2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1503)

上杭县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22
ABC AA BC BAC π
=∠=，，,
此三棱
柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）
A ．
323π B ．16π C.253π
D ．312
π
2． 函数f （x ）=，则f （﹣1）的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10
4． 函数f （x ）=Asin （ωx+θ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （
）的值为
（ ）
A ．
B ．0
C ．
D ．
5． 点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则的
取值范围是（ ）
A ．[﹣1，﹣]
B ．[﹣，﹣]
C ．[﹣1，0]
D ．[﹣，0]
6． 在
中，、、分别为角
、
、
所对的边，若，则此三
角形的形状一定是（ ） A ．等腰直角 B ．等腰或直角 C ．等腰
D ．直角
7． 函数2
-21y x x =-，[0,3]x ∈的值域为（ ） A. B. C. D.
8．已知
2,0
()
2,0
ax x x
f x
x x
⎧+>
=⎨
-≤
⎩
，若不等式(2)()
f x f x
-≥对一切x R
∈恒成立，则a的
最大值为（）
A．
7
16
-B．
9
16
-C．
1
2
-D．
1
4
-
9．已知函数f（x）=3cos（2x﹣），则下列结论正确的是（）
A．导函数为
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数
D．函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度得到
10．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）
A．2 B．C．D．3
11．已知向量=（1，），=（，x）共线，则实数x的值为（）
A．1 B．C．tan35°D．tan35°
12．函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2.3）D．（3，4）
二、填空题
13．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为．
14．当a＞0，a≠1时，函数f（x）=log a（x﹣1）+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣y+n=0上，则4m+2n的最小值是．
15．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，
记，则S的最小值是．
16．（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．
17．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号．（写出所有真命题的序号）．
①设A，B为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；
②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；
③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．
18．已知是等差数列，为其公差, 是其前项和，若只有是中的最小项,
则可得出的结论中所有正确的序号是___________
①②③④⑤
三、解答题
19．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示；
（1）求ω，φ；
（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g
（x）图象的一个对称点为（，0），求θ的最小值．
（3）对任意的x∈[，]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．
20．（本小题满分12分）
数列{}n b 满足：122n n b b +=+，1n n n b a a +=-，且122,4a a ==. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前项和n S .
21．（本题12分）
正项数列{}n a 满足2
(21)20n n a n a n ---=．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1
(1)n n
b n a =+，求数列{}n b 的前项和为n T .
22．我市某校某数学老师这学期分别用m ，n 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．
（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？
（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
下面临界值表仅供参考：
P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）
23．数列{a n}满足a1=，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{tan2a n}是等差数列，并求数列{tan2a n}的前n项和；
（Ⅱ）求正整数m，使得11sina1•sina2•…•sina m=1．
24．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ； （2）设1
(1)
n n a b n =
+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，若不等式n S t <对于任意的*n ∈N 恒
成立，求实数t 的取值范围．
上杭县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考
答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】
考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
2．【答案】A
【解析】解：由题意可得f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=log22=1
故选：A
【点评】本题考查分度函数求值，涉及对数的运算，属基础题．
3．【答案】B
【解析】
考点：球与几何体
4．【答案】C
【解析】解：由图象可得A=，=﹣（﹣），解得T=π，ω==2．
再由五点法作图可得2×（﹣）+θ=﹣π，解得：θ=﹣，
故f（x）=sin（2x﹣），
故f（）=sin（﹣）=sin=，
故选：C．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+θ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．5．【答案】D
【解析】解：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系．
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1．
∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），=（﹣x，1﹣y，0），
∴=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0=x2﹣x+y2﹣y=+﹣，
由二次函数的性质可得，当x=y=时，取得最小值为﹣；
故当x=0或1，且y=0或1时，取得最大值为0，
则的取值范围是[﹣，0]，
故选D．
【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．
6． 【答案】B
【解析】 因为，所以由余弦定理得
，
即
，所以
或
，
即此三角形为等腰三角形或直角三角形，故选B
答案：B
7． 【答案】A 【解析】
试题分析：函数()2
2
2112y x x x =--=--在区间[]0,1上递减，在区间[]1,3上递增，
所以当x=1时，()()min 12f x f ==-，当x=3时，()()max 32f x f ==，所以值域为
[]2,2-。

故选A 。

考点：二次函数的图象及性质。

8． 【答案】C
【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．
当0a >（如图1）、0a =（如图2）时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与函数2
y ax x =+图象相切时，9
16
a =-
，切点横坐标为83，函数
2y ax x =+图象经过点(2,0)时，12a =-，观察图象可得1
2
a ≤-，选C ．
9．【答案】B
【解析】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣）•2=﹣6sin（2x﹣），A错误；对于B，当x=时，f（）=3cos（2×﹣）=﹣3取得最小值，
所以函数f（x）的图象关于直线对称，B正确；
对于C，当x∈（﹣，）时，2x﹣∈（﹣，），
函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；
对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度，
得到函数y=3co s2（x﹣）=3co s（2x﹣）的图象，
这不是函数f（x）的图象，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
10．【答案】C
解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．
则体积为=，解得x=．
故选：C．
11．【答案】B
【解析】解：∵向量=（1，），=（，x）共线，
∴x====，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题．
12．【答案】A
【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，
∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．
故选A
【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】3．
【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），
故三角形的面积S=×2×3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．
14．【答案】2．
【解析】解：整理函数解析式得f（x）﹣1=log a（x﹣1），故可知函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），
故2m+n=1．
∴4m
+2n≥2=2=2．
当且仅当4m=2n，即2m=n，
即n=，m=时取等号．
∴4m
+2n的最小值为2．
故答案为：2
15．【答案】．
【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：
S==，（0＜x＜1）
令3﹣x=t，t∈（2，3），
∴S===，当且仅当
t=即t=2时等号成立；
故答案为：．
16．【答案】﹣160
【解析】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r•x6﹣2r，
令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8=﹣160，
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
17．【答案】②③．
【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．
②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．
③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．
④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．
故正确的命题为②③．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．
18．【答案】①②③④
【解析】
因为只有是中的最小项，所以，，所以，故①②③正
确;
，故④正确;
，无法判断符号，故⑤错误，
故正确答案①②③④
答案：①②③④
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0
，﹣＜φ
＜）的
部分图象，可得
•
=，
求得ω=2．
再根据五点法作图可得2
•+φ
=，求得φ=
﹣，∴f（x）=2sin（2x
﹣）．
（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）=2sin=2sin（2x+2θ
﹣）的图象，
∵y=g（x
）图象的一个对称点为（，0），∴2
•+2θ
﹣=kπ，k∈Z，
∴θ
=
﹣，故θ
的最小正值为．
（3）对任意的x∈
[，]时，2x
﹣∈
[，]，sin（2x
﹣）∈，即f（x）∈，
∵方程f（x）=m有两个不等根，结合函数f（x），x∈
[
，]时的图象可得，1≤m＜2．
20．【答案】（1）1
22
n
n
b+
=-；（2）22
2(4)
n
n
S n n
+
=-++．
【解析】
试题分析：（1）已知递推公式
1
22
n n
b b
+
=+，求通项公式，一般把它进行变形构造出一
个等比数列，由等比数列的通项公式可得
n
b，变形形式为
1
2()
n n
b x b x
+
+=+；（2）由
（1）可知
1
22(2)
n
n n n
a a
b n
-
-==-≥，这是数列{}
n
a的后项与前项的差，要求通项公
式可用累加法，即由
112
()()
n n n n n
a a a a a
---
=-+-
+
211
()
a a a
+-+求得．
试题解析：（1）
11
2222(2)
n n n n
b b b b
++
=+⇒+=+，∵1
2
2
2
n
n
b
b
+
+
=
+
，
又121224b a a +=-+=，
∴23
12(21)
(2222)22222221
n
n n n a n n n +-=+++
+-+=
-+=--.
∴224(12)(22)
2(4)122
n n n n n S n n +-+=
-=-++-. 考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式． 21．【答案】（1）n a n 2=；（2）=
n T )
1(2+n n
.
考点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和． 22．【答案】
【解析】
【专题】综合题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论；
（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据成绩不低于85分的为优秀，可得2×2列联表，计算K2，从而与临界值比较，即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉
（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==┉┉┉┉┉┉
则随机变量ξ的分布列为
ξ0 1 2
P
数学期望Eξ=0×+1×+2×=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉
（Ⅲ）2×2列联表为
甲班乙班合计
优秀 3 10 13
不优秀17 10 27
合计20 20 40
┉┉┉┉┉
K2=≈5.584＞5.024
因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．┉┉【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．23．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．
故tan2a n+1==1+tan2a n，
∴数列{tan2a n}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．
∴=．
∴数列{tan2a n}的前n项和=+=．
（Ⅱ）解：∵cosa n＞0，∴tana n+1＞0，．
∴tana n=，，
∴sina1•sina2•…•sina m=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tana m•cosa m）
=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）
=（tana1•cosa m）==，
由，得m=40．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查等差数列通项与前n项和、数列求和、不等式性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及方程思想与裂项法的应用．。