最新高三教案-2018-第十一章等极限,导数 精品

数列的极限
〖考试要求〗理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的定义；掌握极限的四
则运算法则，会求某些数列的极限。

〖课前练习〗
1、n n n n 2312lim 22++∞→= ；22322
lim n n n n n
→∞+++=
2、135(21)
lim
2462n n n
→∞+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=_________________
3．已知a 、b 、c 是实常数，且a cn c
an b cn c bn c bn c an n n n ++=--=-+∞→∞→∞→2222lim ,3lim ,2lim 则的值是………（ ）
A .
121 B .61 C .2
3
D .6 4．已知a 、b 都是实数，且a >0，如果0)(
lim =+∞→n
n b
a b ，那么a 与b 的关系是………………（ ） A .a <2b B .－a <2b C .－a <b D .－a <b <2
a
〖典例解析〗 例1．求下列极限 （1） 求∞
→n lim [
)
1(2
3)1(4)1(1+-+⋅⋅⋅++++n n n n n n n ]
（2）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 1=b (b ≠0)，求n
n
n a a a a a a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++∞→7621lim
（3）求)1
1()311)(211(lim 222n
n -⋅⋅⋅--
∞
→
（4）求⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯∞→)23)(13(1
1181851521lim n n n
例2．求极限)1
212(lim 2
2
3+--∞→n n n n n
*例3．设数列a 1，a 2，…，a n ，…的前n 项的和S n 和a n 的关系是n
n n b ba S )1(1
1+-
-=，其中b 是与
n 无关的常数，且b ≠―1
（1）求a n 和a n －1的关系式； （2）写出用n 和b 表示a n 的表达式;（3）当0<b <1时，求极限n n S ∞
→lim
课堂小结
1．求数列极限的基本思路是“求和—变形—利用极限的运算法则求解”，而在求解前应先化为三个重要
极限。

2．常见的几类数列极限的类型和方法有： （1）“
00”型：分子、分母分别求和再化简转化；（2）“∞∞
”型：分子、分母先求和，再化简，转化为有极限；（3）“∞—∞”型：将其看作分母为1的分式，转化求极限；（4）已知极限值定参数：
待定系数法（应先求极限）
3．应注意极限的运算法则的使用范围，以及特殊极限的使用条件。

4．实际应用中的极限思想应引起注意 〖课堂练习〗
1、若数列的通项为1
()(1)
n a n N n n *=
∈+，则1lim()n n a na →∞+=
2、在等比数列中，a 1>1,前项和S n 满足1
1
lim n a →∞
=
，那么a 1的取值范围是……………………（ ） （A ）（1，＋∞） （B ）（1，4） （C ）（1，2） （D ）（1
3、等比数列｛a n ｝中，a 1=－1,前n 项和为S n ，若
10531
,32
S S =则lim n n S →∞=………………………（ ）
（A ）23 （B ）－2
3
（C ）2 (D )－2
〖能力测试〗 姓名_________________成绩__________________
1．已知a 、b 是互不相等的正数，则=+-∞→n
n
n
n n b a b a lim ……………………………………………（ ） A .1 B .－1或1 C .0 D .－1或0 2．a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)1
11(
lim 32n
n a a a +⋅⋅⋅++∞
→等于…………………（ ） A .2 B .1 C .
2
1 D .31
3．已知数列{a n }中，a 1=1，2a n +1=a n (n =1，2，3…)，则这个数列前n 项和的极限是……………（ ） A .2 B .
2
1 C .3 D .31
4．若三数a ，l ，c 成等差数列且a 2，1，c 2又成等比数列，则)(lim 2
2c
a c
a n ++∞
→的值域是………（ ） A .0 B .1 C .0或1 D .不存在 5．0<a <1,计算.______)1()1)(1)(1(lim 24
2
=+⋅⋅⋅+++∞
→n
n a
a a a
6．首项为1，公比为q (q >0)的等比数列前n 项和为S n ，则.______lim
1
=+∞→n n
n S S
7．s 和t 分别表示(1+2x )n 和(1+3x )n 展开式中各项系数和，则._____lim
=+-∞→t
s t
s n
8．有一系列椭圆，满足条件：（1）中心在原点；（2）以x 为准线；（3）离心率),2,1()2
1(⋅⋅⋅==n e n
n 。

则所有这些椭圆的长轴长之和为__________________.
9．求极限：).632632632632(
lim 333222n
n
n n ++⋅⋅⋅++++++∞→
10．已知S n =2+ka n 为数列的前n 项和，其中k 为不等于1的常数。

（1）求a n ； （2）若2lim =∞
→n n S ，求k 的取值范围.
函数的极限
〖考试要求〗
理解函数极限的概念；掌握函数极限的四则运算法则；会求某些函数的极限。

〖双基回顾〗
1、lim ()n f x a →+∞
=，即当x 时函数f(x)的极限是 ；lim ()n f x a →-∞
=即当x 时
f(x)的极限为 ；lim ()n f x a →∞
=即当 时，f(x)极限是 。

2、lim ()o
x x f x a →=含义是 .
3、lim ()o
x x f x a -→=叫f(x)在点x o 处的 ；lim ()o x x f x a →+
=叫f(x)在x o 处
的 ； lim ()o
x x f x -→
l i m ()o x x f x a →+
=⇔l i m ()o
x x f x a →=。

〖课前练习〗
1、lim ()o x x f x →+
=lim ()o
x x f x a -→=是函数在点x o 处存在极限的………………………………（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
2、m<0,n>0时，
lim
x → ）
（A ）m n -
（B ）0 （C ）1 （D ）n
m
3、22
3215
lim 5724
x x x x x →--=--………………………………………………………………………（ ） （A ）0 （B ）
1123 （C ）－1123
（D ）不存在
4、lim
x x
→-∞
的值为……………………………………………………………………（ ） （A ）1 （B ）0 （C ）－1 （D ）±1 5、f(x)=2 1
0 x<1
x x ≥⎧⎨
⎩下面结论正确的是………………………………………………………（ ）
（A ）1
lim ()x f x +→=1
lim ()x f x -→ （B ）1
lim ()x f x +→=2 ，1
lim ()x f x -
→不存在 （C ）1
lim ()x f x +→=0，1
lim ()x f x -→ 不存在 （D ）1
lim ()x f x +→≠1
lim ()x f x -
→ 〖典例解析〗
例1．求下列极限：
（1）1
34
2lim 232+--+∞→x x x x n
（2）)11(lim 22
--
+∞
→x x n
（3）121
lim 22---∞→x x x n
（4）x
a a x n 3
3)(lim -+∞→
例2．已知2
2lim 22+++-→x mx x x =n ，求m 、n 。

例3．求下列极限 （1）x
x x 1
cos
lim 2
→； （2）)cos 1(cos lim x x x -++∞→
〖课堂小结〗
1．A x f A x f x x x ==⇔=-∞
→+∞
→∞
→lim )(lim )(lim 及A x f A x f x x x x x x ==⇔=+
+→→→0
00lim )(lim )(lim ，这是一个重要定理。

2．掌握几种常见的函数式变形求极限
〖课堂练习〗
1．1
1
lim 21+-→x x x 的值为…………………………………………………………………………（ ）
A ．不存在 B.2 C.0 D.1 2．给出下列命题
（1）若函数f(x)在x 0处无定义，则)(lim 0
x f x x →必不存在；
（2）)(lim 0
x f x x →是否存在与函数f(x)在x 0处是否有定义无关；
（3）)(lim 0
x f x x +→与)(lim 0
x f x x -
→都存在，则)(lim 0
x f x x →也存在； （4）若)(lim 0
x f x x →不存在，则[]2
)(lim 0
x f x x →必定不存在.
正确的命题个数是……………………………………………………………………………（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
〖能力测试〗 姓名 得分 1．下列各式不正确的是………………………………………………………………………（ ）
A ．321332lim 22=++-∞→x x x x
B ．0131
24lim 42=+-+∞→x x x x C ．4
1
7812lim 2
3=++∞→x x x x D ．6131lim 93lim 323=+=--→→x x x x x 2．=+-+→)8
12
21(
lim 32x x x …………………………………………………………………（ ）
A ．0 B.21 C.1 D.2
1
-
3．若1)12(lim 2
=--+∞
→nb n n a n ，则ab 的值是…………………………………………（ ） A ．42 B.82 C. 8 D.16
4．._____)
51()1(lim 5250=++-+→x
x x x x 5．1
1
lim 1--→n m x x x (m 和n 为自然数)=________.
6．x
x x )
1ln(lim
0+→=_______.
7．若f(x)=
1
)1(12
2+--x x x 的极限为1，则x 的变化趋向是______.
8．求下列极限 （1）9
3
3lim
2
3
--+-→x x x x （2）1
1lim
2
2---++∞
→x x x x x
9．讨论函数f(x)=1, 00, 0, 1, 0x x x x x -<⎧⎪
=⎨⎪+>⎩
当0x →时的极限
导数的概念及运算
〖考试要求〗
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的斜率等）。

掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。

2．熟记基本导数公式（为有理数，的导数）掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些函数的导数。

3．理解二阶导数的概念，了解二阶导数的物理意义。

〖课前练习〗
1．如果一个质点固定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y =f （t ）=t 3+3， （1）当t 1=4，△t=0.01时，求△y 和比值x
y ∆∆； （2）求t 1=4时，t y t ∆∆→∆0lim 的值；
（3）说明t
y
t ∆∆→∆0lim 的几何意义.
2．在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x ,2+△y )，则
x
y
∆∆为……………（ ） A .△x +x ∆1 +2 B .△x －x ∆1－2 C .△x +2 D .2+△x －x
∆1
3．一质点的运动方程为s=5－3t 2，则在一段时间[1,1+△t]内相应的平均速度为……（ ）
A . 3△t +6
B . －3△t +6
C . 3△t －6
D . －3△t －6 〖典例解析〗
例1．若k
x f k x f x f k 2)
()(lim
,2)(000
0--='→则=_____.
例2．求下列函数的导数：
(1)y =(2x －3)5 (2)y =x -3 (3)y =ln (x +21x +) (4)y =si n 32x
例3．已知曲线12+=x y ，问曲线上哪一点处切线与直线y =－2x +3垂直，并写出这一点的切线
方程。

例4．动点沿ox 轴的运动规律由x =10t+5t 2给出，式中t 表示时间（单位：s ）,x 表示距离（单位：m ），求在20≤t ≤20+△t 时间段内动点的平均速度，其中 ①△t=1； ②△t=O .1； ③△t=0.01 当t=20时，运动的瞬时速度等于什么？
例5．设2ln(1), 0()0, 01
sin , 0x x f x x x x x
⎧
⎪+>⎪
==⎨⎪⎪<⎩ 求f ′(x ).
〖课堂小结〗
1．函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限 2．求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分拆。

3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题如：切线、加速度等问题打下理论基础. 〖课堂练习〗
1．已知y =f (x )=ln |x |，则下列各题中，正确的命题是………………………………（ ）
A ．x >0时,x x f x x x f 1)(,0,1)(-='<='时
B . x >0时,)(,0,1
)(x f x x
x f '<='时=无意义 C .x ≠0时,都有x
x f 1
)(=' D .∵x =0时,f (x )无意义,∴对y =ln |x |不能求导2．求下列
函数y 在指定点处的导数： （1） y =x
x 3133+,点x =3； （2）y =162-x x ,点x =5.
〖能力测试〗 姓名 得分
1．函数y =(x +2a )(x －a )2的导数为…………………………………………………………（ ） A ．2（x 2－a 2） B .3(x 2+a 2) C .3(x 2－a 2) D .2(x 2+a 2)
2．y =ln [ln (lnx )]的导数为………………………………………………………………（ ） A ．
)ln(ln 1x x B ．)ln(ln ln 1x x C .)
ln(ln ln 1x x x D . )ln(ln 1
x
3．函数y =si n n xco s nx 的导数为…………………………………………………………（ ）
A ． n si n n －1xco s nx
B . n si n n xco s nx
C .n si n n xco s(n +1)x
D .n si n n －
1xco s(n +1)x 4．若y =32x lg (1－co s2x )，则x y '为…………………………………………………………（ ） A ．4·9x [2ln 3lg (1－co s2x )+lge ·co t x ] B . 4·9x [2ln 3lg (1－co s2x )+lg 10·co t x ] C . 2·9x [ln 3·lg (1－co s2x )+lge ·co t x ] D . 以上皆非
5．已知f (x )=(5)f '为………………………………………………………( )
A ．2710-
B . 2710
C .3
2128 D .以上皆非 6．函数y =x
x sin 2
的导数为______.
7．函数y =
3
3
2
++x x 在点x =3处的导数值为_____. 8．函数y =2x 2－3x +4－22
3x
x +的导数为______.
9．函数y =)3
2(sin 2
π
+
x 的导数为______.
10．在受到制动后的七秒种内飞轮转过的角度（弧度）由函数=)(t ϕ4t －0.3t 2给出，求： （1）t=2(秒)时，飞轮转过的角度； （2） 飞轮停止旋转的时刻.
导数的应用
〖考试要求〗
了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

〖双基回顾〗
1、设f(x )在某个区间内可导，如果()0f x '>，则f(x )为 ；如果()　0f x '<，则f(x )为 ；若()0f x '=，则f(x )为
2、设函数f(x )在x o 附近有定义，如果 ，则称f(x o )是f(x )的一个极大值；如果 ，则f(x o )为f(x )的一个极小值。

3、当函数f(x )在x o 处连续时，判断f(x o )为极大（小）值的方法是：
4、求可导函数f(x )极值的步骤是：① ② ③
5、设函数f(x )在[a ,b ]上连续，在（a ,b ）内可导，求f(x )在[a ,b ]上的最值的步骤如下：
① ② 〖课前练习〗
1．下列说法正确的是………………………………………………………………………（ ） A .函数的极大值就是函数的最大值 B . 函数的极小值就是函数的最小值 C .函数的最值一定是极值 D .在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y =4x 2+
x
1
的单调增区间为…………………………………………………………（ ） A .(0,+∞) B .(21,∞) C .(―∞,―1) D .(―∞,―2
1
)
3．下列说法正确的是 …………………………………………………………………… ( ) A .当f '(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x )的极大值 B .当f '(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x )的极小值 C .当f '(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x )的极值 D .当f(x 0)为函数f(x )的极值时，则有f '(x 0)=0
4．函数y =x 4－8x 2+2在[－1,3]上最大植为………………………………………………( )
A ．11
B ．2
C ．12
D ．10 〖典例解析〗
例1．已知f （x ）=(x －1)2+2，g (x )=x 2－1，则f[g (x )]…………………………………………( ) A .在(－2,0)上递增 B . 在(0,2)上递增 C .在(－2,0)上递增 D .(0,2)在上递增
例2．设f(x )=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间
例3．求下列函数的极值：(1)y =2e x +e －x (2)y =x 2e －
x
例4．求函数f(x )=3x －x 3在闭区间[－3,3]的最大值和最小值
例5．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌壁所用的材料最省？
例6．若电灯（点B ）可在桌面上一点O 的垂线上移动，桌面上有与点O 的距离为a 的另一点A ，问电灯与点O 的距离怎样，可使点A 处有最大的照度？
例7．设f(x )=(x －a )ϕ(x )，其中ϕ(x )在x =a 处连续，求f '(a )。

〖课堂小结〗
利用导数求函数的极大（小）值，求函数在连续区间[a ,b ]上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际问题，这已成为新高考的一个热点问题，请予以关注。

〖课堂练习〗
1．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四角折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为…………………………………………………………………………………（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
2．已知二次函数f(x )=a (x 2－1)+bx ，在x ∈[－1，1]的最大值为m ，最小值为n ，且∣m ∣≠∣n ∣
（1）求证：∣
a b ∣<2 （2）若m =2，n =－2
5，且a >0，求a ，b .
〖能力测试〗 姓名 得分
1．下列函数存在极值的是………………………………………………………………（ ）
A ．y =x
1 B ．y =32
x C ．y =2 D ．y =x 3
2．点M （p ，p ）到抛物线y 2=2px 的最短距离为……………………………………………（ ） A ．p 2
43 B ．222)12(33+-p C ．222224323+-+p p D ．以上答案都不对 3．函数y =10,)1(2323
≤≤-+x x x 的最小值为_____.
4．在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为____时它的面积最大
5．函数y =f(x )=x 3+ax 2+bx +a 2，在x =1时，有极值10，那么a ，b 的值为_______.
6．将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和最小值为_______.
7．设f(x )=－x 3+x 2－x ，x ∈[0,2],研究函数F(x )=a [f(x )]2+2a f(x )（其中a 为非零常数）的单调性和最值.
8．设f(x )=5222
3
+--x x x （1）求函数f(x )的单调递增、递减区间；
（2）当x ∈[－1，2]时，f(x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围.。

9．设AB 两地相距30公里（如图），在它们之间铺设一条铁道，由于地质条件不同，在y >0地区铺设费用为105元∕公里，而在y ≤0地区为6×104元∕公里，求最经济的铺设线路.。