最新-2018高考数学热点集锦 基本函数的性质 精品

基本函数的性质
【两年真题重温】
1.【2018⋅新课标全国】下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( )．
A ．3y x =
B ．||1y x =+
C ．21y x =-+
D ．||
2x y -=
和
4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是
（A ）
1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q
【答案】C
【解析】命题意图：本题主要考查复合命题的真假的判断，涉及函数的单调性等知识.
1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数为真命题，而函数22x x y -=+为偶函数，则22x x
y -=+在R 不可能为减函数，2p ：函数22x x
y -=+在R 为减函数为假命题，则1p ⌝为假命题，2
p ⌝为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C.
【命题意图猜想】
高中阶段包含基本函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，其中以指数函数和对数函数的性质为命题热点，且常以复合函数或分段函数的形式出现，达到一题多考的目的。

题型一般为选择题、填空题，属中低档题，主要考查利用指数和对数函数的性质比较对数值大小，求定义域、值域、最值以及对数函数与相应指数函数的关系．也应为同学们必须得分的题目。

2018年以指数函数为背景考查复合函数的性质，2018年以多个基本函数为背景考查了函数性质，均没有涉及到对数函数的基本性质，这是我们应该关注的一个重点。

同时需要注意幂函数的图像在解题中应用。

【最新考纲解读】 1．指数函数
①通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景．
②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．
图象与性质及数值大小比较等问题上，结合数形结合、分类讨论、函数与方程的思想予以考查，与方程、不等式、分段函数、数列、导数、三角函数等相联系，仍将是命题的重点． 【回归课本整合】 1指数式、对数式：
m n
a =1m m
n a
a -=，，01a =，
log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)b
a a N N
b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =，
log log log c a c b
b a =
，
log log m n a a n
b b m =
.
2.指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利
用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较. 3.指数函数：
（2）y a =(0a >且1a ≠)的图象特征：
①1>a 时，图象像一撇，过点
()0,1,且在y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴(如图1)；
②01a <<时，图象像一捺，过点
()0,1,且在y 轴左侧a 越小，图象越靠近y 轴(如图2)；
③x y a =与x
a y -=的图象关于y 轴对称(如图3).④x y a =的图象如图4
4. 对数函数
（1）对数的图象和性质：
（2）
)10(log ≠>=a a x y a 且的图象特征：
①1>a 时，图象像一撇，过
()1,0点，在x 轴上方a 越大越靠近x 轴；
②01a <<时，图象像一捺，过()
1,0点，在x 轴上方a 越小越靠近x 轴.
③x
a y =（1,1a a >≠）与x y a log =互为反函数，图象关于y x =对称；如图2 ④
log (1)
a y x a =>的图象3.⑤
log (1)
a y x a =>的图象
4.
5.幂函数的定义和图象
（1）定义：形如y ＝x α
的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3，21，－1,0，－21，－2时的幂函数。

(1)当α>0时，幂函数图象都过(0,0)点和(1,1)点；且在第一象限都是增函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的直线 (2)当α<0时，幂函数图象总经过(1, 1)点，且在第一象限为减函数．
(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．
1．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、倍．
2．指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
3．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．
4.求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等
相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为与内层函数相关的问题加以解决． 【考场经验分享】
1.此类题一般在选择题的中间位置，难度为中档，应该是得分的题目。

在解题时注意解答选择题常用的方法：验证法和排除法的应用。

2. 指数函数y ＝a x
(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究．
3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x
＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围．
4．指数式a b
＝N (a >0且a ≠1)与对数式log a N ＝b (a >0且a ≠1，N >0)的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．
5．在运算性质log a M n
＝n log a M (a >0且a ≠1，M >0)时，要特别注意条件，在无M >0的条件下应
为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N *
，且n 为偶数)．
6.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 【新题预测演练】
1.【唐山市2018—2018学年度高三年级第一学期期末考试】
函数y ）
A ．
(]0,8
B ．
(]2,8-
C ．
(]2,8
D ．
[)8,+∞
3. （2018届浏阳一中高三第一次月考）
下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是（ ）
A. 12
log y x
= B. y=2x
-1 C.
21
2y x =-
D. 3
y x =-
【答案】B
【解析】由所求函数在(1, 1)-内是增函数,故排除C 、D ，又因为
12
log y x
=中的真数0x >，
故A 错误，故选B.
4.[潍坊市三县2018届高三10月联合考试]
下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )
Ａ．1
1
2132y x y
x y x y
x -=
==
=①,②,③,④ Ｂ．1
3212y x y x y x y
x -===
=①,②,③,④
Ｃ．1
23
12y x y x y x y
x -====①,②,③,④ Ｄ．1
1
2132y x y
x y
x y x -=
=
==①,②,③,④
【答案】B
【解析】因为3y x =定义域为R ，且为奇函数，故应为图①；2
y x =为开口向上的抛物线，且
顶点为原点，应为图②，同理可得出选项B 正确。

5.【2018年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】
函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 在[-2，1]上的最小
值为
A ．-1
B ．0
C ．2
D ．3 【答案】A
【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口
方向向上，设函数
2
()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2
()2f x x x ∴=+，
则()x f 在[-2，1]上的最小值为()1 1.
f -=-
6.【福州市2018届第一学期期末高三质检】 已知0.2
0.2
0.6
2,0.4,0.4a b c ===，则 A ．a b c >> B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
8.（2018届四川省自贡市高三第一次诊断性考试）
已知函数
()22x
f x =-，则函数|()|y f x =的图像可能是 （ ）
9.[2018学年杭州学军中学高三年级第2次月考]
已知集合M = {|ln(1)}x y x =-，集合{}
R x e y y N x
∈==,|(e 为自然对数的底数），则
N M =（ ）
A ．}1|{<x x
B ．}1|{>x x
C ．}10|{<<x x
D ．∅
【答案】C
【解析】M = {|ln(1)}{|1}x y x x x =-=<，
{}{}
|,|0x N y y e x R y y ==∈=>
{|01}M
N x x =<<，故选C
10.【2018年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】
已知定义域为R 的函数()x f 是奇函数，当0≥x 时，()=x f |2a x -|-2
a ，且对∈x R ，恒有
()()x f x f ≥+1，则实数a 的取值范围为
A ．[0，2]
B ．[-21，21
] C ．[-1，1] D ．[-2，
0]
1
1.【河北省石家庄市2018届高三上学期教学质量检测(一)】
设集合[)[]0,1,1,2A B ==，函数[]002,()(),,()42,()x x A f x x A f f x A
x x B ⎧∈=∈∈⎨-∈⎩且， 则0x 的
取值范围是
A ．23log ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()3log 2,1
C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝
⎭ D ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】A
【解析】
[)[]00
000,()1,2()(2)422x x x A f x B f f x f ∈∴∈∈∴==-⨯
[][)00(),4220,1x f f x A ∈-⨯∈，解得023log ,12x ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦ 又
[)00230,1,log ,1.
2x x ⎛
⎫∈∴∈ ⎪⎝
⎭ 12.【唐山市2018—2018学年度高三年级第一学期期末考试】
像向下平移了
b
个单位，且图像与y 轴的交点在负半轴其渐近线大于-1，故10.b -<<
函数
1y b x a =+
+的图像可以看做由函数1
y x =
的图像向左平移a 个单位，然后向下平移 b -的单位得到，结合反比例函数图像和a b 、的范围可知正确答案为C.
13.【山西省2018届高三第二次四校联考】
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x
满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，
则实数a 的取值范围为( )
A ．
(),2-∞ B ．
]813
,
(-∞
C ．(],2-∞
D ．)2,813[
【答案】B
【解析】依题意得知，函数()f x 是R 上的减函数，于是有()220
12212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得
138a ≤
，即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞
⎥⎝
⎦，选B. 14.【福州市2018届第一学期期末高三质检】
已知()g x 为三次函数32
()3a f x x ax cx
=++的导函数，则它们的图象可能是
15.【福州市2018届第一学期期末高三质检】
设Q 为有理数集，函数1(),R Q Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩，,-1，ð()11x x e g x e -=+，则函数()()()h x f x g x =⋅
A ．是奇函数但不是偶函数
B ．是偶函数但不是奇函数
C ．既是奇函数也是偶函数
D ．既不是偶函数也不是奇函数
2111040,21;
011a y x ax x ax a a a y x ax >-+-+<∴>><<-+222当时，有最小值，则说明有最小值，故=中判别式小于零,即-当时，有最小值，则说明有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去.综上可知答案选C
17.【2018年上海市普通高等学校春季招生考试】
方程1420x x +-=的解为 .
【答案】1;x =
【解析】12420,(2)220,2(22)0,x x x x x x +-=∴-⨯=∴-=
20,220, 1.x x x ≠∴-=∴=
18.【2018年上海市普通高等学校春季招生考试】 函数
224log ([2,4])log y x x x =+
∈的最大值为 . 【答案】5
【解析】22log ,24,1log 2,1 2.t x x x t =≤≤∴≤≤∴≤≤令因对号函数
4y t t =+在区间[1,2]上单调递减，故当1t =时函数取得最大值为5.
19.【北京市朝阳区2018-2018学年度高三年级第一学期期中统一考试】 已知函数12
log (),40,()2cos ,0.x x f x x x --≤<⎧⎪=⎨⎪≤≤π⎩若方程()f x a =有解，则实数a 的取值范围是 _ _．。