数学北师大必修5检测：2 余弦定理 含解析

1.2 余弦定理
课后篇巩固探究
A 组
1.在△ABC 中,已知a=2,b=3,cos C=1
3,则边c 长为
( )
A.2
B.3
C.√11
D.√17
解析:因为c 2=a 2+b 2-2ab cos C=22+32-2×2×3×13
=9,所以c=3. 答案:B
2.在△ABC 中,若C=60°,c 2=ab ,则三角形的形状为 ( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
解析:因为在△ABC 中,C=60°,c 2=ab ,所以c 2=a 2+b 2-2ab cos C=a 2+b 2-ab=ab ,所以a=b ,所以a=b=c ,所以三角形的形状为等边三角形,故选C . 答案:C
3.已知△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2-√3ab ,则△ABC 的最大内角为( ) A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
解析:由已知得,c 2=a 2+b 2+√3ab ,所以c>a ,c>b ,故C 为最大内角.由cos C=a 2+b 2
-c 22ab =-√3
2
,得
C=150°,故
选D . 答案:D
4.在△ABC 中,若a=1,B=45°,S △ABC =2,则△ABC 外接圆的直径为( ) A .4√3
B .6
C .5√2
D .6√2
解析:因为S △ABC =1
2
ac sin B=12
·c ·sin 45°=√2
4
c=2,
所以c=4√2.
由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=1+32-2×1×4√2×√2
2=25,所以b=5. 所以△ABC 外接圆直径2R=b
sinB =5√2. 答案:C
5.已知在△ABC 中,a 比b 大2,b 比c 大2,最大角的正弦值是√3
2,则△ABC 的面积是( ) A.15√3
4
B.15
4
C.21√3
4
D.35√3
4
解析:因为a=b+2,b=c+2,所以a=c+4,A 为最大角,所以sin A=√3
2.
又A>B>C ,所以A=120°, 所以
cos A=-12,即b 2
+c 2-a 22bc =-1
2
,
所以(c+2)2+c 2-(c+4)2=-c (c+2),解得c=3. 所以a=7,b=5,c=3,A=120°. S △ABC =1
bc sin A=1×5×3×√3
=
15√3
. 答案:A
6.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若c=2a ,b=4,cos B=1
4,则c= . 解析:因为cos B=14,由余弦定理得42=a 2+(2a )2-2a×2a×1
4,解得a=2,所以c=4. 答案:4
7.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边长分别为a ,b ,c ,且3b 2+3c 2-3a 2=4√2bc ,则sin A 的值为 . 解析:由已知得b 2+c 2-a 2=4√2
3bc ,于是
cos A=4√23bc
2bc =2√23,从而sin A=√1-cos 2A =1
3.
答案:1
8.已知在△ABC 中,AB=7,BC=5,CA=6,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 解析:在△ABC 中,分别用a ,b ,c 表示边BC ,CA ,AB ,
则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ca ·cos B=ca ·a 2+c 2-b 2
2ac
=12(a 2+c 2-b 2)=12
(52+72-62)=19. 答案:19
9.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a+c=6,b=2,cos B=79
. (1)求a ,c 的值; (2)求sin(A-B )的值. 解(1)由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,
得b 2=(a+c )2-2ac (1+cos B ),又b=2,a+c=6,cos B=7
9,所以ac=9,解得a=3,c=3. (2)在△ABC 中,sin B=√1-cos 2B =4√2
9, 由正弦定理得sin A=asinB
b
=2√2
3.
因为a=c ,所以A 为锐角, 所以cos A=√1-sin 2A =13
.
因此sin(A-B )=sin A cos B-cos A sin B=10√2
27. 10.
导学号33194039已知在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量
p =(sin A-cos A ,1-sin A ),q =(2+2sin A ,sin A+cos A ),p 与q 是共线向量,且π
6≤A ≤π
2. (1)求角A 的大小;
(2)若sin C=2sin B ,且a=√3,试判断△ABC 的形状,并说明理由.
解(1)因为p ∥q ,所以(sin A-cos A )(sin A+cos A )-2(1-sin A )(1+sin A )=-cos 2A-2cos 2A=0,所以1+2cos 2A=0,所以cos 2A=-1
.
因为π
≤A ≤π
,所以π
≤2A ≤π,所以2A=2π
,所以A=π
. (2)△ABC 是直角三角形.理由如下: 由cos A=1,a=√3及余弦定理得b 2+c 2-bc=3. 又sin C=2sin B ,由正弦定理得c=2b. 联立可得{b 2+c 2-bc =3,
c =2b ,
解得{b =1,c =2,
所以a 2+b 2=(√3)2+12=4=c 2,所以△ABC 是直角三角形.
B 组
1.在△ABC 中,若△ABC 的面积S=14
(a 2+b 2-c 2),则C=( ) A.π
4
B.π6
C.π3
D.π2
解析:由S=1
4(a 2+b 2-c 2),得1
2ab sin C=1
4×2ab cos C ,
所以tan C=1,又C ∈(0,π),所以C=π
4. 答案:A
2.在△ABC 中,若sin A-sin A ·cos C=cos A sin C ,则△ABC 的形状是( ) A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形
D.等腰直角三角形
解析:由正弦定理、余弦定理,知sin A-sin A cos C=cos A sin C 可化为a (1-a 2+b 2
-c 2
2ab
)=
b 2
+c 2-a 2
2bc
·c ,整理,得a=b ,所以△ABC 是等腰三角形,选B . 答案:B
3.已知△ABC 各角的对边分别为a ,b ,c ,满足b a+c +c
a+b ≥1,则角A 的范围是( ) A.(0,π
3]
B.(0,π
6]
C.[π3,π)
D.[π6
,π)
解析:将不等式b a+c +c
a+b ≥1两边同乘以(a+c )(a+b )整理得,b 2+c 2-a 2≥bc ,所以
cos A=b 2
+c 2-a 2
2bc
≥bc 2bc =1
2,
所以0<A ≤π
3,故选A . 答案:A
4.在△ABC 中,若边长和内角满足a 2-b 2=√3bc ,sin (A+B )
sinB =2√3,则A= . 解析:因为sin (A+B )
=sinC =c
=2√3,
所以c=2√3b. 又a 2-b 2=√3bc ,所以
cos A=
b 2
+c 2-a 2
=
c 2-√3bc =
22
4√3b
2
=
√3
,又A ∈(0,π),所以A=π.
答案:π6
5.已知在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 所对边分别为a=3,b=4,c=6,则bc cos A+ac cos B+ab cos C 的值为 .
解析:bc cos A+ac cos B+ab cos C
=bc ·b 2
+c 2-a 22bc +ac ·
a 2+c 2-
b 2
2ac +ab ·a 2+b 2
-c 2
2ab
=1
2(b 2+c 2-a 2+a 2+c 2-b 2+a 2+b 2-c 2) =1
2(a 2+b 2+c 2)=61
2. 答案:612
6.导学号33194040已知点O 是△ABC 的重心,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且
2a ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2√33c ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则角C 的大小是 . 解析:因为点O 是△ABC 的重心,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB
⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 又因为2a ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2√3c ·OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以2a=b=2√3c=k (k>0),从而a=k ,b=k ,c=√3k ,由余弦定理得cos C=
a 2+
b 2
-c 2
2ab
=
k 24+k 2-34k
22·k 2·k
=12,又因为C ∈(0,π),所以C=π3,所以角C 的大小是π3
.
答案:π
3 7.
导学号33194041在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan C=3√7.
(1)求cos C 的值;
(2)若CB
⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =5,且a+b=9,求c. 解(1)因为tan C=3√7,所以
sinC
cosC
=3√7, 又因为sin 2C+cos 2C=1,解得cos C=±18
, 由tan C>0知,C 为锐角,所以cos C=18
. (2)由CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =52,得ab cos C=52,即ab=20. 又因为a+b=9,则a 2+2ab+b 2=81,所以a 2+b 2=41. 由余弦定理得,c 2=a 2+b 2-2ab cos C=41-2×20×1=36,故c=6. 8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且cosB =-b
.
(1)求角B 的大小;
(2)若b=√13,a+c=4,求△ABC 的面积. 解(1)由余弦定理知,cos B=
a 2+c 2-b
2
2ac
,cos C=
a 2+
b 2
-c 2
2ab . 将上式代入cosB cosC =-b 2a+c ,得a 2+c 2-b
2
2ac
·
2ab
a 2+
b 2
-c
2
=-b
2a+c ,整理得a 2+c 2-b 2=-ac. 所以
cos B=a 2+c 2-b
2
2ac
=-ac 2ac =-1
2.
因为B 为三角形的内角,所以B=2π
3.
(2)将b=√13,a+c=4,B=2π
3代入b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即b 2=(a+c )2-2ac-2ac cos B 得,
13=16-2ac (1-1
2),所以ac=3. 所以S △ABC =1
2ac sin B=3√3
4.。