高中数学北师大版必修1课件2.4.2 二次函数的性质精选ppt课件

思想方法 转化思想在解决恒成立问题中的应用 已知 f(x)＝x2＋2xx＋a，x∈[1，＋∞)．若对任意 x∈[1，
＋∞)，f(x)＞0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．
[解] 法一：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2xx＋a＞0 恒成立， 等价于 x2＋2x＋a＞0 恒成立． 设 y＝x2＋2x＋a，则 y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1 在[1，＋ ∞)上是递增的，所以当 x＝1 时，ymin＝3＋a， 所以当且仅当 ymin＝3＋a＞0 时，函数 f(x)＞0 恒成立， 所以 a＞－3.
(1)写出利润函数 y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成 本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ [解] (1)由题意得 G(x)＝2.8＋x， 所以 f(x)＝R(x)－G(x) ＝－0.4x2＋3.2x－2.8，0≤x≤5，x∈N，
8.2－x，x>5，x∈N.
(2)当 x>5 时，因为函数 f(x)单调递减，所以 f(x)<f(5)＝3.2(万 元)， 当 0≤x≤5 时，函数 f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 当 x＝4 时，f(x)有最大值为 3.6(万元)， 所以当工厂生产 4 百台产品时，可使赢利最大为 3.6 万元．
别为( B ) A．－12，－5
B．－12，4
C．－13，4
D．－10，6
解析：f(x)的图像开口向下，对称轴为直线 x＝－1.
当 x＝－1 时，f(x)最大＝4，
当 x＝－5 时，f(x)最小＝－12.
3．若函数 f(x)＝x2－2ax 在(－∞，5]上是递减的，在[5，＋ ∞)上是递增的，则实数 a＝___5_____． 解析：由题意知，对称轴 x＝a＝5. 4．函数 y＝x2＋1，x∈[－1，2]的值域为_[_1_，__5_]__． 解析：y＝x2＋1 的图像开口向上， 对称轴为 y 轴，当 x＝0 时，y 最小＝1，
m≤h<m＋2 n
m≤h≤n
h＝m＋2 n
m＋2 n<h≤n
最大值
f(n) f(m)或
f(n) f(m)
最小值 f(h) f(h) f(h)
探究点一 二次函数的单调性和对称性 (1)若函数 f(x)＝x2＋2mx＋1 在区间[－1，2]上是单调 的，则实数 m 的取值范围是_(－__∞__，__－__2_]_∪__[_1_，__＋__∞__)__． (2)如果函数 f(x)＝x2＋bx＋1 对任意实数 x 都有 f(2＋x)＝f(2 －x)，则 f(1)，f(2)的值分别为_－__2_，__－__3____． (链接教材 P46 例 2)
解：(1)由题意知，存款量 g(x)＝kx，银行应该支付的利息 h(x) ＝xg(x)＝kx2，x∈(0，0.048)． (2)设银行可获得的收益为 y， 则 y＝0.048kx－kx2＝－k(x－0.024)2＋0.0242·k， 当 x＝0.024 时，y 有最大值． 所以存款利率定为 0.024 时，银行可获得最大收益.
符号
a>0
性质
顶点坐标 _(_－__2b_a_，__4_a_c4_－a__b_2)___
a<0 (－2ba，4ac4－a b2) ________________
对称轴
___x_＝__－__2b_a_______
___x_＝__－__2b_a________
a的
符号
a>0
a<0
性质
在区间__(_－__∞__，__－__2_ba_]_上 在区间_(－__∞__，__－__2_ba_]___上
探究点三 二次函数在实际问题中的应用 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关 生产销售的统计规律：每生产产品 x(百台)，其总成本为 G(x)(万元)，其中固定成本为 2.8 万元，并且每生产 1 百台的 生产成本为 1 万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收 入 R(x)(万元)满足： R(x)＝1－1，0.4xx>25＋，4x.2∈x，N，0≤x≤5，x∈N，假定该产品产销平 衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下 列问题：
[感悟提高] 转化是解决恒成立问题的基本思想，我们常从 函数最值的角度和分离参变量的角度来处理不等式恒成立 问题．需要指出的是，在分离参变量这个角度里使用到了以 下重要结论：a＞f(x)(a＜f(x))恒成立等价于 a＞f(x)max(a＜
f(x)min)．
1．函数 y＝2－ －x2＋4x的值域是( C )
(1)解应用题要弄清题意，从实际出发，建立数学模型，列出 函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题．实际问题要 注意确定定义域． (2)分段函数求最值，应先分别求出各段上的最值再比较.
3.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测， 存款量与存款利率成正比，比例系数为 k(k＞0)，贷款的利率 为 4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去． (1)若存款利率为 x，x∈(0，0.048)，试写出存款数量 g(x)及 银行应支付给储户的利息 h(x)与存款利率 x 之间的关系式； (2)问存款利率为多少时，银行可获得最大收益？
(1)二次函数最值问题关键是与图像结合，主要讨论对称轴在 区间左、在区间内、在区间右这三种情况． (2)对于已给出最值的问题，求解的关键是借助单调性确定最 值点.
2.(1)函数 f(x)＝x2－4x＋5 在区间[0，m]上的最
大值为 5，最小值为 1，则实数 m 的取值范围是( D )
A．[2，＋∞)
A．[－2，2]
B．[1，2]
C．[0，2]
D．[－ 2， 2 ]
解析：因为 －x2＋4x＝ 4－（x－2）2∈[0，2]， 所以 y＝2－ －x2＋4x的值域为[0，2]．
2．函数 f(x)＝1－x（11－x）的最大值是( C )
A.45
B.54
4
3
C.3 解析：设
g(x)
＝
1
－
x(1
－
x)
＝
x2
B．[0，2]
C．(－∞，2]
D．[2，4]
(2)函数 f(x)＝x2－21x＋3，x∈[0，3]的最大值为___12_____．
解析：(1)f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1 在[0，＋∞)上的图像 如图，
由题意得 2≤m≤4. (2)令 g(x)＝x2－2x＋3，则 g(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2 在[0， 3]上的最小值为 2，最大值为 6. 故 f(x)＝g（1x）的最大值为12.
当 x＝2 时，y 最大＝5.
所以函数 y 的值域为[1，5]．
二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值可 作如下讨论
对称轴 x＝h 与[m，n]的lt;m
f(n)
f(m)
h>n
f(m)
f(n)
对称轴 x＝h 与[m，n]的位置 关系
D.4 －x＋
1
＝
x－12
2
＋
3 4
∈
34，＋∞，
所以 f(x)＝1－x（11－x）的最大值为43.
3．若函数 f(x)＝mx2＋x－4m4x＋3的定义域为 R，则实数 m 的取
值范围是__0_，__34______．
解析：由题意知 mx2＋4mx＋3≠0 在 R 上恒成立，
探究点二 二次函数的最值(值域) 已知函数 f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数 f(x) 的最小值． [解] f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2 的图像开口向上，且 对称轴为直线 x＝a.
当 a≥1 时，函数图像如图(1)所示，函数 f(x)在区间[－1，1] 上是减函数，最小值为 f(1)＝3－2a；当－1<a<1 时，函数图 像如图(2)所示，函数 f(x)在区间[－1，1]上是先减后增，最 小值为 f(a)＝2－a2； 当 a≤－1 时，函数图像如图(3)所示，函数 f(x)在区间[－1， 1]上是增函数，最小值为 f(－1)＝3＋2a. 综上，当 a≥1 时，f(x)min＝3－2a； 当－1<a<1 时，f(x)min＝2－a2； 当 a≤－1 时，f(x)min＝3＋2a.
(2)若函数 f(x)＝x2－(2a－1)x＋a＋1 是(1，2)上的单调函数，
则实数 a 的取值范围为___－__∞__，__32__∪___52_，__＋__∞____．
解析：(1)函数 f(x)的对称轴为 x＝－1， f(x)在(－∞，－1]上为减函数， 由题意(－∞，a]⊆(－∞，－1]，故 a≤－1， 即 a 的最大值为－1. (2)函数 f(x)的对称轴为 x＝2a－ 2 1＝a－12， 因为函数在(1，2)上单调， 所以 a－12≥2 或 a－12≤1， 即 a≥52或 a≤32.
2．例题导读 (1)P46 例 2.通过本例学习，掌握配方法在研究二次函数性质 中的应用． (2)P46 例 3.通过本例学习，掌握二次函数的实际应用．
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
a的
符号
a>0
a<0
性质
函数图像
开口方向
开口___向__上_____
开口____向__下___
a的
[解析] (1)函数 f(x)＝x2＋2mx＋1＝(x＋m)2＋1－m2，其对 称轴为 x＝－m，若函数在[－1，2]上是单调的，说明对称轴 不在区间[－1，2]内部，故有－m≤－1 或－m≥2，得 m≥1 或 m≤－2. (2)由题意知，函数关于 x＝2 对称， 故－b2＝2，得 b＝－4，所以 f(x)＝x2－4x＋1， 所以 f(1)＝1－4＋1＝－2，f(2)＝4－8＋1＝－3.
4．2 二次函数的性质
1．问题导航 (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向、开口大小由哪 个量确定？ (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是什么？ (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性由哪两个量确 定？ (4)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值与 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，m≤x ≤n)的最值一定相同吗？
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数的单调性由开口方向和对称轴共同确定．( √ ) (2)函数 y＝－2x2＋2x＋1 的对称轴为 x＝－1.( × ) (3)所有的二次函数一定存在最大、最小值．( × ) (4)二次函数在闭区间上既有最大值又有最小值．( √ )
2．函数 f(x)＝－x2－2x＋3 在[－5，2]上的最小值和最大值分
法三：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2xx＋a＞0 恒成立，等 价于 x2＋2x＋a＞0 恒成立，即 a＞－x2－2x 恒成立． 又因为 x∈[1，＋∞)， 所以 a 应大于函数 u＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)的最大值． 因为 u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1， 所以当 x＝1 时，u 取得最大值－3，所以 a＞－3.
是减少的，在区间
是增加的，在区间
单调性 __[_－__2b_a_，__＋__∞__)__上是增 __[_－__2b_a_，__＋__∞__)____上是
加的
减少的
最值
当x＝
－2ba时，函数取得
4ac－b2
当x＝
－2ba 时，函数取得
4ac－b2
最小值______4_a_____ 最大值_____4_a__________
当 m＝0 时，3≠0 符合题意，当 m≠0 时，需 Δ＝16m2－12m
＝4m(4m－3)<0，所以
(1)二次函数的单调性由开口方向和对称轴两个因素共同确 定； (2)若函数 f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)或 f(2a－x)＝f(x)，则 f(x) 的对称轴为 x＝a； (3)若函数 f(x)满足 f(a－x)＝f(b＋x)，则 f(x)的对称轴为 x＝ a＋b
2.
1.(1)(2016·西安高一检测)已知函数 f(x)＝x2＋ 2x－3 在(－∞，a]上是减函数，则实数 a 的最大值为___－__1___．
法二：f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)， 当 a≥0 时，函数 f(x)在[1，＋∞)上的值恒为正； 当 a＜0 时，函数 f(x)在[1，＋∞)上是递增的， 则当 x＝1 时，f(x)min＝3＋a， 所以当且仅当 f(x)min＝3＋a＞0 时，函数 f(x)＞0 恒成立，所 以 a＞－3.