第十届数学类高年级组决赛

一、填空题（本题满分 20 分，每小题 5 分）
1.设 A 为实对称方阵，.1; 0; 1/ 和 .1; 2; 0/ 构成共行向量的一个极大无关组. 则有 A=
.
2.设
y.x/
2
C
1Œ0;
1
满足
x
D
8 <
sin
y :
y .x/ ;
.x/ 1;
y 2 (0,
] . 则 y0.0/=
yD0
.
3.设 f .x/ D ż C1 e t2dt ，则 ż C1 xf .x/dx=
D
!
N .0;
1/，其中
Var
.Sn/
是表示
Sn
的方差，
D
!
表示以分布收敛.
考试科目：数学类决赛
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的方程
( x2 ax2 C x2a C ax2a D 1
x C a .ax C xa/ C axa D 1
考试科目：数学类决赛
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在 R 中有解. 证明：ab DG D f.x; f .x//I x 2 Rg 是 2-维 Lebesgue 零测 集.
1.求动直线全体构成的曲面 S 的方程； 2.确定 S 是什么曲面.
三、(本题满分 15 分) 证明：任意 n 阶实方阵 A 可以分解成 A D A0 CA1 CA2，其中 A0 D aIn， a 是实数，A1 与 A2 都是幂零方阵.
四、(本题满分 20 分) 设 进一步存在常数 C >
˛ 0
>使得0; fˇˇx.x˛/f20.xC/1ˇˇŒ⩽0;
点。
十、(本题满分 10 分) 设独立随机变量序列 fXn; n ⩾ 1g. 满足 P Xn
是常数。记 Sn D Xi .
Xn
D
Á ˙nÂ
D
1 ，其中 2
Â
>
0
i D1
Â
Ã
(1) 当 Â > 1 时，证明 Sn 依概率收敛于 0，即对任意 > 0， lim P jSnj ⩾
2
n
n!1
n
D 0.
(2) 证明：p Sn Var .Sn/
七、(本题满分 10 分) 在空间直角坐标系中设椭圆抛物面 S 的方程为
Â
Ã
.u; v/ D
u;
v;
u2
C
1 v2 2
; .u; v/ 2 R2
(i) 求 S 的所有脐点 (ii) 设 为与脐点处切平面平行的平面，它截 S 于曲线 C ，证明 C 是一个圆周.
八、(本题满分 10 分) 设 ı W a D x0 < x1 < : : : < xn < b 是区间 Œa; b 的一个剖分。用 S Œa; b 表示满足下列条件的分片实系数多项式全体构成的集合：对任意 s.x/ 2 SŒa; b.
1，且对任何非负整数，n; f C jf .x/j.8x 2 Œ0; 1/. 证明：
n.0/
均存在且为零.
（1）若 ˛ D 1，则在 Œ0; 1 上 f .x/ Á 0.
(2) 若 ˛ > 1，举例说明在 Œ0; 1 上 f .x/ Á 0 可以不成立.
五、(本题满分 10 分) 设 .R; C; / 为含 1 ¤ 0 的结合环，a; b 2 R. 若 a C b D ba，且关于 x
.
x
0
4.设 U 为 8 阶实正交方阵，U 中元素皆为
1 p
子矩阵的个数记为 t. 则 t 最多为
.
22
二、(本题满分 15 分) 给定空间直角坐标系中的两条直线：l1 为 z 轴，l2 过 . 1; 0; 0/ 及 .0; 1; 1/ 两点. 动直线 l 分别与 l1; l2 共面，且与平面 z D 0 平行.
第十届全国大学生数学竞赛决赛试题
(数学类高年级组，2019 年 3 月 30 日)
科目名称：数学竞赛
： 1. 本试卷满分为 120 分，全部考试时间总计 180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效；
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1.s .x/jŒxi ;xiC1 是三次多项式，i D 0; 1; 2.s.x/ 在区间 Œa; b 上二阶连续可导.
; n 1.
九、(本题满分 10 分) 设 z0 是复函数 w D f .z/ 的 n 阶极点. 试证明：一定存在 > 0 及
R > 0，使得对任意 w 2 fw 2 C W jwj > R，函数 f .z/ w 在 jz z0j < 中必有 n 个零