类问题常借助坐标运算并假设“能”,进而求解.有解则存在,无解则不
存在.
典型例题
数学运算、逻辑推理
典例2已知在中,∠ = °,设 = , = .
(1)若为斜边的中点,求证: =

;

(2)若为的中点,连接并延长交于点,求的长度(用, 表示).
数学运算、数学建模
典例3如图,已知河水自西向东流速为 = m/s设某人在静水中游泳的速度
为 ,在流水中实际速度为 .
(1)若此人朝正南方向游去,且 = m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹
角和 的大小;
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且 = m/s,求他游泳的方向与水流

∴ =



=

,

+ ,即
=
=

,∴





,

,
+ .
简单问题解决能力
利用向量解决物理问题
1.力学问题的向量处理方法
(1)解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量
之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现
(3)通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力
的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运
用,引概念的支撑作用.
简单问题解决能力
利用向量解决物理问题
4.向量是既有大小又有方向的量,物理中有许多量,比如力、速度、加速度、
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法,运动的叠加亦
用到向量的合成.
(3)动量是数乘向量.
(4)功即是力与所产生位移的数量积.
典型例题
数学运算、数学建模
典例3如图,已知河水自西向东流速为 = m/s设某人在静水中游泳的速度
为 ,在流水中实际速度为 .
(1)若此人朝正南方向游去,且 = m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹