(整理)导数的变化率教案

临清三中高二年级教学案
编号：1 编者：张慧时间：2013.02.25 课题 3.1.1变化率问题
教材分析本节课的主要知识内容是平均变化率
教学目标
会求平均变化率
教学重点求平均变化率
平均变化率的几何意义
教学难点
一、预习认知：
1.预习课本3.1.1
2.气球的平均膨胀率计算公式：
3.高台跳水运动员的平均速度计算公式：
4.平均变化率概念及公式：
二、展示新知：
1.提问两个变化率公式：
2.板书展示平均变化率概念及公式：
三、讨论质疑：
四、教师精讲：
平均变化率概念:
上述问题中的变化率可用式子 ______________表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率．．．．．，平均变化率为：
=∆∆=∆∆x
f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212. 思考：观察函数f (x )的图象，平均变化率：
=∆∆x
f 1212)()(x x x f x f --表示什么?
典例分析
例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆x
y ．
例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率．
五、训练巩固：
1.质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
六、小结提升：
1.平均变化率的概念;
2．函数在某点处附近的平均变化率.
七、达标检测：
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( )
A ．大于零
B ．小于零
C ．等于零
D ．不等于零 [答案] D
[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选D.
2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )
A ．f (x 0＋Δx )
B ．f (x 0)＋Δx
C ．f (x 0)·Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D
[解析] 由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D.
3．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( )
A ．3
B ．0.29
C ．2.09
D ．2.9 [答案] D
[解析] f (－1)＝－(－1)2
＋(－1)＝－2. f (－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
∴平均变化率为f (－0.9)－f (－1)－0.9－(－1)
＝－1.71－(－2)
0.1＝2.9，故应选D. 4．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( )
A ．2
B ．2.3
C ．2.09
D ．2.1 [答案] B
[解析] f (1)＝5，f (1.3)＝5.69.
∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－5
0.3
＝2.3，故应选B. 5．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( )
A ．2－Δx
B ．－2－Δx
C ．2＋Δx
D ．(Δx )2－2·Δx [答案] B
[解析] ∵f (2)＝－22＋2×2＝0，
∴f (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )
＝－2Δx －(Δx )2，
∴f (2＋Δx )－f (2)2＋Δx －2
＝－2－Δx ，故应选B. 6．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx
等于( ) A ．2
B ．2x
C ．2＋Δx
D ．2＋(Δx )2 [答案] C
[解析] Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx
＝[(1＋Δx )2＋1]－2Δx
＝2＋Δx .故应选C. 7．质点运动规律S (t )＝t 2
＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A ．6.3
B ．36.3
C ．3.3
D ．9.3 [答案] A
[解析] S (3)＝12，S (3.3)＝13.89，
∴平均速度v ＝S (3.3)－S (3)3.3－3＝1.89
0.3＝6.3，故应选A.
8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x
中，平均变化率最大的是( )
A ．④
B ．③
C ．②
D ．① [答案] B
[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变
化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x
在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013
.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B. 9．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )
A ．v 0
B.Δt s (t 0＋Δt )－s (t 0)
C.s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt
D.s (t )t
[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.
10．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋Δx ，14(Δx )2 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫Δx ，14(Δx )2
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14(1＋Δx )2 [答案] C
[解析] 点Q 的横坐标应为1＋Δx ，所以其纵坐标为f (1＋Δx )＝14
(Δx ＋1)2，故应选C. 二、填空题
11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx
＝________. [答案] (Δx )2＋6Δx ＋12
[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)Δx
＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx Δx
＝(Δx )2＋6Δx ＋12.
12．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x
的平均变化率为________． [答案] －29
[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx ＝－29
. 13．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12
时的平均变化率为________． [答案]
6－2
[解析] Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1
＝6－2. 14．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是
________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________．
[答案] 5 4.1
[解析] 当Δx ＝1时，割线AB 的斜率
k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－22
1
＝5.
当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率
k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1. 作业：
1．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率．
[解析] 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为
f (－1)－f (－3)－1－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]
2
＝2.
函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为 f (5)－f (0)
5－0＝2.
函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为
g (－1)－g (－3)
－1－(－3)＝－2.
函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为
g (5)－g (0)
5－0＝－2.
2．过曲线f (x )＝2x 2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，求出当Δx ＝14
时割线的斜率．
[解析] 割线AB 的斜率k ＝(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝Δy Δx
＝2
(1＋Δx )2－2Δx ＝－2(Δx ＋2)(1＋Δx )2＝－7225
.
3．求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？
[解析] 在x ＝2附近的平均变化率为
k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx
＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为
k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22
Δx
＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为
k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32
Δx
＝6＋Δx . 对任意Δx 有，k 1＜k 2＜k 3，
∴在x ＝3附近的平均变化率最大．。