第40届俄罗斯数学奥林匹克九年级试题(无答案)

第40届俄罗斯数学奥林匹克（九年级）

1. 放置了99个正整数. 已知任意两个相邻的数相差1或相差2或一个为另一个的2倍. 证明：这99个数中，有3的倍数.

2. 已知a b ，为两个不同的正整数. 问：

()()()()()()222222a a ab a b a b a b b b ++++++，，，，，

这六个数中，至多有多少个完全平方数？

3. 令A 是由一个凸n 边形的若干对角线组成的集合. 若集合A 中的一条对角线恰有另外一条对角线与其相交在凸n 边形内部，则称该对角线为“好的”. 求好对角线条数的最大可能值.

4. 在锐角ABC △中，已知AB BC >，M 为边AC 的中点，圆Γ为ABC △的外接圆，圆Γ在点A C ，处的切线交于点P ，线段BP 与AC 交于点S ，AD 为ABP △的高，CSD △的外接圆与圆Γ交于点K （异于点C ）. 证明：90CKM ∠=︒.

5. 设正整数1N >，m 表示N 的小于N 的最大因数. 若N m +为10的幂，求N .

6. 已知内接于圆Γ的梯形ABCD 两底分别为AB CD ，，过点C D ，的一个圆1Γ与线段

CA CB ，分别交于点1A （异于点C ），1B （异于点D ）. 若22A B ，为11A B ，分别关于CA CB

，中点的对称点，证明：22A B A B ，，，四点共圆.

7. 麦斯国中央银行决定发行面值为()01k k α=，，的硬币. 央行行长希望能够找到一个正

实数α，使得对任意1k k α，

≥为大于2的无理数，且对于任意正整数n ，理论上均存在若干枚面值之和等于n 的硬币，其中每种面值的硬币均不超过六枚. 问：行长的愿望能够实现吗？

8. 某国有n 座城市，任意两座城市之间有双向直达航班. 已知对任意两座城市，它们之间

的两个方向的机票价格相同，不同城市对之间的航班机票价格互不相同. 证明：存在由1n -段依次相连的航班，使得各段航班机票的价格依次严格单调下降.