新苏科版九年级上册初中数学 2-2 课时2 垂径定理 教学课件

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第二十一页，共二十六页。
即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
第ห้องสมุดไป่ตู้页，共二十六页。
新课讲解
知识点2 垂径定理
例 2 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E.你能发现图
中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?
C
答：线段: AE=BE
(
(
(
)
弧: AC=BC, AD=BD
·O
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半 A E
C
A
·O
B
D
新课讲解
例 3 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历 史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的 跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州 桥的实物图画出几何图形.
B
圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，
D
(
(
(
(
AC和BC，AD与BD重合．
第十页，共二十六页。
新课讲解
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推导格式：
C
( ( ( (
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE，AC =BC，AD =BD.
·O
AE B D
第十一页，共二十六页。
构造直角三角形， 利用勾股定理计
基本图形及变式图形
算或建立方程.
第二十页，共二十六页。
当堂小练
1.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结
论中错误的是( )
C
A.∠AOD=∠BOD B.A⌒D=B⌒D
C.OD=DC
D.AC=BC
2.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长
弦的长是 1，0最短弦的长是
第三页，共二十六页。
新课导入
知识回顾 1.圆的定义
(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所 形成的图形叫做圆．
(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的 集合．
2.弦的定义 连接圆上任意两点的线段叫做弦.
3.弧的定义 圆上任意两点间的部分叫做弧.
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都 是它的对称轴．
第六页，共二十六页。
新课讲解
圆有哪些对称轴？
圆有无数条对称轴，每一条对称
轴都是直径所在的直线.
O
第七页，共二十六页。
新课讲解
例 1 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径 所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
·O
C
B
第十七页，共二十六页。
新课讲解
C
弓形中重要数量关系
h
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之
间有以下关系：
A
aD
r2 d
B
O
d+h=r
r2
d2
a 2
2
第十八页，共二十六页。
新课讲解
练一练
如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，
则CD的长是( ) A
A.2
B.3
第十五页，共二十六页。
新课讲解
(( ( (
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C， 连接OA，根据垂径定理，得D是AB的中点，C是AB的中点，
CD就是拱高.
由题设可知AB=37，CD=7.23，
所以
AD=
1 2
AB=
第四页，共二十六页。
新课导入
课时导入
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过 程中你有何发现？什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称 图形？
第五页，共二十六页。
新课讲解
知识点1 轴对称性
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线 对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么 结论？
C.4
D.5
第十九页，共二十六页。
课堂小结
内容
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂 推论 径 定 理
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直 径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两 个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
两条辅助线：连半径，作弦心距
新课讲解
垂径定理的几个基本图形： 知识点
C
A
O
O
A
EBA
DB
D
E
B D O
C
O A CB
第十二页，共二十六页。
新课讲解
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设 交换一条，命题知是识真点命题吗？
①过圆心 ； ②垂直于弦； ③平分弦（非直径）； ④平分弦所对的优弧 ；
第二章 对称图形——圆
2.2 圆的对称性
课时2 垂径定理
第一页，共二十六页。
目
录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练
7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
第二页，共二十六页。
学习目标
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决 一些简单的计算、证明和作图问题. （重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. （难点）
⑤平分弦所对的劣弧.
在一个圆中，一条直线只要满足上面五个条件中的任意两个，都可以推出其他三个 结论(知二推三).
第十三页，共二十六页。
新课讲解
垂径定理知的识推点论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
“不是直径”这个条件 能去掉吗？如果不能，
请举出反例.
第十四页，共二十六页。
1 2
37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+（R-7.23）2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
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新课讲解
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的 距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径 或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾 A 股定理求解.
第八页，共二十六页。
新课讲解
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意 一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′. 在△OAA′中，∵OA=OA′, ∴△OAA′是等腰三角形.
又AA′⊥CD，∴AM=MA′. 即CD是AA′的垂直平分线. 这就是说，对于圆上任意一点A， 在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.