(北师大版)长春市高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测(答案解析)

一、选择题
1．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
2．某单位实行职工值夜班制度，已知,,,,5A B C D E 共名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起
,B C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几（ ）
A ．五
B ．四
C ．三
D ．二
3．设k 1111S k 1k 2k 32k
=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1
S 2k 1++
B ．()k 11
S 2k 12k 1++++ C ．()
k 11
S 2k 12k 1+
-++ D ．()k 11
S 2k 12k 1
+
-++
4．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设
“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误 D ．①的假设错误，②的假设正确 5．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( ) A ．50
B ．42
C ．-50
D ．-42
6．一位数学老师在黑板上写了三个向量(,2)a m =，(1,)b n =，(4,4)c =-，其中m ，
n 都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“a 与b 平行，且a 与c 垂
直”，乙回答：“b 与c 平行”，丙回答：“a 与c 不垂直也不平行”，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测m ，n 的值不可能为（ ） A ．3m =，2n = B ．2m =-，1n =- C ．2m =，1n =
D ．2m n ==-
7．用数学归纳法证明 11151236
n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111
313233
k k k +++++ B ．112
313233k k k +-+++ C ．
11
331
k k -++ D ．
1
33
k + 8．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的
1
3
.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面
体的高的( ) A ．
12
B ．
14
C ．
16
D ．
18
9．用反证法证明命题：“若x ，那么(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有
一个不小于
1
2
”时，反设正确的是( ) A ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 至多有两个小于12 B ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 至多有一个小于12
C ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都不小于12
D ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于
12
10．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．23 11．用数学归纳法证明“
1112n n ++++…111()24
n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )
A ．1
2(1)
k +
B ．11
2122
k k +++ C ．
111
21221
k k k +-+++ D ．
1111
212212
k k k k +--++++ 12．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ） A ．平面内的三条直线
，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线
，若
，则
.类比推出：空间中的三条向量
，若
，则
C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为
D ．若
，则复数
.类比推理：“若
，则
”
二、填空题
13．已知f (x )＝21
x
x +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____.
14．某个产品有若千零部件构成，加工时需要经过6道工序，分别记为A,?
B,C,?D,?E,?F .
其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工;有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系.若加工工序Y 必须要在工序X 完成后才能开工，则称X 为Y 的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间(单位:小时)列表如下： 工序 A
B
C
D
E
F
加工时间 3 4
2 2
2
1
紧前工序
无
C 无
C ,A B
D
现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是__________小时.（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断）.
15．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第
j 行的数记为ij a ，如3,210=a ，5,424=a .若2018ij a =，则i j +=__________．
16．现有如下假设：
所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.
下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号） ①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④工会的部分成员没有投健康保险
17．观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．
18．求“方程34155x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解”有如下解题思路：设函数()3455x x
f x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则函数()f x 在R 上单调递减，且()21f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思
路，方程()3
62
2323x x x x +=+++的解集为____________．
19．给出下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足()()21f f >，则()f x 一定不是R 上的减函数；
②用反证法证明命题“若实数,a b ，满足220a b +=，则,a b 都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设,a b 都不为0”； ③把函数sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
6
π
个单位长度，所得到的图象的函数解析式为sin2y x =；
④“0a =”是“函数()()3
2
f x x ax
x R =+∈为奇函数”的充分不必要条件.
其中所有正确命题的序号为__________．
20．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之
和为()()()()()
22222222
133223232232312213391++++⋅+⋅++⋅+⋅=++++=，
参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为__________．
三、解答题
21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 都有2
1
32
n n S n a =+
． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记*
4()n n b a n N =+∈
*1)n
n N b ++
<∈ 22．若10a >，11a ≠，121+=+n
n n
a a a （n ＝1，2，…）． （1）求证：1+≠n n a a ； （2）令11
2
a =
，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．
23．已知数列{}n a 满足关系式()10a a a =>，()1
1
22,1n n n a a n n N a --=≥∈+. （1）用a 表示2a ，3a ，4a ；
（2）根据上面的结果猜想用a 和n 表示n a 的表达式，并用数学归纳法证之. 24．观察下列等式：
11122
-
= 11111123434
-+-=+
11111111123456456-+-+-=++ ……
（1）根据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想． 25．（1）已知数列{}n a 通项公式为()
12
n n n a +=，写出数列前5项. （2）记数列3333331,2,3,4,5,,,
n 的前n 项和为n S ，写出n S 的前5项并归纳出n
S 的计算公式.
（3）选择适当的方法对（2）中归纳出的公式进行证明. 26．已知n *∈N ，(1)(2)(),n S n n n n =+++213(21)n n T n =⨯⨯⨯
⨯-.
(Ⅰ)求 123123,,,,,S S S T T T ；
(Ⅱ)猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案. 【详解】
由题意，列出树形图，如图所示
由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.
【点睛】
本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
2．B
解析：B 【解析】
分析：A 昨天值夜班，D 周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．
详解：∵A 昨天值夜班，D 周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，
若今天是周二，则周一A 值夜班，周四D 值夜班，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，
与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周三，则A 周二值夜班，D 周四值夜班，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，
与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周四，则周三A 值夜班，周四D 值夜班，周五E 值夜班，符合题意． 故今天是周四． 故答案为：B ．
点睛：（1）本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种题目，一般利用假设分析法，先逐一假设，找到矛盾，就否定这种假设.
3．C
解析：C 【解析】
分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：
()()()()
1111
1
111213
21k S k k k k +=
+++
+
+++++++
()
1111
23421k k k k =++++++++
()111111234
22121k k k k k k =++++
+++++++ ()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++ ()
11111111234
22121k k k k k k k =
+++++
+-++++++ ()
11
2121k S k k =+
-++. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k +1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．C
解析：C 【解析】
分析：利用命题的否定的定义判断即可.
详解：①2p q +≤的命题否定为2p q +>，故①的假设正确.
2x =-或2x =”的否定应是“2x ≠-且2x ≠”② 的假设错误，
所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.
点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.
5．C
解析：C 【解析】
分析：由题意结合所给数据的特征确定第九个数即可. 详解：观察所给的数列可知，数列的特征为：
121,3a a ==，()213n n n a a a n --=-≥，
则978193150a a a =-=--=-. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查数列的递推关系，学生的推理能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．D
解析：D 【解析】
分析：讨论三种情况，甲判断正确，乙、丙判断不正确；乙判断正确，甲、丙判断不正确；丙判断正确，甲、乙判断不正确，由向量平行和垂直的条件，解方程结合选项即可得
到结论.
详解：若甲判断正确，乙、丙判断不正确， 可得2mn =且480m -+=，解得2,1m n ==， 则()()()2,2,1,1,4,4a b c ===-， 可得b 与c 不平行，a 与c 垂直， 则乙、丙判断不正确符合题意； 若判断正确，甲、丙判断不正确，
可得44n -=且480m -+=且48m =-，解得2,1m n ==-或2,1m n =-=-， 则()()()2,2,1,1,4,4a b c ==-=- 或()()()2,2,1,1,4,4a b c =-=-=- 可得b 与c 不平行，a 与c 垂直， 则甲、丙判断不正确，符合题意； 若丙判断正确，甲、乙判断不正确， 可得480m -+≠且48m ≠-且44n -≠ 解得2m ≠且2m ≠-且1n ≠-，
则3,2m n ==成立；2,1m n =-=-也成立；2,1m n ==也成立.
2m n ==-，则甲乙丙判断均错.
故选D.
点睛：本题考查向量的平行和垂直的坐标表示，考查判断能力和运算能力，以及推理能力.
7．B
解析：B 【详解】
分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为
111123k k k
++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为
111111233313233
k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是
1111112
3132331313233
k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.
8．B
解析：B 【解析】
从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，
可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的
14
．
证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r ，连接球心与正四面体的四个顶点．
把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，所以4×
13S•r=13•S•h ，r=14
h ． （其中S 为正四面体一个面的面积，h 为正四面体的高） 故选B ．
点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的
1
4
，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）． 9．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意，由于反证法证明命题:“若2()f x x px q =++，那么(1)f ，
(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于1
2
”时，即将结论变为否定就是对命题的反设，因此可
知至少有一个的否定是一个也没有，或者说假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于1
2
，故选D.
考点：反证法. 10．C
解析：C
【解析】可以用归纳思想，1条弦，分圆成2个部分。

加一条弦，增加2个部分，共4部分，再加一条，增加3个部分，共7个部分，所以6条弦，共（2+2+3+4+5+6）=22个部分。

选C.
11．C
解析：C 【分析】
分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项． 【详解】 由n=k 时，左边为
111
12k k k k
+++++， 当n=k+1时，左边为
1111123
1(1)(1)
k k k k k k k k +++
++++++++++
所以增加项为两式作差得：111
21221
k k k +-+++，选C. 【点睛】
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．
12．D
解析：D 【分析】
对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案 【详解】
对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误 对于，若
，则若
，则
不正确，故错误
对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误 对于，在有理数中，由
可得，
，解得
，故正确 综上所述，故选 【点睛】
本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】先依次将前几个函数求出来观察其结构即可猜想出【详解】由题可知……可以猜想所以故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用考查数学猜想能力属于基础题
解析：()
20202020
2211
x
x -+. 【分析】
先依次将前几个函数求出来，观察其结构，即可猜想出. 【详解】 由题可知，11122()
()
1
211
x x
f x f x x x ，
22212
22
2221()()
21
31211
11
x x x x
x f x f f x f
x
x x x x ，
222
332223222
21122()()
2211
211
1
211
x x x x
f x f f x f
x
x x x ，
333
443334322
21122()()
2211
211
1
211
x x x x
f x f f x f
x
x x x ，
444
554445
4
22
21122()()
2211
211
1211
x x x x
f x f f x f
x
x x x ……
可以猜想2()
211n n n x
f x x ，
所以2020202020202()
211
x
f x x .
故答案为：()
20202020
2211
x
x -+. 【点睛】
本题考查数学归纳法的简单应用，考查数学猜想能力，属于基础题.
14．【解析】分析：由题意根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品确定好加工顺序即可得到答案详解：由题意可确定如图所示的加工顺序如图所示可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品要完成该产品的最短加工
解析：【解析】
分析：由题意，根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品，确定好加工顺序，即可得到答案.
详解：由题意，可确定如图所示的加工顺序，如图所示，可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品，要完成该产品的最短加工时间为8小时.
点睛：本题主要考查了实际应用问题，其中解答中正确理解题意，分析工艺的流程，确定好加工的顺序，得出加工顺序的图形是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.
15．72【解析】分析：先求出2018排在第几行再找出它在这一行的第几列即得
的值详解：第1行有1个偶数第2行有2个偶数第n 行有n 个偶数则前n 行共有个偶数2018在从2开始的偶数中排在第1009位所以当n=
解析：72 【解析】
分析：先求出2018排在第几行，再找出它在这一行的第几列，即得i j +的值. 详解：第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，
，第n 行有n 个偶数，则前n 行共有
(1)
1+2+3+
+2
n n n +=
个偶数，2018在从2开始的偶数中排在第1009位， 所以
(1)
1009,45.2
n n n +≥∴≥ 当n=44时，第44个偶数为44(441)
219802
+⨯=，所以第44行结束时最右边的偶数为1980,
由题得2018排在第45行的第27位，所以i j +=45+27=72. 故答案为72.
点睛：(1)本题主要考查归纳推理和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过解不等式
(1)
10092
n n +≥找到2018所在的行. 16．①②③【解析】∵所有纺织工都是工会成员所有工会成员都投了健康保险∴所有纺织工都投了健康保险故①正确；∵所有纺织工都是工会成员所有工会成员都投了健康保险部分纺织工是女工∴有些女工投了健康保险故②正确；
解析：①②③ 【解析】
∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险 ∴所有纺织工都投了健康保险，故①正确；
∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险，部分纺织工是女工 ∴有些女工投了健康保险，故②正确；
∵部分梳毛工是女工，没有一个梳毛工投了健康保险 ∴有些女工没有投健康保险，故③正确； ∵所有工会成员都投了健康保险
∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的，故④错误. 故答案为①②③.
17．1522【解析】由题意得每一行数字格式分别为它们成等差数列则前行总共有个数所以第40行最左的数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数
解析：1522 【解析】
由题意得，每一行数字格式分别为1231,3,5,
21n a a a a n ====-，
它们成等差数列，则前39行总共有13939()39(12391)
152122
a a ++⨯-==个数， 所以第40行最左的数字为1522.
点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a a d n S 知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题..
18．【解析】类比上述解题思路设f(x)=x3+x 由于f′(x)=3+1⩾0则f(x)在R 上单调递增由即()3+=(2x+3)3+2x+3∴=2x+3解之得x=−1或x=3所以方程的解集为{−13}故答案为 解析：{1,3}-
【解析】
类比上述解题思路,设f (x )=x 3+x ,由于f ′(x )=32x +1⩾
0,则f (x )在R 上单调递增， 由()3
62
2323x x x x +=+++即(2x )3+2x =(2x +3)3+2x +3，
∴2x =2x +3， 解之得，x =−1或x =3.
所以方程()3
62
2323x x x x +=+++的解集为{−1,3}.
故答案为{}1,3-.
19．①③【解析】对于①定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)则f(x)在R 上不一定是增函数但f(x)一定不是R 上的减函数；故正确对于②由于ab 全为0(ab ∈R)的否定为：ab 至少有一个不为0故不
解析：①③. 【解析】
对于①定义在R 上的函数f (x )满足f (2)>f (1),则f (x )在R 上不一定是增函数,但f (x )一定不是R 上的减函数；故正确
对于②由于“a 、b 全为0(a 、b ∈R )”的否定为：“a 、b 至少有一个不为0”，故不正确；
对于③把函数2236y sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象的函数解析式为y =sin2x ，故正确，
对于④函数()()3
2
f x x ax
x R =+∈为奇函数⇔
f (−x )+f (x )=0⇔2a 2x =0,∀x ∈R ,2a 2x =0⇔a =0.因此“a =0”是“函数()()32
f x x ax x R =+∈为奇函数”的充要条件，故不正确，
故答案为①③．
20．【解析】试题分析：类比的所有正约数之和的方法有：的所有正约数之和可按如下方法得到：因为所以的所有正约数之和为所以的所有正约数之和为故应填考点：1合情推理
解析：465． 【解析】
试题分析：类比36的所有正约数之和的方法有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为3220025=⨯，所以200的所有正约数之和为
232(1222)(155)465+++++=，所以200的所有正约数之和为465，故应填465．
考点：1、合情推理．
三、解答题
21．（1）6n a n =；（2）证明见解析. 【分析】
（1）由2
132n n S n a =+
，可得2111
3(1)2
n n S n a ++=++，两式相减得1126n n a a n ++=+，故有()211216n n a a n +++=++，两式相减可得212n n a a +-=.故
{}n a 中奇数项，偶数项分别成公差是12的等差数列，分别取出通项公式，可得n a ；
（2）求出n b .法一：
==<=，可证不等式成立.
法二：利用数学归纳法(结合分析法、放缩法等)证明. 【详解】 （1）
2132n n S n a =+，2111
3(1)2
n n S n a ++∴=++，1126n n a a n +∴+=+，
()211216n n a a n ++∴+=++，两式相减可得212n n a a +-=. {}n a ∴中奇数项，偶数项分别成公差是12的等差数列.
21
32
n n S n a =+中,
令n =1,得16a =, 令2n =可得：2221
1212
,2S a a ∴=+
=. ()()211121126621k a a k k k -∴=+-=-=⨯-，
()221211262k a a k k k =+-==⨯，
综上所述可得6n a n =. （2）法一：
64n b n =+.
1
3n b ==<=，
12
[(52)(85)(3231)]
3
n
n n
b
++
<-+-+++-
-
=<
法二：数学归纳法(结合分析法、放缩法等)
证明：①当n=1时
,左边
==，右边
所以不等式成立.
②假设当()
n k k N*
=∈时,
1
k
b
+<
则当n=k+1时
1
1
k
b
+
++<
<
3
<,
<=
.
1
610
k
=<
+
是成立的,
所以n=k+1时,不等式成立.
根据①②知原不等式对于任意n*
∈N成立.
【点睛】
本题考查求数列的通项公式，考查利用数学归纳法证明不等式，属于中档题.
22．（1）证明见解析（2）2345
24816
35917
a a a a
====
，，，，猜想：a n
1
1
2
21
n
n
-
-
=
+
，证明见解析
【分析】
（1利用反证法假设
1
n n
a a
+
=，代入1
2
1
+
=
+
n
n
n
a
a
a进而得出此数列是
0或1的常数列，与1
a>，
1
1
a≠矛盾，所以假设错误；
（2）由
1
1
2
a=在通过递推公式直接写出
2
a，
3
a，
4
a，
5
a的值，猜想出
1
1
2
21
-
-
=
+
n
n n
a，再用数学归纳法进行证明．
【详解】
（1）证明：假设1n n a a +=，又a n +121n
n
a a =+，解得a n ＝0或a n ＝1， 从而1210-==
===n n a a a a 或1211-=====n n a a a a ，这与题设10a >或11a ≠
相矛盾，所以1n n a a +=不成立．故1+≠n n a a 成立． （2）由题意得12345124816235917
a a a a a =
====，，，，， 由此猜想：1
1221
--=+n n n a ．
①当n ＝1时，a 10021
212==+，猜想成立，
②假设n ＝k 时，1
1221
--+=k k k a 成立，
当n ＝k +1时，()()1
111
11
111
2222221212121121
-+--+-+--⨯+====+++++k k k k k k k k k k k a a a ， 所以当n ＝k +1时，猜想也成立，
由①②可知，对一切正整数，都有a n 1
1221
n n --=+成立．
【点睛】
本题主要考查数列的递推公式的应用以及数学归纳法证明命题的运用．
23．（1）221a a a =+，3413a a a =+，4817a
a a
=+（2）猜想：()112121n n n a a a --=+-，证明
见解析 【分析】
（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明 【详解】
解：（1）1a a =，∴221a a a =
+，3413a a a =+，4817a
a a
=+； （2）猜想：()112121n n n a
a a
--=
+-. 证明：当1n =时，结论显然成立；
假设n k =时结论成立，即()112121k k k a
a a
--=+-，
则1n k =+时，()()()1111122121221211121k k k k k k
k a a a a a
a
a
--+--⋅
+-=
=+-+
+-，即1n k =+时结论成立. 综上，对*n N ∈时结论成立. 【点睛】
本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题 24．（1）111111111234212122n n n n n
-+-+⋯+-=++⋯+-++；（2）证明见解析. 【分析】
（1）根据给出等式的规律，直接写出一般结论；
（2）利用数学归纳法证明猜想的结论，递推部分利用n k =时的结论来推导证明当
1n k =+时，等式仍然成立.
【详解】 （1）111111111234212122n n n n n
-
+-+⋯+-=++⋯+-++． （2）证明：①当1n =时，左边11122
=-=，右边1
2=，左边=右边
∴当1n =时，等式成立； ②假设当n k =时等式成立，即
11111111
1234212122k k k k k
-
+-+⋯+-=++⋯+-++ 则当1n k =+时 左边1111111
12342122122
k k k k =-
+-++-+--++ (111111222122)
k k k k k =
++⋯++-++++ 111112321122k k k k k ⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭ (1111)
232122
k k k k =
++++=++++…右边 ∴当1n k =+时，等式也成立
由①②可知，对一切n *∈N ，等式都成立． 【点睛】
本题主要考查了归纳推理和数学归纳法，考查了学生逻辑推理与运算求解能力. 25．（1）11a =，23a =，36a =，410a =，515a =；（2）11S =，29S =，
336S =，4100S =，5225S =，()2
2
14
n
n n S +=；（3）证明见解析.
【分析】
（1）根据通项公式直接计算前5项即可. （2）首先计算n S 的前5项，再归纳n S 即可.
（3）首先验证1n =时等式成立，假设n k =时，等式成立，再证明1n k =+时等式也成立即可证明. 【详解】
（1）11a =，23a =，36a =，410a =，515a =.
（2）11S =，3
2129S =+=，3
39336S =+=，3
4364100S =+=，
3
51005225S =+=，故()2
214
n n n S +=
（3）当1n =时，1n S =，显然等式成立.
假设n k =时，等式成立，即有()2
214
k
k k S +=， 则当1n k =+时有：()()()2
23
3
11114
k k
k k S S k k ++=++=++ ()()()()()()2
2
2
2
22
11112114 44k k k k k k k +++++⎡⎤=+++==
⎥⎣⎡⎤⎣⎦⎢⎦
所以当1n k =+时，等式也成立. 故原等式成立，归纳公式正确. 【点睛】
本题主要考查数学归纳法的证明，同时考查了数列的通项公式，属于中档题. 26．(Ⅰ) 1122332,12,120S T S T S T ======; (Ⅱ)详见解析. 【分析】
(Ⅰ)由题意可求得1122332,12,120S T S T S T ======；
(Ⅱ)结合(I)的结论猜想n n S T =（*n N ∈），然后用数学归纳法进行证明即可. 【详解】
(Ⅰ)1122332,12,120S T S T S T ======； (Ⅱ)猜想：n n S T =（*n N ∈） 证明：(1)当1n =时，11S T =；
（2）假设当()
*
1n k k k N =≥∈且时，k k S T =，
即()()()()1221321k k k k k k +++=⨯⨯⨯-，
则当1n k =+时
()()()()111)1211111k S k k k k k k k k （+=
++++++-+++++
=()()()()()2322122k k k k k ++++
=
()()()2132121221
k k k k k ⨯⨯⨯
-⨯
+++
=()()1
12132121k k k k T ++⨯⨯⨯
-+=.
即1n k =+时也成立,
由（1）（2）可知*n N ∈，n n S T =成立。