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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知成等比数列，且．若，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.
详解：令则，令得，所以当时，，当
时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
2．函数y=sin2x的图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
3．已知，，，则a，b，c的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然
后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
4．已知，则的大小关系为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.
详解：由题意可知：，即，，即，
，即，综上可得：.本题选择D 选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
5．设函数，则满足
的x 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有
成立，一定会有
，从而求得结果.
详解：将函数
的图像画出来，观察图像可知会有
，解得
，所以满足
的x 的取值范围是
，故选D .
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
6．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
7．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其
转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
8．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
9．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
10．函数的图像大致为()
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
11．已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】满足题意时的图象恒不在函数下方，
当时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；
当时，函数图象如图所示，排除B 选项，
本题选择A 选项.
12．已知函数()()
211
2x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a=
A ． 12-
B ． 13
C ． 1
2
D ． 1 【答案】C
【解析】函数()f x 的零点满足()
211
2e e x x x x a --+-=-+，
设()1
1
e
e
x x g x --+=+，则()()211
1
1
1
1
1e 1
e
e
e
e e x x x x x x g x ---+----=-=-
=
'， 当()0g x '=时， 1x =；当1x <时， ()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时， ()0g x '>，函数()g x 单调递增，
当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.
设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-， 若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；
若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得1
2
a =
.故选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法： （1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
13．已知函数，则
A ． 是奇函数，且在R 上是增函数
B ． 是偶函数，且在R 上是增函数
C ． 是奇函数，且在R 上是减函数
D ． 是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】
分析：讨论函数的性质，可得答案.
详解：函数的定义域为，且
即函数
是奇函数，
又在都是单调递增函数，故函数 在R 上是增函数。

故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题. 14．当0<x≤
1
2
时，4x<logax ，则a 的取值范围是
A ． (0， 2)
B ． (2
，1) C ． (1， D ． 2)
【答案】B 【解析】当
时，显然不成立.若时
当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和
性质可知，要使
在时恒成立，则有，如图选B.
视频
15．已知函数()lg f x x =.若a b ≠且， ()()f a f b =，则a b +的取值范围是 （ ） A ． ()1,+∞ B ． [)1,+∞ C ． ()2,+∞ D ． [
)2,+∞ 【答案】C
【解析】解：因为函数()lg f x x =，且由()()lg lg 1f a f b a b ab =⇔-=⇔=，（假
设a<b ，）因此a+b ≥但是等号取不到，因此选C
视频
16．函数()()y y f x f x ==，
的导函数的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可
能是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()'f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间． 17．若函数
在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则
的值（ ）
A ． 与a 有关，且与b 有关
B ． 与a 有关，但与b 无关
C ． 与a 无关，且与b 无关
D ． 与a 无关，但与b 有关 【答案】B 【解析】
因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B ．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
18．（2017新课标全国Ⅰ理科）设x 、y 、z 为正数，且，则
A ． 2x<3y<5z
B ． 5z<2x<3y
C ． 3y<5z<2x
D ． 3y<2x<5z 【答案】D 【解析】令
，则，，
∴，则，
，则，故选D.
点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的
，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算
中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.
19．已知函数
，则
A ． 在（0，2）单调递增
B ． 在（0，2）单调递减
C ．
的图像关于直线x=1对称 D ．
的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】由题意知，，所以
的图象关于直线
对称，故C 正确，D 错误；又（
），由复合函数的单调性可知
在
上单调
递增，在
上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．
【名师点睛】如果函数
，
，满足
，恒有
，那么函数的图象
有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数
的图象有对称中心．
20．函数sin21cos x
y x
=
-的部分图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由题意知，函数sin21cos x
y x =
-为奇函数，故排除B ；当πx =时， 0y =，
故排除D ；当1x =时， sin2
01cos2
y =
>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
21．函数f(x)的定义域为R ，f(－1)＝2，对任意x ∈R ，f′(x)>2.则f(x)>2x ＋4的解集为( ) A ． (－1,1) B ． (－1，＋∞) C ． (－∞，－1) D ． (－∞，＋∞) 【答案】B
【解析】试题分析：依题意可设()()24g x f x x =--，所以()()''20g x f x =->.所以函数()g x 在R 上单调递增又因为()()11240g f -=-+-=.所以要使()()240g x f x x =-->，只需要1x >-.故选B. 考点：1.函数的求导.2.函数的单调性.3构建新的函数的思想.
视频
22．函数()
f x =的定义域是（ ） A ． (]3,0- B ． (]3,1- C ． ()(],33,0-∞-⋃- D ． ()(]
,33,1-∞-⋃- 【答案】A
【解析】由题意得120
{ 30
x x -≥+>，所以30.x -<≤
【考点定位】本题考查函数的定义域的求法，考查数形结合思想和运算能力. 根据函数解析式确定函数的定义域，往往涉及到被开放数非负、分母不能为零，真数为正等多种特殊情形，然后通过交集运算确定.
23．已知 1.2
2a =， 0.8
12b -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
， 52log 2c =，则a, b, c 的大小关系为（ ）
A ． c b a <<
B ． c a b <<
C ． b a c <<
D ． b c a << 【答案】A
【解析】试题分析：因为0.8
0.8122b -⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
，所以由指数函数的性质可得
0,8 1.2122b a <=<=， 552log 2log 41c ==<，因此c b a <<,故选A.
考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.
【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.
视频
二、解答题
24．（题文）已知函数．
（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；
（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】
分析: （Ⅰ）先求导数，根据条件解得x1，x2关系，再化简f(x1)+f(x2)为，利用基本不等式求得取值范围，最后根据函数单调性证明不等式，（Ⅱ）一方面利用
零点存在定理证明函数有零点，另一方面，利用导数证明函数在上单调递减，即至多一个零点.两者综合即得结论.
详解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数，
由得，
因为，所以．
由基本不等式得．
因为，所以．
由题意得．
设，
则，
所以
所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，
故，
即．
（Ⅱ）令m=，n=，则
f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，
f（n）–kn–a<≤<0，
所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，
所以，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点．
由f（x）=kx+a得．
设h（x）=，
则h′（x）=，
其中g（x）=．
由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，
故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，
所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根．
综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，
或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 25．已知函数()x
f x a =， ()lo
g a g x x =，其中a>1.
（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；
（II ）若曲线()y f x =在点()()
11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()
22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln a
x g x a
+=-
； （III ）证明当1e
a e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线.
【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.
【解析】分析：（I ）由题意可得()x
h x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.据此可得
函数()h x 的单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.
（II ）曲线()y f x =在点()()
11,x f x 处的切线斜率为1x
a lna .曲线()y g x =在点
()()2
2
,x g x 处的切线斜率为2
1x lna
.原问题等价于()1
2
2
1x x a lna =.两边取对数可得
()122lnlna
x g x lna
+=-
. （III ）由题意可得两条切线方程分别为l 1： ()111x
x
y a a lna x x -=⋅-.l 2：
()2221
a y log x x x x lna
-=⋅-.则原问题等价于当1
e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，
()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.转化为当1
e
a e ≥时，关于x 1的方程
1111120x x lnlna a x a lna x lna lna
-++
+=存在实数解，构造函数，令()12x x lnlna
u x a xa lna x lna lna =-+++，结合函数的性质可知存在唯一的x 0，且x 0>0，
使得()00u x '=，据此可证得存在实数t ，使得()0u t <，则题中的结论成立. 详解：（I ）由已知， ()x
h x a xlna =-，有()x
h x a lna lna ='-.
令()0h x '=，解得x =0.
由a >1，可知当x 变化时， ()h x '， ()h x 的变化情况如下表：
所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.
（II ）由()x f x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()
11,x f x 处的切线斜率为1x
a lna .
由()1g x xlna =
'，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna
. 因为这两条切线平行，故有121x a lna x lna
=
，即()1221x
x a lna =. 两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlna
x g x lna
+=-
. （III ）曲线()y f x =在点()
11,x
x a 处的切线l 1： ()111x x
y a a lna x x -=⋅-.
曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2： ()2221
a y log x x x x lna
-=
⋅-. 要证明当1e
a e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线，
只需证明当1e
a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞， ()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.
即只需证明当1e a e ≥时，方程组1112121
{
1
x x x a a lna x lna
a x a lna log x lna
=
-=-
①②有解，
由①得()
122
1x x a lna =
，代入②，得1111120x x
lnlna a x a lna x lna lna
-++
+=. ③ 因此，只需证明当1e
a e ≥时，关于x 1的方程③存在实数解.
设函数()12x x
lnlna u x a xa lna x lna lna
=-++
+， 即要证明当1
e
a e ≥时，函数()y u x =存在零点.
()()2
1x u x lna xa '=-，可知(),0x ∈-∞时， ()0u x '>；
()0,x ∈+∞时， ()u x '单调递减，
又()010u '=>， ()()1
2
110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦
， 故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，即()0
2
010x lna x a
-=.
由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.
()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .
因为1
e
a e ≥，故()1ln lna ≥-， 所
以
()()
000000201212220x x lnlna lnlna lnlna u x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-++
+=++≥≥.
下面证明存在实数t ，使得()0u t <. 由（I ）可得1x a xlna ≥+， 当1
x lna
>
时， 有()()()1211lnlna u x xlna xlna x lna lna
≤+-++
+ ()2
2121lnlna
lna x x lna lna
=-+++
+， 所以存在实数t ，使得()0u t <
因此，当1e
a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，使得()10u x =.
所以，当1
e a e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y
f x =的切线，也是曲线()y
g x =的切线.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 26．（2018年天津卷文）设函数
，其中
,且
是公差
为的等差数列.
（I）若求曲线在点处的切线方程；
（II）若，求的极值；
（III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围.【答案】(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ)极大值为6；极小值为−6；(Ⅲ)
【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得f(x)=x3−x，=3x2−1，结合f(0)=0，=−1，可得切线方程为x+y=0.
（Ⅱ）由已知可得：f(x)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t23+9t2.则= 3x2−6t2x+3t22−9.令=0，解
得x= t2−，或x= t2+.据此可得函数f(x)的极大值为f(t2−)=6；函数极小值为
f(t2+)=−6.
（III）原问题等价于关于x的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u= x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0.设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6，则y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x)的性质可得的取值范围是
详解：（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故=3x2−1，因此f(0)=0，=−1，
又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0)，故所求切线方程为x+y=0．
（Ⅱ）由已知可得
f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2．
故=3x2−6t2x+3t22−9．令=0，解得x=t2−，或x=t2+．
当x变化时，，f(x)的变化如下表：
))，
所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6；函数f(x)的极小值为
f(t2+)=()3−9×()=−6．
（Ⅲ）曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程
(x−t2+d)(x−t2)(x−t2−d)+(x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u=x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0．
设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点．
=3x3+(1−d2)．
当d2≤1时，≥0，这时在R上单调递增，不合题意．
当d2>1时，=0，解得x1=，x2=．
易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增．
g(x)的极大值g(x1)=g()=>0．
g(x)的极小值g(x2)=g()=−．
若g(x2)≥0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意．
若即，也就是，此时，且
，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意．
所以，的取值范围是．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活
中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
27．设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
【答案】(1) 1 (2)（，）
【解析】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．详解：解：（Ⅰ）因为=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］e x+［ax2–（4a+1）x+4a+3］e x（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］e x．
f′(1)=(1–a)e．
由题设知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］e x=（ax–1）(x–2)e x．
若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；
当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．
所以f (x)<0在x=2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，
所以f ′(x)>0．
所以2不是f (x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（，+∞）．
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
28．设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）
对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.
详解：
解：（Ⅰ）因为，
所以.
，
由题设知，即，解得.
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.
若a>1，则当时，；
当时，.
所以在x=1处取得极小值.
若，则当时，，
所以.
所以1不是的极小值点.
综上可知，a的取值范围是.
方法二：.
（1）当a=0时，令得x=1.
随x的变化情况如下表：
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令得.
①当，即a=1时，，
∴在上单调递增，
∴无极值，不合题意.
②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：
∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
（3）当a<0时，令得.
随x的变化情况如下表：
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
综上所述，a的取值范围为.
点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.
解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.
29．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值；
（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与
在区间内存在“点”，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，使函数与在区间内存在“点”．
【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.
详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得
，此方程组无解，
因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．
（2）函数，，
则．
设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得
，即，（*）
得，即，则．
当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．
因此，a的值为．
（3）对任意a>0，设．
因为，且h（x）的图象是不间断的，
所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．
函数，
则．
由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得
，即（**）
此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
30．（题文）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状
为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【答案】（1），；（2）．
【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.
详解：
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．
当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是[，1）．
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），
则．
令，得θ=，
当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；。